Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 2
Текст из файла (страница 2)
с,) (17) Интегральнин плотность энергии и подобным же образом выражается черен интегральную интенсивность 1: и= ~ сс„И» = — ~ 1дм. Г о (18) поверхностью Е, линейные размеры которой велики по сравнению с размерами о; при этом, однако, мы будем предполагать, что элемент объема, ограниченный поверхностью Е, достаточно мал, так что можно считать интенсивность в данном направлении одной и той же во всех точках внутри Е, Всякое излучение, проходящее через объем о, должно пересечь какой-либо элемент поверхности Е.
Пусть НŠ†так элемент; далее, пусть ге и 8 обозначают углы, которые нормали к дЕ и к элементу Но поверхности о образуют с прямой, соединяющей эти элементы. Количество энергии, протекающей как через ЫЕ, так и через да, определяется выражением сов 9 сов о ов НЕ гв так как телесный угол Ым' с вершиной на сгЕ, стягивающий элемент ого, равен Ио соз О/гз, э 3. Коэффициент поглощения Часто бывает удобно пользоваться средней интенсивноснгью (19) связанной с плотностью энергии соотношением а„= — У„. чх (20) Для осесимметричного поля излучения 1см.
уравн, (13)) средняя интенсивность определяется выражением э'„= — ~ /„м'~ 0 й0. о (21) й 3. КОЭФФИНИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЙ. ИСТИННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ. УГЛОВАЯ ФУНКНИЯ Пучок лучей, проходя через некоторую среду, ослабляется вследствие взаимодействия с веществом. Если после пересечения слоя толщиной йэ по направлению распространения лучей удельная интенсивность 1„ изменяется до е'„ + йг'„, то мы пишем '"Фч йгп (22) х„р йэ ° г"„соз 0 йе ао да. (23) где р — плотность среды. Величина х„, введенная таким образом, определяет ноэсбфициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, для излучения частоты ч. Не следует, однако, думать, что уменьшение интенсивности, которое претерпевает пучок излучения, пройдя через вещество, неизбежно приводит к уменьшению энергии поля излучения.
Легко может случиться, что энергия, потерянная падающим пучком, целиком перераспределяется по другим направлениям в виде рассеянной энергии. В общем случае можно ожидать, что только часть энергии, потерянной падающим пучком, перераспределится по другим направлениям в виде рассеянной энергии, а оставшаяся часть будет „действительно" поглощена, в том смысле что она будет преобразована в другие формы энергии (или даже в излучение с другими частотами). Мы будем поэтому делать различие между истинным поглощением и рассеянием. Рассматривая сперва случай рассеяния, мы скажем, что вещество характеризуется коэффициентом рассеяния, рассчитанным на единицу массы, х„, если из пучка лучей, который падает на элемент массы, имеющей поперечное сечение йо и высоту йв, рассеивается во все стороны количество энергии, равное Гласа 5 Уравнение переноса Так как масса элемента равна йги = рсоз 0 йейв, можно также написать (24) давало скорость, с которой энергия рассеивается внутрь элементарного телесного угла Йо' в направлении, составляющем угол 14 с направлением падения пучка лучей на элемент массы йт.
В соответствии с (26) скорость потери энергии из падающего пучка вследствие рассеяния во всех направлениях составляет Л~ ° - ~ (с ~) —",.", (27) что совпадает с (25), если ~ р( ° В)" —,""=1, (28) т. е. если угловая функция норжировани и единице. Возвращаясь к общему случаю одновременного рассеяния и поглощения, мы будем, тем не менее, вновь использовать для рассеянного излучения выражение (26). Однако теперь (в противоположность случаю чистого рассеяния) полное количество потерянной вследствие рассеяния энергии должно быть меньше того, которое определяется выражением (25), и в соответствии с этим 1 р( озЕ)й 0 ( 1' (29) Таким образом, общий случай отличается от случая чистого рассеяния только тем, что угловая функция не нормврована к единице.
Из наших рассуждений следует, что ме определяет долю света, теряемого падающим пучком вследствие рассеяния, в то время как (1 — ме) представляет остающуюся часть, которая преобразуется в другие формы энергии (или в излучение других длин волн). Мы будем рассматривать мо как сльбедо для однократного рсссеяния. Если аз=1, то мы будем говорить, что имеет место консервативный случай или случай чистого рассеяния; чистое рассеяние в этом смысле является аналогом понятия консервативности в динамике. Простейшим примером угловой функции может служить р (соз ег) = сопз1 = ~ш (зо) (25) Очевидно, далее, что для количественного определения понятия рассеяния мы должны еще установить угловое распределение рассеянного излучения (25).
