Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 16
Текст из файла (страница 16)
26.5. Исключение постоянных и представление закона диффузного отражения в замннутой форме. В соответствии с (90) н (107) формула для 7 принимает внд Т= 7(„) =НЬо)Н( )ао) 1 (108) а=1 Так, Я()11)=0 (1'=1, ..., и), 7(0а )а) = — ГооРЯ( — 9). 1 (110) (111) Далее, мы видим, что функция есть полипом по л степени )а, обращающийся в нуль при )а=им 1=1, ..., и. Поэтому должно существовать соотношение вида П (н — нг) Я Х( — 1)и А1 1 З®=Х Н1 Ри (1 — 1Фо) "П(' — ' ) а=1 где Х вЂ” некоторая постоянная.
Этому соотношению можно придать еще и другую форму 1см. соотн. 106 (112) ( )) о( — н) З(р) =Х 1 ! Постоянную Х, входящую в равенство (113), мы определим из того Условия, что в соответствии с формулой (109) Иш (1 — ~15()а) = Н(ио) Н( — )ао) (114) „.+ о„во~ Подставив это значение 7 в (94) и (100), мы сможем выразить угловое распределение выходящего излучения и граничные условия через функцию у 7., + Н(н,) Н( — и,) (109) Лая 1 — дав 1 — ИНО Глава Ш.
Иэовиролное рассеяние и в то же время в соответствии с (113) )(ш (1 — ~)5(Р)=ХН( — р„). о.а о, Ров (115) Следовательно, (116) (117) (118) то окажется, что (-,'+А)'(' «)=-~(Р)Н( ) (120) Следует обратить особое внимание на то, что в соотношении (120) переменные Р и Р разделяются. Причина етого разделения будет выяснена в гл. 1)(. Мы не даем здесь численных значений Н(Р) в различных приближениях, так как в одной из следующих глав (гл. )() мы приведем таблицы точных значений функций Н(Р). $27.
ЗАКОН ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ В КОНСЕРВАТИВНОМ СЛУЧАЕ Решение в консервативном случае может быть получено, если в формулах предыдущего параграфа просто положить Во=1 и один из корней характеристического уравнения (например, йн) считать равным нулю. Так (см. соотн. (98) и (108) †(111)), ..)(т) = — Р'~ ) Е.„е "а'+7.„+Н(ро)Н( — Ро) е '~""~ (121) а=1 у(0, )= 1 Гв чт ~' +7. + ('о) ( Ро) 1 (122) 4 (.Ла( 1+А„и " 1+и(ЕО а=1 где Н(р) имеет теперь то же значение, что и в $25 (соотн. (60)). Исключение постоянных производится точно так же, как и в 3 26, и приводит к закону диффузного отражения (см.
соотн. (118)) 7(0, )а) = — Г Ро Н(Р) Н(йо). (123) Х= Н(ро), Н(но) Н( — н) 1 — $'Лао Закон диффузного отражения принимает теперь вид 7(0, Р) = — ВоР о Н(Р) Н(йо). Если выразить отраженную интенсивность (118) через функцию рассеяния 5(Р, Ро) [см. гл. 1, соотн. (125)) в виде !(0 Р) 4 5(Р Ро) (119) 3 27, Закон диффузного отражений функция рассеяния попрежнему выражается соотношением (120). Представляет значительный интерес тот факт, что в случае консервативного рассеяния функция ~ (з) стремится к конечному пределу при т -+со: (124) при г=О.
Умножив выражение 1см. соотн. (122) и (123)] н-г П(+ ) Х г' +7. +Н(но) Н( — Ре) 1 '=! Н(Ро) ! + а«Р ! + Ргня Рг ° ° Р' 1+ Р/Ра «=1 н П('+') «1 на ( г1 + — ) Д (1 + )г«9) (127) ««1 и приравняв коэффициенты при )«и в обеих частях равенства, найдем, что (128) нг откуда Н(Ро) н=Ро )гг йн-гиг ™н (129) или, на основании соотношения (36), 1:н = роН(Рв) ]г 3 ° (130) Объединив выражения (124), (125) и (130), получим 3 ' (О) =РоУ'3 (131) — результат, который, как мы видим, не зависит от номера приближения.
