Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 4
Текст из файла (страница 4)
( 1. Рассмотрим теперь два особых случая поставленной задачи. (87) где +! Ц') =3(')=ФХ7(' р)ы . (89) -! Это простейший и наиболее изученный случай уравнения переноса. Так как на поверхность т = 0 не падает излучение, то формальное решение уравнения (88) имеет вид [см. уравн. (68) и (69)! 7(т, +1!) = ~ е-<е-!>Л'./(1) — (О ( 1о (1), (90) (т — )=.У -'-'"" (ОГ ( -» о Использовав это решение, можно выразить интеграл о! 7 (т) = ) 7(-, р) р" Ф (91) -! непосредственно через е (т).
Так, подставляя выражение 7(т, 9) из уравнения (90) в (91), получаем св ! уа(т) = ~ ~ е' И !Уо/ф(ои-! г9!7Р+ о ! + ( — 1)" ~ ~ е-Н-!мое'(С) 9" ! Ф!71! о о или, меняя порядок интегрирования, С ! 7„(т) = )! !Йу(Е) ~ !(Ври-!е-<е-'ио+ (92) ! +( — 1) ~ г711Я ) гу~ р"-ге-!' — ено. (93) ' 11.1. Изотропный случай. При изотропном рассеянии р1о1(р; р') — 1 и уравнение (82) принимает вид р „,' =-7(т, р) — 7(т), лг(т, и) (88) 9 »У, Задачи для яолубеснонечных атмосфер 23 уравнение (93) с помощью подстановки 1о = 1»х приводится к виду » (') = ~ их».»(») ~ лх е х1г — 1 1 ОЭ +( — 1)н) а»У(»)~ — „,е- 1-и (94) о 1 илн с помощью интегрально-ноказательной йдункции ') Е (у)= ~ — в-хк о к виду ОЭ о »„(т)= ~.»(»)Енэ,(» — т)й»+ ( — 1)н~ »(»)Е„еэ(т — »)й». (96) о 2 ХУ(»)Ез(/» — т/)й» о (97) СО я 2 ) У(») Ео (» — с) й» вЂ” 2 ~ У (») Ео (т — ») г»».
(98) о Уравнение (97) представляет собой интегральное уравнение относительно Л Это — интегральное уравнение Шварцщильда — Милна; решение его, очевидно, эквивалентно решению уравнения переноса (88). 11.2. Случай угловой функции Релея. В качестве второго примера рассмотрим рассеяние с релеевской угловой функцией (31). В этом случае ~ 1 + в з+ (1 ро) (1 — 1ол) свао (со ф ) + +2„„(1 р) (1 1о ) сов(ф ф)) (99) Следовательно, р Ь~1о)= 4~ +1 1 +2 м О ° О свойствах этой и связанной с ией функций см.
в приложении 1. Вспоминая определения величин » и Е, мы имеем, в частности ив уравнения (96), что Глава й Уравнении иереноеа или ров(р, и) = — ~З вЂ” и +(3 в — 1) 9 ). (100) Уравнение переноса (82) представляется поэтому в виде лг(о, и) а'О +1 а1 = Х(-., 9) — — [(3 — ро) ~ 1(т, р.') а1р+(Зро — 1) ~ 1(т, 11~)р~ 011~~,(101) -1 -1 илн, если ввести е' и К, определенные как обычно,— й „' О1=7(т, 9) — — 1(3 — йо)У(т)+(31ов — 1)К(т),'. (102) Функция источника в этой задаче имеет вид (104) К( ) =-1.[~ (ЗЕо — Ео)~1 Н 3(Г)гуг+ ~ (ЗЕо — Ео)~1,<К(т)6 ), (107) о о Э(т, Р) = 8 ((3 — по) У(т)+(31оо — 1) К(т)!.
(103) 3 Теперь с полной общностью [см. соотн. (92)) можно написать 1-1 ОО 1 ) !(т, 11)р.н1(р= ~ ~ $(г, 11)в н '~вра 1Л1111+ — 1 О О О 1 + ( 1)О ~ ~ От (Г 9) е и-еро1оа-1 1(1еьо о о Если $(т, а) выражается формулой (103), то различные интегралы, входящие в правую часть (104), могут быть преобразованы подобно соотношениям (93) — (96). Получим +1 СО ~ т (т, р)йа ф.= 8 [~ (Зеа+, — ен„а)п н У(г) огт+ СО О + ~ (ЗЕ„„— Е„„)„,, К(Г) И-(- ( — 1).
~ (ЗЕ„„— Е„„з)<, „У(1) (Г+ т о +( 1)О ~ (ЗЕ, о — Е„,,)1О 1>К(С)Ж~. (105) о Прн и=0 и и = 2 соотношение (103) дает у (т) = 16 [ ~ (ЗЕ, — Ео)<1=. < О' (1) пт+ / (ЗЕо — Е1)~ 1 -, ~ К(С) е(1~ (106) О о а 72. Осесимметричные задачи е аолубеснонеччых атмосферах 25 уравнения (106) н (107) представляют собой систему двух интеральных уравнений относительно з и К; решение этих уравнений эквивалентно решению уравнения переноса (102). два приведенных примера показывают, что линейные интегральные уравнения, которые обычно заменяют уравнение переноса, приобретает все более высокий порядок с увеличением числа членов в разложении (33) угловой функции.
