Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 8
Текст из файла (страница 8)
в,), (в) Р 3 ( ' (о) Е1 =(2 а) Е) з(н [во( — во), (в) / 3 1 Ч (о) [197) где отношения абаз [в„в ) и ампли|пуд [Еф, Е(ь)) е падающем луче остаются неизменными и в рассеянном луче. В соответствии с этим параметры, представляющие рассеянный свет, пропорциональны величинам — а[Е(о!)]в созз(3 = — оу~ созао), 2 2 [Е(о) в 7 — а[211 Е 1 сов[в — в )] сов(') = — аЕ7соз от 3 (о) (о) 3 2 2 — а[2ЕЕЕ! 3!и (в, — вв)]сов 6 = 2 арсовы. 3 (о) (о) 3 [198) Поэтому обозначая падающий свет вектором 1=(71, 7„, Е(, ])), [199) мы можем выразить интенсивность рассеянного света в направлении т) формулой ( 4 ) [200) где сова та 0 0 0 3 0 1 0 О О сов 6 О [201) 0 О 0 созга Для естественного света 7! = 7Ь = — 7 и Е7 = У= О, н мы убе! ждаемся в том, что вакон Релея, выраженный соотношениями [200) и [201), сводится к прежней более обычной формулировке этого аакона.
]в можно назвать угловой матрицей для релеевского рассеяния [см, (20) и [200)], 4 77. Уравнение переноса в атмосфере $17. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА В АТМОСФЕРЕ, РАССЕИВАЮП1ЕЙ ИЗЛУЧЕНИЕ ПО ЗАКОНУ РЕЛЕЯ Если рассматривается поле излучения в атмосфере, в которой каждая частица (атом, молекула или электрон) рассеивает по определенному физическому закону (например, по закону Релея), то прежде всего нужно выяснить, как будет, в отличие от отдельной частицы, рассеивать свет элемент объема, содержащий большое число частиц. Возникает вопрос, можно ли считать независимым свет, рассеиваемый отдельными частицами, содер>кащииися в малом элементе объема.
()кончательное выяснение этого вопроса требует тщательных исследований, однако совершенно очевидно, что если рассеивающие центры распределены совершенно случайно (как в случае газа, подчиняющегося закону Максвелла), то не будет постоянных корреляций между фазами света, рассеянного различными частицами. А если это так, то свет, рассеянный различными частицами, можно считать независимым и параметры Стокса можно складывать. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что имеет место такое положение.
Из сделанного предположения вытекает, далее, что лучи, идущие из одной точки в разных направлениях, независимы. В соответствии с замечаниями, сделанными з предыдущем параграфе, можно ввести коэффициент рассеяния на единицу массы х по формуле х= — Я, !202) Р где М вЂ” число частиц на единицу объема, а о — плотность.
Далее, для рассеяния элементом массы Ьл можно написать выражение [см. (200) ! ( 4х) где особо должно быть отмечено, что вектор ! определен в прямоугольной системе координат, оси которой направлены параллельно н перпендикулярно к плоскости рассеяния. Для электронов уже была дана формула Томсона для х !уравн. (194)). В случае молекулярного рассеяния мы получим из (193) формулу Ре.тея для х, если положим а = (204) где п — показатель преломления среды. Таким образом, яхв (нх ца (205) 17.1. Уравнение переноса для ! (д, Ф). Приступая теперь к выводу уравнения переноса, мы будем характеризовать поле излучения в каждой точке четырьмя интенсивностями 7,(0, Р), 7„(9, м), (7(й, м) и 1"лава Д Уравненае лервноеа !г(9,9), где Ь и юу — полярные углы в надлежащим образом выбранной в рассматриваемой точке системе координат (см. фиг.
