Диссертация (1025882), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Видно, что потенциал, полученный на основе физической модели трубки, приводит к результатам, лучшевоспроизводящим эксперимент. Отметим, что для построения теоретическихзависимостей параметры материала для модели трубки были найдены из эксперимента на равномерное двухосное растяжение, а для модели Йоха - из эксперимента на растяжение.Из приведенного обзора упругих моделей поведения резины следует, что31Экспериментодноосное растяжениеодноосное растяжениедвухосное растяжениедвухосное растяжениечистый сдвигодноосноерастяжениеУсловное напряжение, МПаУсловное напряжение, МПаЭкспериментчистый сдвигодноосноерастяжениедвухосноерастяжениедвухосноерастяжениечистый сдвигчистый сдвигКратность растяжения(а) Модель трубки (1.43)Кратность растяжения(б) Модель Йоха (1.38)Рисунок 1.8.

Сопоставление аналитических результатов [95] с экспериментальными данными, полученными в работе Трелоара [154]успех эмпирических соотношений, заключающийся в сближении теоретическихрезультатов с экспериментом, достигается главным образом за счет усложненияматематической формулировки и введения дополнительных параметров материала, которые необходимо определять из опытов.

При этом поиск таких соотношений приходится выполнять чаще всего «вслепую».Физические модели поведения лучше описывают эксперимент и содержатпараметры, возможные значения которых ограничены физическими представлениями о структуре материала, что облегчает задачу их числового поиска.Все приведенные в обзоре потенциалы при малых деформациях, которыеимеют место при качении массивных шин, сводятся к потенциалу Гука [3]. Однако, это приближение не всегда хорошо согласуется с видом экспериментальных кривых. Так при квазистатическом сжатии саженаполненных резин частонаблюдается постепенное падение касательного модуля упругости на начальномучастке диаграммы деформирования [23].

Этот результат не описывается вышеперечисленными теориями. Тем не менее, как будет показано в главе 2, применение закона Гука оказывается вполне достаточным для описания упругогоповедения резины массивной шины.321.2 Модели вязкоупругого поведения резинI. Исторически первыми были сформированы феноменологические теориивязкоупругого поведения материалов.

Дадим краткий обзор часто используемых феноменологических представлений о вязком поведении материала.Первые наблюдения эффекта «последействия» были выполнены Вебером,изучавшим процесс растяжения шелковой нити [165, 166]. Позднее эффект последействия исследовал Кольрауш, который опубликовал серию работ [103—105] с результатами тщательных многочисленных опытов на растяжение, изгиби скручивание образцов из различных материалов, в том числе и из резины.

Онпридерживался мнения, что этот эффект последействия проявляется за счетотносительной переориентации упругих осей «самых малых частей, составляющих твердое тело» относительно друг друга, что приводит в конце концов кравновесию системы, находящейся под действием внешних сил.Основываясь на экспериментальных данных, Кольрауш предложил выражение для скорости, с которой растянутый образец стремится прийти в положение равновесия= − , 6 1 ,(1.44)где – разность между значениями напряжений (при релаксации) или деформаций (при ползучести) в состоянии равновесия и в данный момент времени;, – постоянные величины.На основе экспериментальных работ Вебера и Кольрауша Больцман [51,90] предложил теорию наследственной вязкоупругости, в основе которой лежатследующие гипотезы.1. Упругие силы зависят не только от мгновенно полученных смещений, нои от предшествующих деформаций, которые оказывают тем меньшее влияниена них, чем больше времени прошло с момента предшествующих деформаций.Если в какой-либо момент времени в течение Δ тело получило деформацию( ), то изменение силы, которая производит это растяжение во времени , пропорционально ( ) и функции времени − .2.

Влияния полученных в разное время деформаций складываются, тоесть объединяются путем непосредственного сложения.Больцман ввел предположение, названное им «принципом суперпозиции»,согласно которому убывание сил, вызванных деформациями, приложенными ктелу в прошедший момент времени, не зависит от состояний, через которые33тело проходит в последующие моменты времени.Для написания соотношений между напряжениями и деформациями, Больцман взял за основу упругий закон Гука, имеющий вид(1.45) = 1 + 2 ,где – тензор напряжений; 1 – единичный тензор; – девиатор тензора деформаций; – объемная деформация; , – объемный модуль упругости имодуль сдвига. Следуя теории последействия, он переписал соотношение (1.45)в виде∫︁ ∫︁ ( − )( ) 1 −() = ()1 + 2() −−∞2( − )( ) ,(1.46)−∞где ( − ), ( − ) – некоторые функции, определяемые из опыта. На основании экспериментальных данных Больцман придал этим функциям сингулярный вид:Φ( − )Ψ( − )( − ) =, ( − ) =,(1.47)−−где Φ, Ψ – регулярные функции.Французский математик Пикар опубликовал работу [132], в которой предложил расширить принцип детерминизма Лапласа, введя принцип наследственности.

В классической механике предполагается, что бесконечно малые изменения, происходящие в изолированной системе, зависят только от текущего состояния последней. Применительно к механике движения тела, этот принцип приводит к дифференциальным уравнениям движения и взаимодействия частей,составляющих систему. Но, как отмечает Пикар, такой подход противоречитмногим наблюдаемым в природе явлениям, где при предопределении поведениясистемы необходимо знать историю изменений в данной системе.

