Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Например, в соответ- ствии с формальным решением ~гл. 1, 9 7 и 8, уравн. (70)) урав- нения переноса выходящее излучение в полубесконечной плоско- параллельной атмосфере определяется формулой l (О, р) = ~ е-'1о..1(т, Р) —. (6) о Поэтому практический интерес представляет вопрос о выборе наилучшей формулы численного интегрирования выражений нида ) е- 7'(х)Ых. (7) о Как мы увидим ниже (9 22), в этом случае формула интегрирования, основанная на делении интервала (О, со) при помощи нулей полиномов Лагерра, дает точность, сравнимую с точностью формулы Гаусса в интервале ( — 1, + 1). Далее, для вычисления средних интенсивностей и потоков в плоско- параллельной атмосфере по формулам 1см.
гл, !. соотн. (97) и (98)) 7 Гт) = ~ ) 3 (Г) Е ~ 1 — -. ~) а'1, о и Е(т)=2~~1ЯЕ($ — т)г71 — 2~ ~(1)Е,(т — 1)й, (8) удобно пользоваться квадратурной формулой, подобной формуле Гаусса и учитывающей наличие ядер с особенностями (но с конечными моментами). Мы рассмотрим такие формулы в 9 23. я 21. ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ Рассмотрим в общем виде интеграл о ~ 7 (х) те (х) г7х, (9) ь в заданных пределах а и Ь от функции 7(х), взвешенной с помощью заданной функции те(л). Мы предположим, что 7 (х) непрерывна в интервале (Ь, а) и что интеграл существует. З 2!.
Построение неадратурной формулы допустим, что мы хотим вычислить интеграл (9) с помощью квздратурной формулы, использующей только т значений у (х) в интервале (Ь, а). Возникает вопрос о способе выбора точек деления, дающем „наилучшее" значение интеграла. Чтобы выяснить эзот вопрос, поступим следующим образом, Пусть точки ьл х х. ф (х) ~Л У (ху) (ь, х ) рь (х ) ь у=ь (10) где (11) есть полипом степени и, нули которого совпадают с точкаии де- лення (хг) и ьоь (х ) = ( — "„~ ) = Д (х — хг). (12) Полипом ф(х) мы будем рассматривать как приближенное представление функции у'(х).
Интеграл (9), если в него подставить ф (х) вместо /(х), оказывается равным а т / ф (х) го (х) с[х = ~~) агу' (ху), ь ь=ь (13) где Веса аС [иногда называемые числажи Крисглоффелн, связанными с а(х)) не зависят от ) (х) и могут быть вычислены раз и навсегда, если точки деления (ху) заданы. В методе Ньютона и Котеса интервал (Ь, а) делится на (и+1) Равных отрезков, причем предполагается, что приближенное выражение интеграла дает формула а т ) ~(х)го(х)о!х= ~ азу (ху). ь е=ь (15) (Ху) = (Хь, хяь ..
°, Лт) представляют собой точки деления интервала (Ь, а). Используя интерполяционную формулу ь!агранлга, можно построить полипом ф (х) степени, меньшей или Разной т — 1, который примет в точках (х ) те же значения, что и фуьцгцня у'(х).
Так, Глава 11'. Квадратурнме ь(ьорлеулм аь — — ~ х'ш(х)ах (1=0,1,...,2ш — 1) (17) ь моменты заданной весовой функции, мы должны потребовать выполнения равенства аь — — ~~Ь ах' (1=О, 1, ..., 2ш — 1), 1 —.1 что даст нам 2ш уравнений для определения 2т неизвестных а (/ = 1,..., ги) и х (у = 1, ..., т). Если уравнения (18) можно раз- решить относительно (х) и (а,), то мы построим формулу интегри- рования, которая будет „наилучшей" в указанном выше смысле. Ясно, что ни при каких условияк ошибку (16) нельзя сделать равной нулю для произвольного полинома степени, более высокой, чем 2т — 1. Можно укавать следующий метод решения уравнений (18) отно- сительно (хз) и (а,). Рассматривая и систем из (не+1) уравнения каждая, а,, = У а.хеь1 (У = О, 1,..., т; О (1 ( т — 1), (19) 1=1 образуем суммы т-1 %1 и'+ + л~ Сьев+1 ь=ь (20) (;=О, 1,...,т — 1), Гаусс показал, что удобнее выбирать (х) не на равных расстояниях друг от друга, и дал следующий критерий для выбора точек деления.
Погрешность при вычислении интеграла (9), если в качестве его приближенного значения принять (13), будет равна а ьа ) 7 (х) пь (х) бх — ~ а17 (х ). (16) ь 1=1 Эта погрешность обращается, очевидно, в нуль, если у (х) — полипом степени, меньшей или равной и — 1. Выясним, можно ли при соответствУющем выбоРе точек (ху) сделать по1Решность Равной пУлю дла полиномов степени, более высокой чем т — 1.
И если это возможно, то какова наибольшая степень |(х), для которой это можно осуществить и каковы соответствующие точки деления (х„)? Покажем сперва, что при соответствующем выборе точек (х,) погрешность (16) можно обратить в нуль для произвольного полинома у(х) степени, меньшей или равной 2т — 1. Для того чтобы выражение (16) обращалось в нуль для произвольного полинома степени 21и — 1, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы это имело место для всех степеней х, меньших 2т, в отдельности.
