Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Количество поглощенной энергии равно [см. соотн. (23)) х„р Йв ° 7, Йч Йо Йа Йг, (44) а количество излучеиной— ~'„р Йа Йв Йч Йе«ЙА (45) Подсчитав количества энергии, потерянной н приобретенной пучком за время его прохождения через цилиндр, получим „" ..— х„ру„+у„р. (46) Введя функцию источника е, (соотн.
(40)], мы сможем придать последнему уравнению вид (47) «~ Йе Это и есть уравнение переноса. Для рассеивающей атмосферы и атмосферы, находящейся в состоянии локального термодииамического равновесия, функции источника представляются выражениями (41) и (42). В декартовой системе координат уравнение переноса может быть записано в виде — — (7 — + т — + и — ) 7„(х, у, в; 7«т, и) = (48) 1 «' д д дх х«р (, дх ду де7 « = 7«(х, у, е; 1, т, и) — $„(х, у, е; 7, т, и).
Так как функция источника выражается через интеграл от интенсивности в точке, то уравнение переноса, вообще говоря, является антегро-дифференциальным уравнением. Ниже будут приведены ~римеры таких интегро-днфференциальных уравнений. $7. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В настоящей и следующих главах мы отбросим индекс ч при различных величинах, что не приведет к недоразумениям. Так, мы будем писать уравнение переноса (47) в виде — — =l — 3.
Йг (49) хр Йв Глава 5 Уравнение"агранова 16 Формальное решение уравнения (47) легко написать, Имеем (см. фнг. 2> -а1а,а1+ ~' ~( а) -аос аох а где т(я, я') — оптическая толвяа среды между точками я и я', т. е, е т (я, я') = [ хр в(я. (51) аа Физический смысл решения (50) ясен: оно выражает тот факт, что интенсивность в некоторой точке в данном направлении обусловлена излучением во всех предшествующих точках я', уменьшенным в отношении е ' вследствие поглощения в промежуточной среде.
Иногда полезно бывает заменить конечный нижний предел интегрирования функции источника бесконечным и вместо уравнения (50) ввести следующее: а 7 (я) = [г $ (я') е "' "0 хр е2У. СО (52) $8 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ЛЛЯ РАССЕИВАЮЩЕЙ АТМОСФЕРЫ. ИНТЕГРАЛ ПОТОКА В КОНСЕРВАТИВНЫХ СЛУЧАЯХ Для рассеивающей атмосферы функция источника может быть написана в виде [см. соотн. (41)[ 4,)~ (' Если среда простирается до — оо в направлении а, то представление интенсивности 1(я) в форме (52) не вызывает возражений. Но если при убывании я' мы сталкиваемся в некоторой точке, например, с „излучающей поверхностью", то нужно ограе 15 ничить интегрирование по я' этой точкой и добавить особый член [как в уравнении (50)[ для того, чтобы учесть интенсивность, излучаемую этой поверхностью.
Мы будем считать, что ориг. 2. уравнение (52) учитывает это обстоя- тельство. Выражения (50) и (52) не дают, разумеется, решения уравнения переноса в подлинном смысле слова. Понятно, однако, что если фушвция источника зависит от интенсивности каким-либо определенным образом, то формальное решение (52) можно превратить в интегрзльное уравнение относительно этой функции. Мы встретимся с подобными интегральными уравнениями в $11. 9 У.
Уравнение нсрсноса для нлоско-нараллвльных вадан 17 где з †единичн вектор, определяющий некоторое направление в точке г. Уравнение переноса (48) в этом случае принимает вид — — (зЧ)l(г, з)=7(г, з) — — ~ р(з, з')7(г, з')Нас~. (54) Интегрируя это уравнение по всем направлениям з, получаем — — ) (з Ч) Цг, з) 4ы, = 1 г «а3 = ( 7(», з)с1мв — — ( ~( р(з, з') 7(г, з')сйввйо„. (55) Очевидно, что величина, стоящая в левой части (55), есть дивергенция вектора вР, составляющими которого служат потоки, параллельные осям х, у, я. Первый член в правой части равен 4яв' (см.