Он указываетна то, что учет наследственности приведет к замене дифференциальных уравнений функциональными, развитыми в математической теории Вольтерры [5].С подачи Пикара, Вольтерра опубликовал серию статей [158—160], в которых ввел понятие «наследственности» применительно к интегро-дифференциальным уравнениям и использовал их для записи определяющих соотношений теории упругости. В теорию Вольтерры теория Больцмана вошла как част-34ный случай более общего класса явлений наследственности. Соотношение (1.46)получило название соотношения Больцмана-Вольтерра, а функции ( − ),( − ) стали называться ядрами уравнения (1.46). Обзор часто используемыхв прикладных расчетах ядер и метод их идентификации подробно изложен вмонографии [13].В работе [115] Максвелл ввел понятие «двойной среды», т. е.

среды, обладающей как упругими свойствами твердых тел, так и свойствами жидкости.Состояние тела определялось по способности воспринимать внешнее усилие.Если тело может сохранять состояние равновесия под действием напряжений,не являющихся гидростатическим давлением, оно называется твердым телом.В противном случае говорят, что тело обладает свойством текучести и является жидким веществом.

Тем не менее, все реальные жидкости и газы способныобладать неравномерностью напряжений при движении. Эта способность быланазвана вязкостью. Если вязкость очень мала, жидкость подвижна, как, например, вода. Если вязкость бесконечно велика, то такая среда является твердымтелом.В работе [116] было сделано предположение, что скорость переходногопроцесса, возникающего при деформировании «двойной среды», пропорциональна напряжению.

Для одноосного напряженного состояния Максвелл предложил выражение = − ,(1.48) ˜где ˜ – время релаксации, которое может быть функцией напряжения . Предположение о существовании зависимости ˜() вытекает из наблюдений Вебераза шелковыми нитями и Кольрауша за стеклянными нитями, а также самого Максвелла за стальными проволоками. Максвелл считал, что после снятиянагрузки длительное раскручивание закрученной проволоки, в которой деформации превосходят идеально упругие, происходит из-за низкой скорости релаксации тех частей проволоки, которые ближе к ее оси, т. к.

они там меньше всегонапряжены.Теория «двойной среды» Максвелла была принята за основу описанияпроцесса деформирования материала во времени английским физиком Джозефом Томсоном [150]. В работе [150] он предложил динамическую модель одно-35осной деформации образца (1 , 2 ) = 1 ,12 ˙2 + 2 2 − (1 , 2 ) = 0,21 ¨1 + 1 1 −(1.49a)(1.49b)где 1 – деформация чисто упругой среды; 1 – напряжение, воспринимаемоеупругой средой; 2 – деформация вязкой среды; 1 , 1 , 2 , 2 – коэффициенты вуравнениях движения. Масса вязкой среды полагалась пренебрежимо малой.Связь между двумя средами выражалась функцией Лагранжа вида (1 , 2 ),которую, при малых значениях 1 и 2 , можно записать в виде (1 , 2 ) = 1 + 2 ,1 (1 , 2 ) = 1 + 2 ,2где , , – постоянные величины.Если движение всей системы происходит медленно, как это бывает при явлении последействия, то силами инерции можно пренебречь. С этой оговоркойв работе [150] было получено выражение для напряжения21 = (1 − )1 −2∫︁ −2 −2 (− )1 ( ) ,(1.50)0или, если заданными являются напряжения, для деформации121 =+1 − 2 (1 − )2∫︁ −(− ) 1 ( ) ,(1.51)02где = 2−− 2 (1 −) .2Как отмечает Томсон, в получившихся выражениях вид подынтегральнойфункции −(− ) , где – некоторая постоянная, хорошо согласуется с экспериментальной работой Неесена по кручению стержней [125].

Отличительнойчертой полученных соотношений Томсона от уравнения Максвелла являетсявозможность описания таких процессов релаксации, в которых напряжения неисчезают полностью.Томсон распространил полученные выражения (1.50) - (1.51) на случай36наличия нескольких вторичных систем, отмечая, что этими системами для тела могут быть молекулы или группы молекул, которые и являются причинойостаточных явлений в телах.Все описанные феноменологические подходы приводят к необходимостиучета предыстории деформирования среды для описания ее состояния в рассматриваемый момент времени. В общем случае механическую модель такойсреды можно представить в виде схемы, представленной на Рисунке (1.9).

Звено «A», содержащее только пружину, отражает ту часть среды, которая деформируется идеально упруго. Остальные звенья «B», «C», «D»..., содержащиепомимо пружины демпфер, характеризуют вклад вязких элементов среды. Такая модель материала носит название обобщенной модели Максвелла. Обзорчастных случаев этой модели детально представлен в работах Ржаницына [19]и Бленда [4].

Здесь мы на них останавливаться не будет. Отметим лишь, чтопочти все модели поведения вязкоупругого материала приводят к схеме, изображенной на Рисунке (1.9). В конечном счете, различие состоит лишь в описанииповедения упругих и вязких элементов модели.AsBsCDРисунок 1.9. Обобщенная модель МаксвеллаII. Один из первых молекулярных подходов к описанию вязкоупругого поведения материала был предложен в работах [76, 152]. Теория, предложеннаяавторами этих работ, может быть названа теорией перестроения полимернойсетки. Она описывает процесс релаксации в полимерах, в частности в полисульфидных резинах, в результате которого напряжения убывают до нуля [148]. Вуказанных работах предполагается, что при быстром нагружении эти резиныподчиняются кинетической теории высокоэластичности.

Характеристики

Список файлов диссертации