Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 5
Текст из файла (страница 5)
о(11' Р й' Ро 9о)=о(21' Ро 9о' Р 'Р) ( 121) Т(21( 1», 7; Р,о, »оо) = Т(1,; Ро, мо, Р, 9). Хотя задача диффузного отражения и пропускания была сформулирована для случая, когда падающий пучок лучей параллелен, очевидно, что решение для произвольного падающего поля излучения (с одним и тем же угловым распределением во всех точках поверхности 2=0) также может быть выражено через Я и Т.
Так, если Тд,д (Рг, а') представляет интенсивность, падающую на плоскость т = 0 в направлении ( — Р', э'), то угловое распределение отраженного и пропу1ценного света будет определяться формулами »отр.(0, +Р.' 41) 4 .) ~ о(т1; 1», э; Р.', 1Р)»дед.(1»', т)21Р'ат (122) о о 1 2» »ирод.
(21~ — 1», 9) 4 ) ~ Т(21; Ро э1 Р'~ 1У ) едва. (Р', в )аР'с2~'. (123) о о Согласие этих выражений с соотношениями (120) станет очевидным, если заметить, что угловое распределенве параллельного пучка излУченил, паДающего в напРавлении ( — Ро, д '1, может быть пРедставлено с помощью 3-функции ширака в виде Т .(Р', ~')=Яро(Р' — Ро)3(Ф вЂ” ',,) (124) В случае полубескопечной атмосферы нас интересует, естественно, только закон отражения.
Мы можем поэтому написать Т(0, Р, т) = ~ ю (Р, 12; Р, 18 ). (125) Уместно сделать здесь одно общее замечание, относящееся к задаче о диффузном отражении и пропускании. При реп.ении втой задачи 4 !е. Задача со сферической симметрией яянгевно различать ослабленное падсюигее излучение яге-нч, кОторйв проникает до уровня т, не претерпев какого-либо рассеяния или пглгяцения, н поле диодсдузного излучения, возникающее вследствие йннократного или многократного рассеяния.
Это последнее поле излучеанш мы и будем характеризовать интенсивностью У(т, р, р). При таком Ряйяелении двух полей излучения уравнению переноса применительно М задаче о диффузном отражении я пропускании можно придать вид ( ' и'Ч- =/(т, Р, ~р) — — ~ ~ р(р, Р; Р', оо') У(т, р.', р') др'Фр'— -г о 4 Ре- Чжр (Р чЛ Ро Ео). (126) ! От решений этого уравнения мы потребуем, чтобы они удовлетвоРяли граничным условиям с(О, — Р, р) = О (О < Р <1), У(т„+Р, Р) = О (О < р < 1), нрн т = О и т = т,. Заметим, что, принимая граничное условие (128), мы предполагаем наличие при т = т, абсолютного (совершенного) поглощятеля (или, что то же самое, вакуума).
Ннже будет показано, что решение, соответствующее другим ярьвяичным условиям при т=т„может быть приведено к решению йа1юрмулированной „стандартной задачи". В случае диффузного отражения полубесконечной атмосферой ййдается условие (127) и требуется ограниченность решения при йг о со. При изотропном рассеянии с альбедо мо пол- излучения обладает манной симметрией также и в случае диффузйого отражения и пропускаНми. Соответствующее уравнение переноса имеет вид +! — =По, р) то ) 7(т Р)др тоде ', (122) -1 1)ри угловой функции более общего вида поле излучения может яяк угодно зависеть от азимута. Однако если угловая функция может Разложена в ряд по полиномам Лежандра, то интенсивность (ч> Р, 9) представляется в виде !(т, Р, сР) = ~У(т1(т, Р,) созгп(Р— Ро). (130) $14.
ЗАДАЧИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ Если среда, в которой распространяется лучистая энергия, обласферической симметрией, то коэффициент поглощения на единицу оояссы х и плотность о являются функциями одного только расстояния г Глава 1. Уравнение переноса 30 сГг = соз 3 сй (131) гсГ0 = — езп 3сГв и уравнение переноса (49) прини- мает вид д1 в!а В д1 сов дг г дз = — хр(1(г, 3) — 3(г, 3)), (132) или, при р = соз 3, д1 1 — эе д1 Р дг+ г д« хр(1(,, „) У(г, „)). (1ЗЗ) Фиг. 4. Для рассеивающей атмосферы функция источника имеет вид см.
соотн, (82) и (83)) ьв 3( р)= 2 ) РРЛ( ~')1( р')сГр' (134) -1 а для атмосферы, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия— '3(г, р) = В„(Т„), (135) где В,(Т„) — функция Планка для температуры, свойственной точке г. При изотропном рассеянии уравнение переноса (133) сводится к ~-1 Гв — + — — = — хр~1(г, р) — — в~о ) 1(г, р')с13 ~.
(136) д1 1 — Эг д1 Г 1 Г, с1 дг г др 1 ' 2 -1 В задачах на лучистый перенос прн сферической симметрии чаще всего рассматривается уравнение (136), хотя нетрудно обобщить результаты исследования, включив, например, случай угловой функции Релея. В астрофизических приложениях наибольший интерес представляет бесконечно простирающаяся среда, в которой произведение хр изменяется как некоторая отрицательная степень от г (большая единицы); в физических же задачах, напротив, интерес сосредоточен в основном от центра симметрии. И если, далее, нет притока излучения извне, то интенсивность н функция источника будут зависеть только от рзсстояния г н от наклона О рассматриваемого направления к радиусу-вектору.