соотн. (19)); второй член также можно выразить через 1, если проинтегрировать сначала р(з, з') по направлениям з (см. соотн. (29)]. 'Таким образом, получим — — 41» Р = (1 — йо) в", 1 (56) 4«р где йо — альбедо для однократного рассеяния. В случае консервативного рассеяния й 1 и б 1» Р = О. (57) Это равенство представляет собой интеграл логнока для консервативных задач. Для плоско-параллельной атмосферы уравнение (57) приводится к виду дР— „' = О, или Р, = сопа1 .
(58) Полный поток, нормальный к плоскости расслоения, остается поэтому постоянным во всей атмосфере. Для полей излучения, обладающих сферической симметрией, интеграл потока сводится к (59) где Ро — постоЯннаЯ величина. Аналогично дла полей, обладающих иилиндрической симметрией, Р, = — в. (60) $9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ В задачах, связанных с переносом лучистой энергии в плоскопвраллельных атмосферах, удобно измерять линейные расстояния в направлении, перпендикулярном к плоскости расслоения. Если г †так Глава 1. Уравнение переноса расстояние, то уравнение переноса принимает вид — сов О ' ' ~ =1(е, О, р) — 3(е, О, ~), (61) где Ь вЂ” наклон луча относительно внешней нормали; р — азимут, отсчитываемый от соответствующим образом выбранной оси х.
Введя оптическую толщу 'т = ~ крае, (62) отсчитываемую от границы внутрь среды, получим р. „' ' =1(т, 1о, р) — $(т, рч е). а1(т, н. т) (63) дающим соответственно интенсивности восходящего и нисходящего излучения на каждом уровне. В частности, для интенсивностей излу- чений, выходящих с границ среды, получим 1(0, + р, р)=1(т„р, э)е чГ«+) е Н«'~(1, +р, о) —, (66) « о I (то — й, <р) = 1(0, — р, е) е "~«+ ) е Рч 'У«.„1 (~, — рч е) —. (67) В уравнение (63) мы, кроме того, ввели р= сов О. Уравнение (63) представляет собой обычное уравнение переноса для плоско-параллельных атмосфер. Рассматривая задачи переноса в плоско-параллельных атмосферах, мы будем различать дза случаю 1) полубеснонечная атмосфера, ограниченная с одной стороны (т = 0) и простирающаяся до бесконечности в направлении т-о со, и 2) конечная атмосфера, ограниченная с двух сторон, например, при т = 0 н т=с,.
В случае атмосферы конечной оптической толщи формальное решение (30) сводится к выражениям 1(т, +р., ср)=1(т„р, ср)е ' и«+ + ) $ (1, р, р) е Н 'У« — (1 )~ р ) 0), (64) 1(т, — р, ор) = 1(0, — р, е) е '"+ + ) $(1, — р, р)е ~ сн« вЂ” (1)~р) 0), (65) о з»12 Олоско-лараллелоиые рассеиваюисие асимосферы 19 +11' 2р) Х~(», +1, Т)е-н-.)»о - 2-1 »( — р 2р)=»(0, — р, ю) -я +УЗ(» ) О Рв о (68) (69) (70) а 10. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ РАССЕИВАЮЩИЕ АТМОСФЕРЫ. К-ИНТЕГРАЛ Для плоско-параллельной рассеивающей атмосферы уравнение переноса может быть написано в виде (см. уравн.
(41)~ +1 2 Р ' "' " =»(т, Р, Р) — — ~ ~ р(р, Р; р', со')»(т, р',ю')с»р'с»ю'. (71) — о В консервативных случаях (Фо = 1) уравнение (71) допускает интеграл потока [соотн. (58)) Р= сопзг (72) (кР— поток излучения, нормальный к плоскости расслоения). Консервативные задачи в общем случае допускают еще один интеграл, имеющий важное значение.