$!2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ АТМОСФЕРАХ И В НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СЛУЧАЯХ В предыдущем параграфе мы сформулировали задачу переноса в полубесконечных атмосферах с постоянным полным потоком. Аналогичные осесимметричные задачи могут быть поставлены и в не- консервативных случаях. Для того чтобы проиллюстрировать сущность этих последних задач, рассмотрим случай изотропного рассеяния с альб о то<1 Соответствующее уравнение переноса будет иметь вид (108) Мы видим, прежде всего, что уравнение (108) допускает решение йида 7(т, н) =с">8(р,), !109) Гда и — постоянная (пока еще не определенная) и Х(Р) — функция только от Р.
Подставив функш.ю 7(т, Р) в уравнение (108), получим +1 ! )Е(Р) 2 ~,~ Х(Р) (110) -1 Следовательно, функция К(Р) должна иметь вид К(Р)= ! (111) Подставив это выражение о(Р) снова в (110)> придем к соотношению (112) сому й должно быть корнем характеристического уравнения 2Л о !и ((! + Й)К! А)) ' 26 Глава 1. Уравнение переноса из которого следует, что вместе с и корнем является также и †.
Можно показать, что для данного мо< 1 существует единственное значение йз < 1, удовлетворяющее уравнению (113). Это видно, например, из таблицы 1, в которой приведены характеристические корни для различных значений мо. Мы показали, таким образом, что уравнение (108) имеет ревение вида + Вв 7(т, «)=сопя! (114) !т.аи' где 0 < й < 1 — положительный действительный корень уравнения (113) для О < ао < 1. Функция источника, соответствующая решению (114), представляется в виде +1 $ (т) = — йо ~ ! (т, р) с!«в = сопз! ез "'. 1 (115) -1 Следует заметить, что е" "' является также решением интегрального уравнения +со в (т) = 2 мо ) л (в) Ег ( ! ! т ~ ) г7~ (116) которое в наших задачах соответствует плоско-параллельной атмо- сфере, простирающейся до бесконечности в обе стороны (см.
уравн. (97)!. В самом деле, легко проверить, что 2 йо ) е"'е,(«г — т~)л7=~2а «п( — а)~е"', (117) СО откуда видно, что при 7в, равном корню характеристического уравнения (1!3), вав является решением уравнения (116). Функция источника $ (с) = сопя! ° в"'(7в < 1), очевидно, удовлетворяет условию (85) на бесконечности. В соответствии с этим можно ожидать, что суше- Корни зо 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Таблица ! й характеристического уравнения й "в й 1,00000 0,8 0,7104! 0,9999! 0,9 0,52543 '0,9974! 0,925 0,45993 0,98562 0,950 0,37948 0,95750 0,975 0,27 ! ! ! 0,90733 1,000 0 0,82864 р 18, Диффузное отражение и лролуекание 27 стиуют решения урзвнения (108), которые на бесконечности ведут себя следующим образом: ~(т Р)-ь 1,„с+а (т + с„) (118) за частности, мы можем искать Решения, имеющие такое же поведении ма бесконечности и удовлетворяющие граничному условию 1(0, — и) = 0 (О < Р < 1) (119) пр» т = О.
Эта задача аналогична той, котоРаЯ была РассмотРена в ц. 11.1. Проведенное там исследование показывает, что подобные задачи могут быть поставлены для урзвнений, более общих чем (108). а 18. дИФФуЗНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И ПРОпуСНАние В некотором смысле основной задачей теории лучистого переноса в плоско-параллельных атмосферах является диЯбузное оглражение и иронускание параллельного пучка лучей. Именно, будет показано, что решение всех других задач может быть сведено к реи1внию этой одной.
В настоящем параграфе мы сформули11уим основную задачу и сделаем аешь несколько общих заме- по Феерий; подробное исследование Рзаличиых случаев этой задичи будет выполнено в поиййцуюших главах. т:т~ Задача диффузного отражении и пропускания плоско-параллельной атмосферой со- Фиг. 8. азиат в' следующем (си. фиг. 3).
Параллельный пучок лучей с полным потоком лр на единицу площади, перпендикулярной к направлению пучка, падает в некотором заданном Манном напРавлении ( — Рш о ) на гРаницУ плоско-паРаллельнОй пределени атмосферы оптической толщи т . Требуется определить угловое рас- 1' "-Ред ление интенсивности лучистой энергии, диффузно отраженной поверхности т = 0 и диффузно пропущенной через поверхность «~т .
Как мы иия мы увидим ниже, законы диффузного отражения и пропускзудобно выражать через функцию рассеянии ~ (тг) 1е~ о1 РО~ Ро) и оз Функцию пролусканин, Т(т,; Р 9' Ро Ро) 28 Глава Д Уравнение перекоса так чтобы отраженная и пропущеннзя интенсивности представились в виде У(0 +Р т) 4, 5(21 Р Ф Ро Ро) !(т» Р р) = — Т(21' Р 41 Ро ро) (О <Р<1).
(120) Р Следует особо отметить, что отраженная и пропущенная интенсивности относятся только к энергии, претерпевшей однократное нли многократное рассеяние; Т(т„ — Р, э) не включает, например, непосРедственно пРошедший в напРавлении ( — Ро, мо) поток Ге-'ж /4. Множитель 1/Р вводится в выражения, определяющие 1(0, +Р, м) и 1'(т„— Р, »о), для того, чтобы обеспечить симметричность о и Т относительно пар переменных (Р, м) и (Роро ), как этого требует принцип взаимности Гельмгольца (гл. НП, й 32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