8), а 1 и г относятся соответственно к направлению, лежащему в меридиоиальной плоскости и перпендикулярному к ней. Положив !(О, ч) = (1ю(О, 9), 1„(Ь, а), и(Ь, 9), 1/(О, м)), (206) мы можем формально написать уравнение переноса в векторной форме: — =!(О, у) — ~ю(О, о), юю! (О, ч) где $(О, м) — векторная функция источника для !(Ь, р). Чтобы вычислить Д(Ь, юв), рассмотрим приращение функции источника, обусло- вленное рассеянием пучка лучей, ю содержащихся в телесном угле аюм', в направлении (О', м'). Это приращение равно И вЂ” „, (208) если 1(Ь', 9') относится к направлениям, параллельному и перпендикулярному к плоскости рассеяния. Но, !(О', юв'), в силу определения этой величины, относится к направлениям, параллельному меридиональной плоскости ОРюХ и составляющему с ней прямой Фиг.
8. угол. Мы можем в соответствии с 9 15 (п. 15.5, соотн. 190)! преобразовать !(О', юв') к нулюным направлениям, применив линейное преобразование !.( — ю',), где ю', обозначает угол с вершиной в точке Р, = (О', р') между меридиональной плоскостью ОРюЕ н плоскостью рассеяния ОР,Ря. Следовательно, приращение функции источника за счет рассеяния пучка в направлении (Ь', м') равно ! (соз Й) Ь ( ю ) ! (О ) 4 (209) Но выражение (209) относит параметры Стокса к направлениям в точке Р, параллельному и перпендикулярному к плоскости рассеяния.
Чтобы преобразовать (209) к выбранной системе координат в точке Ря (именно, в направлении вдоль дуги большого круга Ряа и ему перпендикулярном), нужно применить к (209) линейное преобразование Ь (я — ью), где 1ю — угол между плоскостями ОРяХ и ОР,Ря. Окончательно получаем для юю !(Ь, 95 О', юр') выражение сЯ(О, ~; Ь', 9') = 1. (я — юя) 14(соя ею) !. ( — юю) 1(Ь', 9) 4 ' (210) 47 й !7. Ураваеаие перепаса в атмосюрере 17.2. Явное выражение угловой матрицы.
Подставив вместо 1. и Я их выражения (190) и (201), получим сов юо 5!п юа — — яп 215 0 5' ' 5' 2 1 + 2 яп21'5 0 в (213) Р (3, юо 3' юо') — 3 5!по юа спев ю'„ 5!п 2юв — яп 2юв 0 0 сов 215 0 0 1 ! — — яп 21 2 1 + 2 яп21, сова ю, 51по ю'1 51П5 ю, соаое1 0 0 0 0 0 0 0 сов е! О 0 0 0 сов!7 сова ю, яп 21, --5!п 21, 0 0 соа 21', 0 1 (214) или 5!п юв — — 5!и 21 0 1 2 сова!в + 2 5!П215 0 1 — яп 21' соа 215 0 0 0 1 — — со558 51П 21', 0 1 1 — яп 21 2 0 сов 9 сов 21, 0 0 сО5 е! сова ю' р(3,. Ое, е) 3 5!па!о яп 215 0 со556 сов ю, СО5 Й 5!П Ю! х 5!Паю! сов 8 5!и 21, 0 Спво Ю', (213) — сов 6 51п 21, 0 Интегрируя (210) по всем направлениям (!!', ю7'), получаем функцию источника 2;.