Отсюда можно сделать вывод, что соотношение (131) является точным. В заключение следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что решение задачи о диффузном отражении содержит ту же Н функцию,' что н закон потемнения к краю в задаче с постоянным полным потоком (см. $ 25, уравн. (61)]. Происхождение этой замечательной связи между двумя задачами выяснится в гл. 1Ч.
найдем теперь отношение значения функции )(т) при т-+со к ее значению 3(о)7(оо)арн() (! 25) Глава 775 Изотрооное рйеееяниа БИБЛИ ОГР Аф И ЧЕС Кн Е ЗАМЕ ЧАН И Я В втой главе изложение, за исключением отдельных деталей, построено в соответствии со следующими статьями: 1. С Ь а и й та век Ь а г Б., Аз!гарпун. А, 100 (1944), 76; 101 (1945), 328 (6 25). 2. С Ьапйгаэе$с Ь аг Б., Аыгорпуз. Л., 101 (1945), 348; 103 (1946), 165 (6 26 и 27). См. также 3. С Ь а п й г аз ей Ь а г Б., Впй. Ашег. Ма!Ьепс. Бос. (1946 О!ЬЬз $.ес1пге), 53 (1947), 641. Н-функции были введены впервые в явном виде в работе Чандрасекара [2[.
Следует сослаться также на более ранние исследования задач, рассматриваемых в этой главе. в 25. Уравнение переноса, изучаемое в этом параграфе, было впервые получено К. Шварцшильдом в его исследовании лучистого равновесия серой звездной атмосферы прн условии локального термодинамического равновесия: 4. Б с Ь ст а г х з с Л ! ! с1 К., Обп.
Наспг. Майк РЬуз. К!., (1906), 41. Результаты дальнейших исследований изложены в следующих работах: 5. Л е а п з 1., Моп. Нос. Поу. Аыг. Бос., 78 (1917), 28. 6. М$! не Е., Моп. )с(о!. йоу. Аз!г. Бос., 81 (1921), 361, а также РЫ!. Мае., 44 (1922), 872. 7. Ь 1п с1 Ь!ай В., Асса Пей. Бос. Бс!. $)ррза!а, $У, 6 (1923), 1, а также $)ррза!а $)п!т. Лгззйг($1, 1 (1920). 8. М$1пе Е., РЬП.
Тгапз. Псу. Бос. 1.опйоп, А, 223 (1922), 201. Сводку этих и других исследований можно найти в следующих книгах: 9. Ей й (п я!оп А., ТЬе !псегпа! Сопэгйп11оп о1 1Ье Бсагз, СашЬ!Мйе, 1926, сЬ. ХП. 10. М$! п е Е., НапйЬ. с$. Аз1горпуз., Вй. Ш, ТЬегшск1упаш)сз о$ гйе Б!агз, Вегйп, 1930, р. 70 — 172. 11. $$ п вб1с$ А., РЬуз!й йег Бгегпагшозрйзгеп, Вей!п, 1938. [Есть русский перевод. См. У изольд А., Физика звездных атмосфер, М., 1949.— Лрим. ред.) Статья Милна [10) представляет особенный интерес. Соотношение Хопфа — Вронштейна (п.
25.7) впервые встречзется в следующих работах; 12. В го па се1п М., Хз. 1. РЬуз., 58 (1929), 696; см. тзкже Ез. $. РЬуз„ 59 (1929), 144. 13. Н о р1 Е., Моп. Ь)о!. Поу. Азгг. Бос., 90 (1930), 287. В втой связи следует также сослаться на монографию: 14. Н о р $ Е., МагйешаПса! РгоЫегпз о1 Пай!а!Рте Ейпй(ЬНппс, СапсЬгМйе Магпещ. Тгасйв )с)о 31 (1934). фй 26 и 27. Задача, рассматриваемая в этих параграфах (особенно в 6 27), была поставлена впервые в исследованиях, связанных с так называемым.
