Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поэтому мы обратимся к нии в гл. ЧП. Здесь же лишь укажем, что эти принципы инвариантности и описанный в гл. 1П метод решения уравнений переноса вместе взятые представляют собой мощное средство для исследования проблемы переноса в плоско-параллельных атмосферах. Э 29. Матезгагаииееиая фор.ыуаироеяа прииципое Рассматривая поле излучения в такой атмосфере, мы можем отделить ослабленный поток (6) яРе-"о, падающий в направлении ( — Роз Ро)> от диффузного поля излучен характеризуемого интенсивностью 1(тн й, у). Разделяя, далее, восходящее (О <9 < 1) и нисходящее (О >и)~ — 1) направления, напишем 1(, + 1., Р) (О < Р < 1), (7) 1(та — 9, Р) (О<Р<Ц.
(8) Очевидно, что ниже уровня т атмосфера будет отражать излучение (6) и (8) по одному и тому же закону диффузного отражения полу- бесконечной атмосферой; зз счет этого будет возрастать восходящая интенсивность 1(т, + н, р) в направлении (+ 1о, оо).
Другими словами, р 1(т, +Н Р)=,— „е "~Ь 'Р Ро М+ + — — ~ ~ 8(р., и; р, р') 1(т, — 1о', р') е11о'гЪ'. (9) о о В этом и состоит утверждение об инвариантности функции Я(Р, Р; Ро, Ро) по отношению к добавлению или отнЯтию слоев.
1(., +Р)=1(о, „)+ —,' Ц юЬ, 9; р,, р1)1(т,— Р')аР'~р' (10) о о или вследствие осевой симметрии функции 1(т, — 'г) 1 1(-, +я) =1(О, и)+ ~ У" Ь Р')1( — Р')4" (11) о где ро~( е) 1 ~ с(9 ~р 1о', 9')~йу' о (12) 29.2. Инвариантность закона потемнения к краю. Рассмотрим, далее, осесимметричное поле излучения в полубесконечной атмосфере с постоянным полным потоком.
В этом случае инвариантность выходящего с границы излучения 1(0, и) по отношению к добавлению (или отнятию) к (илн от) атмосфере(ы) слоев произвольной оптичеческой толщи, очевидно, выражается в том, что восходящее излучение 1(т, + Р)(0 < и < 1) на некотором уровне т может отличаться от 1(0, и) только наличием на уровне т нисходящего излучения, отражаемого атмосферой, расположенной ниже т, по закону диффузного отражения в полубесконечной атмосфере. После удаления слоя, расположенного выше т, 1(-., + 1о) переходит в !(О, и), поэтому должно выполняться равенство Глава 1К Лриллилы илаариалмнодвл — не зависящий от азимута член в разложении Фурье функции о(р р' у 'у).
7(т, +р) = — Г1(1 — — й,) с+р~+ г з + — „„~ ) ~ Ь, Ч1 р', Ч') 7*(т, — «') и«' ву' о о 1 = — ', ~~( — —,'и,).+„~+Я~ (р, ')~*(., — „')~ '. (и) о Применение этого соотношения к границе с=О приводит к следующему интересному результату.
Так как при т = 0 имеем 7(т, — р)миО (0(р (1), то из уравнения (14) получаем 7*(О, — р') = ф Гр'. При таком значении уа(0, — р') уравнение (15) принимает ввд г(0 „) 3 р( + 1 ~ сев( „~)«~(ь~1 о (17) 29.3. Иниариантность, возникающая из асимптотической формы решения иа бесконечности. Другого рода ннвариантность вытекает из следующих соображений.
Уравнение переноса в задаче с постоянным полным потоком имеет решение вида (гл. 1, соотн. (81)) 1 (т Р ) 4 7 1 ( 1 3 йг) т + 0 (13) где й, — коэффициент первого полинома Лежандра в разложении угловой функции по сферическим гармоникам [гл. 1, соотн. (33) и (74)]. Решение (13) не удовлетворяет, конечно, граничным условиям при т= О. Положим поэтому, что 1(т, р)= — Е'~(1 — — й,)т+р~+уз(т, р) (14) является решением задачи с постоянным полным потоком.