Введем для этого угловую Функцию р(соз 14), такую, чтобы выражение йьу х„1„р (сов 9) — йт й йа (26) 6 4. Коэффициени~ из.оуйенин 13 В этом случае излучение, рассеянное каждым элементом массы, пзолгролно. Вслед за изотропным рассеянием наибольший интерес представляет рассеяние, описываемое угловой функцией Релея (см. $16) р (соз Й) = — (1 + созе Й). 3 (31) Эта угловая функция нормирована к единице и люжет служить примером консервативного случая полного рассеяния.
Другая угловая функция, представляющая особый интерес в задачах, связанных с освещенностью планет, определяется выражением р(сов 6) = мо (1+ х соз й) ( — 1 ( х (+ 1). (32) 'В общем случае мы будем предполагать, что угловая функция может быть разложена в ряд по полиномам Лен<анара р (соз д) = ~о а Р~ (соз В), 1=о где а~ — постоянные. На практике ряд, стоящий в правой части (33), содержит обычно лишь ограниченное число членов. 6 4. КОЭфФИНИЕНт ИЗЛгЧВНИЯ Козффициенья излучения г'„ определяется таким образом, чтобы количество энергии, которое излучает элемент массы йп в направлениях, заключенных внутри элементарного телесного угла Им и в интервале частот (», ~+до), за промежуток времени йг равнялось !., йи На гь |и.
(34) В случае рассеивающей среды (не обязательно с альбедо и = 1) коэффициент излучения увеличивается за счет излучении, рассеянного по всем направлениям внутрь рассматриваемого пучка. Так, из выражения (26) следует, что рассеяние пучка лучей, имеющего, например, направление (8', т'), прибавляет к пучку, имеющему направление (Э, а), количество энергии, равное х, Ииг йошкар(0, оо; 0', ъ') )„(О', <~') (36) где р(0, и; Э', ~у') обозначает угловую функцию для угла между направлениями (О, оо) и (6', и').
Следовательно, увеличение у~ ~ коэффициента излучения за счет рассеяния будет составлять )„и(6, м)=х„— ~ ~ р(0, <р; 0', ~о') 1„(0', э') з1п0'й0'сц0'. (36) о о !'лава А Уравнение переноса 14 /„= х„В„(Т), (38) где 2л»в 1 В,(т) = — „,„т ев е' — 1 (39) обозначает функцию Планка ()г и Ь вЂ” постоянные Больцмана и Плаюса соответственно). $5. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения играет важную роль в последующем развитии теории. Это отношение называется функцией источника.
Мы будем обозначать ее 4» Таким образом, х 7» (40) В соответствии с соотношениями (36) и (37) для рассеивающей атмо- сферы ~!»(9, ф = — ~ ~ р (9, с7; 9', 9»')!» (9', Е') Кп 9' й9' с!в', (41) в а а для атмосферы, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия, (42) З„= В»(т). 9 6. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Введем теперь основное уравнение, управляющее изменением интенсивности в среде, характеризуемой коэффициентом поглощения х„ и коэффициентом излучения /» (следует указать, что коэффициент излучения может сам зависеть от поля излучения, как, например, Можно ожидать, что в общем случае коэффициент излучения будет определяться не только рассеянием, но и другими причинами.
Если это не так, то мы будем называть атмосферу расееиеаюигей. Другими словами, для рассеивающей атмосферы 1» — I. ° (37) (Говоря о рассеивающей атмосфере, мы не предполагаем, что рассеяние является чистым.) Случай, в некотором смысле противоположный случаю рассеивающей атмосферы, представляет собой атмосфера, находящаяся в состоянии локального термодинамичеекого равновесия.
В этом последнем случае предполагается, что в каждой точке атмосферы можно определить локальную температуру Т таким образом, чтобы коэффициент излучения в этой точке выражался через коэффициент поглощения по закону Кирхгофа, т. е. чтобы в каждой точке имело место равенство э 7. Формальное решение уравнении переноса в рассеивающей атмосфере). Для этой цели выделим в среде малый цилиндрический элемент поперечного сечения Йо и высоты Йв. Из определения интенсивности следует, что приращение, которое получает за промежуток времени Й7 пучок излучения в интервале частот (ч ч+Йч), пересекающий под прямым углом оба основания цилиндра н сосредоточенный в элементарном телесном угле Йа, дается выражением Й7„ —" Йв Йч Йа Йа ЙА Йе (43) Вто приращение энергии обусловлено избытком излучения над поглощением в рассматриваемом интервале частот и элементе телесного угла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