,эффектом отражения' в затменных переменных звездах. В этой связи упомянутая задача впервые встречается в работе: 15. Ей й! пи!оп А., Моп. )с)о!. $$оу. Аз!г. Бос., 86 (1926), 320. Более подробное исследование этой задачи было выполнено в следующих работах: 16. М1! не Е., Моп.
(с(о!. Поу. Аз$г. Бос., 87 (1926), 43; см. также [9). 17. Но р$ Е., [14). Результат, выраженный соотношением (131), получен Хопфом [17) другим путем. Глава 1ьг ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ $28. ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ Полученные в гл. Ш решения задачи с постоянным полным потоком и задачи о диффузном отражении при условии изотропного рассеяния обнаружили существование связи между этими двумя задачами. Так, закон потемнения к краю в задаче с постоянным полным потоком и закон диффузного отражения выражаются через одну и ту же функцию Н при помощи соотношения (гл.
Ш, соотн. (61) и (123)) 7(О, ..) = —,' РН ®, 3/3 ( ~ 1 ~ РО) 4,~+ (Р) (~ 0)' и+во (2) В и-м приближении имеем (3) где р» — нули полннома Лежандра Ра„(р), а й,— положительные от- личные от нуля корни характеристического уравнения (4) Хотя .решения (1) и (2) были найдены при помощи некоторого частного способа приближения, тем не менее ясно, что полученное соотношение должно быть точным, так как оно имеет место в приближениях любого порядка и должно соответственно выполняться 'н в пределе, когда решения превращаются в точные.
Возникает вопрос о происхождении и смысле этого соотношения. рассматриваемом случае изотропного рассеяния можно вернуться "исходным уравнениям переноса (гл. Ш уравн. (1) и (78), последнее при ма=1) и вывести обнаруженное соотношение как интеграл !лава !И Принцинм инвариантновгни У8 5 29. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПОВ ИНВАРИАНТНОСТИ Мы дадим теперь математическое выражение принципов инвариантностн, сформулированных в й 28. Для этой цели рассмотрим атмосферу, рассеивающую излучение по закону, определяемому угловой функцией р(созга) (необходимые обобщения на случай рассеяния, определяемого угловой матрицей, будут даны в $36).
29.1. Инвариантность закона диффузного отражения. Пусть параллельный пучок излучения, полный поток которого на единицу площади, перпендикулярной к направлению пучка, равен яР, падает на поверхность полубесконечной плоско-параллельной атмосферы в напРавлении ( — Ро, мо) и пУсть интенсивность г'(О, Р, Т) света, диффузно отраженного в направлении (Р, м), выражается через функцию рассеяния 5 (Р, Р; Ро, <ра) по формуле (см. гл.
1 соотн. (125)] Р у(ОЭ Р 'р)= — „о(Р~ 9' Ро 90). (б) этих уравнений. Но при рассмотрении более общих ззконов рассеяния аналогичные соотношения таковы (см. гл. Ч!), что попытка получить их как интегралы соответствующих уравнений, даже если она окончится успехом, вряд ли позволит выяснить физический смысл этих соотношений. Интересно поэтому заметить, что истинное происхождение взаимосвязи между двумя рассмотренными задачами выводится из инвчриантности выходящего из полубесконечной плоско- параллельной атмосферы излучения по отношению к прибавлению (или отнятию) слоев произвольной оптической толщи к (или от) атмосфере (ы). Принципы инвариантности, подобные сформулированному, могут быть установлены и для других задач.
Так, в задаче о диффузном отражении закон диффузного отражения полубесконечной плоско- параллельной атмосферой должен быть инвариантен по отношению к прибавлению (или отнятию) слоев произвольной оптической толщи к (или от) атмосфере(ы). Эта инварнаптпость, подчиняющая себе закон диффузного отражения в полубесконечной атмосфере, была впервые сформулирована Амбарцуияном. Можно сформулировать много принципов инвариантности, подобных тем двум, которые мы уже установили. Остальные удобнее рассматривать в связи с задачами о переносе лучистой энергии в атмосферах конечной оптической толщи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