Обозначив через й 28 ллодтроскпс ксадратурной форл~улгы где с~(1=0, 1, ..., т — 1) суть т постоянных, пока еще не определенных. Формулы (20) с поиощью выражений (18) можно привести к виду 1о о~-1 ч а.х'(х"'+ ~ с х'.) (1=0, 1,...,т — 1), (21) — С о Отсюда следует, что если мы определим (единственным образом) т постоянных сг из т линейных уравнений аьь + ~1 с,аг~,=О (1=0, 1,...,т — 1), (22) то будем иметь х'."+ У с,х,'.=О (1=1 (23) Таким образом, хл.(/=1, ..., т) представляют собой корни уравнения и3 — л гл(х) =х"'+ ~ с~х'=О.
(24) г=о Если с, и хд определены указанным способом, то ад могут быть определены из любых )и уравнений, входящих в систему (18). Оставшиеся т уравнений будут тождественно удовлетворяться, так как из 2т уравнений (18) только ги являются линейно независимыин [см. уравн. (22) и (23)). Проведенные рассуждения показывают, что мы всегда можем построить т-точечную квадратурную формулу, которая будет точно представлять интегралы типа (9) для всех полиномов ~(х) степени, меньшей или равной 2т — 1.
Однако часто бывает удобнее определять Р (х) (а следовательно и (хд) как нули гл) несколько иным способом. Пусть ~(х) — поливом степени 2т — 1. Так как разность л (х) — р(х) обращается в нуль при х =ха(Г = 1,..., т), можно написать и — 1 у(х)= ) (х)+ Р(х),~, д,х', и=о где 8,(1= 0, 1, ..., т — 1) — некоторые постоянные.
для того чтобы погрешность (16) значения интеграла (9), вычис~~~ного по формуле (13), обращалась в нуль для произвольного полннома степени, меньшей чем 2т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства Глава П, Квадратурные формулы О ~ Р(х)то(х)хгг[х=О (1=0, 1,..., т — 1). (26) ь Если вид Р(х) может быть определен из этих условий, то значения ху могут быть определены как нули Р(х), а веса лу вычислены из уравнения (14). $22. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 22.1. Формула Гаусса. Для интеграла ) У(Р) 1Р -г (27) в пределах ( — 1, +1) условия (26) принимают вид вг ) Р (Р) Р! агр = 0 (1 = О, 1,..., т — 1).
-г (28) (Для единообразия мы вновь будем пользоваться переменной Р в этом и следующих разделах.): Известно, что полиномы Лежандра Р (Р) порядка т ортогональны к любой степени Р, меньшей т. Действительно, используя формулу Родрига г~гн Р (Р) — (Ра ])ва (29) и интегрируя +г 1 г Лы в 1)ы 2ыт! у л!"~ -1 (30) Последнее выражение равно нулю для всех 1~(гл — 1. Таким образом, условие (28) для Р(Р) выполняется при Р'(Р) =Р (Р). Обратно, можно показать '), что полипом Р(Р) порядка т, ортогональный к любой степени Р, меньшей т, не может отличаться от Рт(Р) более, чем на числовой множитель.
г) См. НоЬ вон Е. %., ВрЬег!са! апг! Ей!рвоЫа! Нагшоп!св, СашЬНде, 1931. [Есть русский перевод. См. Го 6 с о и Е. В., Сферические н вллипсоидальные функции, М., !952.— Прим. ред.) 1 раз по частям (не забывая при этом, что все производные от (Рв — 1)гв порядка, меньшего чем 1, обращаются в н„ль при Р= -1), получаем вг ( — 1)Л ~'~~-'(э ) (31) -1 9 22. Сиечиальные кеадратурные формулы 54ы показали, таким образом, что если 7'!9) произвольный полипом порядка 2т — 1, то имеет место соотношение ег т ~ !!9)ИО=) а7!9), — 1 е=г где !ь„..., йт нули Рт!р:.), а ь (33) !32) Это и есть формула Гаусса. В дальнейшем будет удобно всегда делить интервал ! — 1, +1) при помощи нулей полиномов Лежандра четной степени Р н!!ь).
Для таких четных разбиений выполняются, очевидно, следующие равенства где 81, = 1, если 7 четное, 31, — О, если ! нечетное. (36) Пользуясь формулой Гаусса, основанной на нулях полинома Рзн!!ь), мы будем говорить, что имеем и-ое приближение. Таблица В! Гауссовы точки деления и веса а=1 ) т 2 1' !"е =ш0,5773503 а! — — а г=! л = 2 ! Иь ь —— -~- 0,3399810 аг — — а ь = 0,6521452 т=4 ! !ь,,— — -'-0,8611363 а,=а,=0,3478548 Ия ь = ' 0,2386192 а~ = а ! = 0,4679139 ит е = — ' 0,6612094 ае = а е = 0,3607616 1ье е = =' 0,9324695 ае = а е = 0,1713245 = -'- 0,1834346 аь = а ! = 0,3626838 л 4 ~ , = -~- 0,5255324 ае = а е = 0,3137066 т = 8 1ь. з = =' 0 7966665 ае = а е = 0,2223810 = сс 0,9602899 а4 = а е = 0,1012285 В табл.
Ш, которая представляет собой выборку из более обширной ~аблицы Лоуэна, Дэвндса и Левенсона, приведены нули Рзн!!) и соответствующие числа Кристоффеля для первых четырех приблйжений, а,=а еь !ь 7= — !ьу !у=1,..., и). !34) Поэтому тот факт, что !32) дает точное выражение интеграла от !ьг для всех 1~(4и — 1, можно выразить в виде равенства !35) 1=а1 76 Глава П.
Квадратурныв формулы До сих пор мы занимались только вычислением интегралов от полиномов. Понятно, что если 7'(р) не является полиномом, то формула Гаусса дает лишь „наилучшее" приближение к истинной величине интеграла. Мы не будем здесь заниматься вопросом о точности формулы Гаусса определенного порядка и сошлемся лишь на библиографические указания. 22.2. Формула Радо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