Это так называемый К-интеграл, который может быть выведен следующим образом. Умножая уравнение (71) на р и интегрируя по всем телесным углам, получаем О1 22 с» ,», ~ ~ »(т, р., Е) рас»РС»ср = -1 О +1 еп 1-1 2. ='яР— — ~ ~ с»р'аЪ'»(т, р', 12') ~ ~ с»и2»22рр(Р, Р; р.', 22'). (73) о -1 О Предположим теперь, что функция р(сов 1т) разлагается, как в урав- нении (33), в ряд по полиноман Лежандра. Тогда будем иметь \ 2 2 12 Р(Р~ 2Р; Р', сР') =,~',Ф21Р»~Рй+(1 — Рв) (1 — Р.')' соз(22 — 2Р')), (74) где Во=1. В случае полубесконечной атмосферы предыдущие уравнения приводятся к виду 1'лава 5 Уравнение иереноеа Преобразовав Р, в соотношении (74) с помощью теоремы сложения сферических функций, получим +в е.
+1 1 Г 4 ) ~ р(1ь, 9; р~, ~р~)р,вв1вв7р= — гово~ ~ 1ваНрна —,шв1в~, (75) -в о вследствие чего уравнение (73) приведется к следующему: -г о Обозначив теперь +в а. К( ) — „) ) е( 1в 'т)1в а'г'79 (77) о получим (78) или, так как Р=сопз1, (79) где Я вЂ” постоянная величина. Выражение (79) и представляет собой К-интеграл. Интересно также заметить, что в консервативных случаях уравнение переноса имеет решение вида 7(т, 9) = сопз1 т+ 1 о)1/ (80) 4 ~( 3 г) +1~' (81) Следует еще раз подчеркнуть, что выражение (81) не представляет собой решения какой-либо определенной физической задачи. Однако ниже (гл.
1!1, 9 25) мы убедимся в том, что есть такие задачи, для которых решения стремятся к (81) при т-+ со. Решение (81) имеет также и другие приложения (гл. 1Ч, и. 29.3). В самон деле, подставив это выражение в уравнение (71) и вспомнив, что ооо = 1, мы тотчас же убеждаемся в том, что это уравнение действительно удовлетворяется. Нормируя решение (80) так, чтобы оно давало полный поток яР, получаем а е!'. Задачи длн аолудесаонечнмх атмосфер 21 аа 1Ь ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ПЛОСКО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АТМОСФЕР С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ПОТОКОМ где 2н „~ р(Р' о (83) Мы ищем решения уравнения (82), удовлетворяющие граничному условию 7 (О, — Р) = О, (О < Р < 1) (84) и условию сходимости при т -+ оо интегралов, входящих в формальное решение ~уравн.
(68) — (70)). для сходимости этих интегралов от функции источника достаточно потребовать, чтобы было $ (т, Р) = о(е') (т -+ со), (85) или !3 (е, Р)е- -+ 0 при ! -+ со. (85') При осевой симметрии поля излучения поток и К-интеграл уравнения (82) можно представить в виде р=2 ~ у(т, Р)ва!р=сопз! — ! К 2,Г!(~'Р)иэе7 4 Р~~1 — т,)т+д~, (86) -! Мы видели, что в случае консервативного или чистого рассеяния уравнение переноса имеет интеграл потока (72).
Этим определяется цекоторый класс задач о переносе лучистой энергии в полубесконечной плоско-параллельной атмосфере, на границе которой отсутствует падающее извне излучение и в которой полный поток яе' в направлении, перпендикулярном к плоскости расслоения, постоянен. Особое значение задач этого типа для астрофизики связано с тем, что в аеллм!ордерах звезд (идеализируемых как плоско-параллельные атмосферы) постоянство потока обеспечивается излучением, приходящим из „глубоких недр ввевды". Очевидно, что для задач указанного типа следует искать решение, обладаю!цее осевой симметрией относительно оси а. Интенсивность и функция источника не должны поэтому зависеть от азимута, и уравнение переноса принимает внд +! ~ (т' ~) — У(т ) ~ ео>( ДУ( „~),У„~ (82) — ! Глава й Уравнение переноса В заключение следует указать, что в задачах с постоянным полным потоком в полубесконечных атмосферах наибольший интерес представляет угловое распределение, или, как часто говорят, закон потемнения к краю для выходяшего излучения 7(0, (о) при т = О и 0 ~ р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