45 Х.~ ( 5) (со5 Й) 1- ( — ю!) ! (Ь' юо') 5'п О',!Ое юр ю. (211 о о уравнению переноса (207) можно теперь придать вид — — '=1(Э, р) — ) ~ Р(б,о!; б', юо')1(б', юо') в!пй'ю!б'юЕо', (212) о о где угловая матрица Р(Ь, о; !!', юо') определяется формулой Р(!1, о; д', оо') =-1.(юю — 15)Я(сов(4)1.( — ю',). (213) Глава д Уравнение переноса Вводя сокращенные обозначения (1, 1) = 5«и!15«и !5 с051е сов«з сов 9, (Г, Г) = 5«П11 5«П 15СОБ .У вЂ” СОБ 11 СОБ 151 (Г, 1) = 51п е1 с0585 соз тв+соз е151пеа„ (1~ Г) (51П еа СОБ С1 С05 тв + СОБ еа 51П 81)1 (2«6) мы без труда убедимся в том, что произведение матриц в правой части уравнения (2«б) равно Р (9, 9; 9', 9') = [1, 1)5 (г, 1)Б 9 (1, г)Б (г, г)Б 2 2 (1, 1) (1, г) 2 (г, г) (г, 1) О О (1, 1) (Г, 1) О (1, г)(г, Г) О (1, 1) (г, г)+(г, 1) (1, г) О О (1, 1) (г, г) — (г, 1) (1, г) (2«7) Использовав написанные выражения для (1, 1) и т, д., найдем вид раз- личных элементов матрицы Р (1, 1) = — [2(! — «ез)(! — «н'Б)+«е' ' [+ 2 .+ 2«в«е' (! «ез)'и (! — [е'Б)' " соз (а' — 9) + + —, «ез«в'Б соз 2 ( р' — е), (г, 1)Б= — РБ[! — со52(9' — 7)[; 1 (2«9) 2 ' (1, г)Б = — р'Б [ ! — соз 2 (~!' — в) [, (г, г)Б = — [ ! + соз 2 (р' — !~) [, (1, 1) (г, 1) = «е (1 — «ез)' (! — «е'Б)н 5! и О!' — Б) + — «ез«е' 5«и 2 (еу' — р), (1> 1) (1> г) = — «в'(! — «55)" (! — «е'~)""5«и(ср' — р) — 2 «в«в'55«П2(~9' — 9), С другой стороны, ив сферического треугольника ХР,РБ следуют соотношения (1, 1) = 5«и 9 5«п 9'+ соз 9 соз 9' соз (а' — 9), (г, 1) =+ сов 95«и(9' — 9), (1, г) = — соз 9' з«и (е' — 9), (г, г) = сов(а' — 9).
4 П'. Уравнении нереноеа в аоьноефере у г)(г, г) = — — р'яп 2(»3' — Р); (г» 1)(г» г) = — р.з!п2(»р' — 1»)» у 1) (г, г) + (г» 1) (Е» г) = (1 — ра)'- (1 — р' а) > сов (»в' — р) + + ри' соз 2 (»о' — »о), (1 1) (г, г) — (г, 1) (Е» г) = рр' + (1 — ре)"' (1 — р»в)ч соз (и' — »3)» где р и р' означают соответственно сов б и соз б'. Используя соотношения (219), можно выразить фазовую матрипу р(р, »3; р,', »у») в виде Р1р»»3' р'» Тг) = — Я (Р(о> (и, р.')+ (1 — иа)'» (1 — >»»а)Ч» РО> (р и р' »о')+ +Р< >(р,и;и', р)>, 1220) где 2 (1 — из) (1 — р'а) + ра»»'з иа 0 0 » 3 1 0 0 Р >о> гр (221) Р<в> >»р» о; и', и') = рвр'з соз 2 1и» вЂ” и) 3 — р'в соз 2 (и' — 1в) 4 ри»а з>п 2 Ро~ 0 — ра соз 2 1а' — и) рзр' з1п 2 1»>»» — и) О сов 2 1о' — »в) — и' я п 2 (Р' — р) 0 р яп 2 >»е»' — о) ри' соз 2>»»в' — »в) 0 0 0 0 (228) 1 О 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 (224) 0 0 0 2 Следует заметить, что р<о~„~, ° ) Р>о~р,в р', в') (1=0, 1, 2), (225) "де Р"> получается из матрицы Рн>, если заменить в ней строки на столйцы и переменить местами переменные (р, »в) и (р', »в').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