Пусть теперь с(в — элеиент длины в направлении д в точке г; тогда Е /о. Преоставаение оознривовинноео свежи на „ди диффузии" в однородных сферах и сферических оболочках (с дополнительными источниками энергии, как-то распределенными в среде). В заключение укажем, что формальное решение, выведенное в й 7, для рассматриваемого случая имеет вид (см. фиг. 4) 7(г, 0)=Р ) 3(Рсозеср; 9)ехР( — Р ) (хР)р.в„, созес'~лесу ~ Х в 9 Х (хр)реввесе созес~~у Но. (137) В случае изотропного рассеяния и для однородных сфер это реп,ение может быть использовано пРи выводе интегрального уравнения относительно у, так же как и в аналогичных задачах для плоско-параллельных атмосфер.
В 15. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА до сих пор при описании поля излучения мы не говорили о состоянии поляризации. Однако очевидно, что прн точном исследовании процесса рассеяния мы должны это делать всегда, так как в результате рассеяния свет, вообще говоря, становится поляризованным. Например, по классическим законам Редея (см.
й 16), первоначально неполяризованный пучок, будучи рассеянным в направлении, составляющем угол гв с направлением падения, становится частично плоско- поляризованным с отношением интенсивностей 1:созе Й в направлениях, перпендикулярном и параллельном к плоскости рассеяния (т. е. к плоскости, содержащей направления падающего н рассеянного света). Поле диффузного излучения в рассеивающей атмосфере должно быть поэтому частично поляризованным. Возникает вопрос о том, как лучше всего описывать поле излучения для того, чтобы уравнения переноса имели наиболее удобный вид. Во многих случаях этот вопрос является основным: от ответа на него зависит решение разнообразных задач, в том числе и одной из важнейших — задачи о распределении яркости и поляризации дневного неба. Для описания поля излучения общего вида следует, очевидно, ввести четыре параметра, определяющие интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения в каждой точке и в любом заданном направлении.
Очевидно, однако, что невозможно сколько-нибудь симметрично включить в уравненна "'Реноса величины столь различной природы, как интенсивность, отношение, угол и число. Поэтому важной задачей является подыскаиие удобного параметрического представления поляризованного света. Наиболее удобное для вывода уравнений переноса в газовой среде предст Редставление поляризованного света можно получить при помощи систем стемы четырех параметров, введенных Стоксом в 1852 г.
Это пред- Глава д уравнение нереноеа ставление в несколько измененном виде будет использовано в настоящей книге. Имея в виду недоступность исследований Стокса, мы приведем их здесь в удобной для наших целей форме. Ег= Е! >вш(а/ — о„), Е> = Е> ейп (а/ — о>) >о> . (138) где Е> и ń— составляющие колебания вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений ! и г (см. фнг. 5)! а — угловая частота колебания, а Е!, Ег"~, о> и о,— постоянные.
>о> (о> Если главные оси эллипса, определяемого параметрами Е, и Е„, расположены в направлениях, составляющих углы Х и у+и/2 с нз- й правлением /, то уравнения колебанн принимают простой вид Е. = Е<о> сов 8 в!па/, Е, о.-.>е = Р> в>п ~ сов а/, (139) где р' — угол, тангенс которого равен отношению осей эллипса, описываемого г концом электрического вектора. Предположим, что численное значение В заключено между 0 и и/2 и что знак р положителен или отрицателен соответственно для правого и левого направлеФиг. 5. ния поляризации. Далее, в уравнениях (139) Р> обозначает величину, пропорциональную средней амплитуде электрического вектора; квадрат этой величины равен интенсивности луча: /=(Е~'! =)Ег ) +(Е', ! =/>+У" (140) формулы, связывающие выражения (138) и (139), имеют важное значение и могут быть выведены следующим путем. Исходя из уравнений (139), получим для колебаний в направлениях / и г соотно- шения Е> — — Е>о> (сов р сов Х в>п а/ — в!и 8 в>п у сов а/), Ег = Е>о>(сов ~ в>п Х в>п а1+ в>п 8 сову сова/).
(141) 15.1. Эллиптически поляризованный луч. Хорошо известно, что в эллиптически поляриаованном пучке колебания электрического (и магнитного) вектора в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения света, происходят таким образом, что отношение амплитуд и равность фаз составляющих, поляризованных в любых двух взаимно перпендикулярных направлениях, остаются постоянными. Регулярное колебание такого рода может бить представлено в виде З !5. УУредставленае поляризованного света пти соотношения могут быть приведены к виду (138), если положить 1 ЕГ~ = Ею!(созе 8 сов у+ яп' р з!пв;()в, 1 Ее =Е (соз рз!и у+5!п рсоа у)в, !8 в, = !я р !и)(, !д в, = — !8.
3 с!и у. (142) (143) (144) далее, с помощью соотношений (142) и (143) мы можем легко убедиться в том, что 21! Ее сов (в! — ',) = 2 [Еио!'(созе ~ — япв ф) соз ~ з!и у = = Усов 2Р з!и 2у (144) и, подобным же образом, 2Ез Е„~ з!п(вг — в„) = Узри 2р. (146) Ив предыдущих соотношений следует, что всякий раз, когда регулярные колебания, представляющие эллиптически поляризованный луч, выражаются в форме (138), мы непосредственно приходим к равенствам У = [Е)"! !'+ [Е,'ю) в = У, -!г- У„, !е= [Е~з ~[ — !Е! ~1 =Усоз2р сов2у =У,— У„ (У= 2Ег !Е'„! сов (з,— в„) = Усов 28 яп 2у = (У,— У ) !8 2ул Ъе= 2ЕРЕ~м з!и (в! — ве) = Уяп 2р = (У! — У„) !о 2р зес 2у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