Очевидно, что если решение для полубесконечной атмосферы представлено в таком виде, т. е. как сумма двух членов — члена, являющегося решением в случае бесконечной неограниченной атмосферы, и члена, дающего отклонение от аснмптотического решения (13) при приближении к т=О,— то на некотором уровне интенсивность уа(т, +и) в восходюцем направлении должна состоять из отраженной части направленного вниз излучения, 7«(-., — у.'). Таким образом, 9 дО. ниееральнае уравнение для функции рассеяния 1О1 Соотношение (17) представляет собой интегральное соотношение, связанное с законом потемнения к краю в задаче с постоянным полным потоком, а также с ваконом диффузного отражения.
9 Зй. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛЛЯ ФУНКНИИ РАССЕЯНИЯ Значение принципов, сформулированных в пп. 29.1 и 29.2, определяется тем обстоятельством, что они могут быть использованы для вывода интегральных уравнений, решение которых дает угловое распределение выходящего излучения в различных задачах. Как мы увидим, эти интегральные уравнения обычно нелннейны; тем не менее нх легче исследовать, чем линейные интегральные уравнения типа Шварцшильда — Милна (гл. 1, 5 11).
Последнее не покажется удивительным, если вспомнить, что зтн нелинейные интегральные уравнения представляют собой математическое выражение законов инвариантности, имеющих глубокий физический смысл. Общий принцип построения указанных нелинейных интегральных уравнений состоит в дифференцировании соотношений, выражающих ннвариантность, и последующем переходе к пределу при и=0. Так, при рассмотрении задачи о диффузном отражении, мы дифференцируем по т соотношение (9), а затем полагаем и=0. При атом получаем +в .) у 5(Р, 9, Р, г)(,Гк ~ в(Р'аг"'. (18) о о Производные, содержащиеся в уравнении (18), могут быть определены из уравнения переноса [гл. 1, соотн. (126)) 1ь ' = в'(т, 1ь, и) — 1(т, Р, Р), (19) 3(т, Р, Р)= — е-чв.Р(Р, Р; — Ро, Чо) г+ 1 +1 ои + — / ~ р(Р, ~р; «ь", ии) 7(т> Р", Ри) е1рибе". (20) о В соотношении (20) Р~, <~') =р(сов г)) = 1 Р~+ (1 Ра) А (1 Р")'" сов (ср' — ср)! (21) !02 Глава 1К Принципы инвариантновти есть угловая функция.
Из уравнения (19) получаем ~"г(' +'т)~ = — '(у(о, +р, р) — З(о, +р, о)) — 1, уо, — р,', р'). (22) (23) Во втором из зтих соотношений использовано граничное условие У(О, — р, р) =О (О < н <1). (24) Подставив (22) и (23) в (18), получим У(0 +р р) — 3(0 +р р) — —,5(р р! ро ео)+ р !"о 1 вв I + —.ХХЯ(, р;;, 9)3(0,—, 9)А(9, (25) о о откуда, использовав (5), придем к соотношению — ~'( — + — )5(р, йо ро, ро)=3(О +р р)+ 1 2 а1 1 + 1 1 1 Я(!2, р; р', Ф')3(0, — !2', 9') Ф И9' (26) о о При таком выражении функции Д(0, !2, 1р) уравнение (26) принимает внд ( —.) + )оЬ 1Р' !лов 92)=РЬ1 'Р' !"о2 ро)+ 1 1х ,) 1 2в + ) ) Р(!2 9' !в 9п)ЯЬ 'Р ' Ро 'Ро) ° 12'Р + о о 1 вв + —,~ ~ 5Ь 'р' р' ~')Р( — р' р' — йш ро) — ", Фр'+ 9 9 С другой стороны, в соответствии с (5), (20) и (24) должно выполняться равенство ! 3(О, Р, т) = 4 ГР(Р 'Р' — Р Ро)+ 1 2 и +16и~ ) Р(!2 % !2 > 9 )оЬ 1р ! ро~ ро) и1р ( 1 <!2 <1) (лр) о о 103 З 31.
Принции вваиииовти 1 2 1 2 + — 18., ) ) ~ ~ ~(Р ж Р' .')Р( — Р',,' Р"* ~и) )Ч о.о оо > и Ф ХЯ(Р", ув; Ро, эо)Ф, ЫФи в(э". (28) Это и есть искомое интегральное уравнение для 5. й 31. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ И гл. 1, 3 13, мы уже обрашали внимание на важное свойство фУнкции РассеЯниЯ Я(Р, >У; Ро, эо), заключаюшеесЯ в ее симметРичности относительно паР пеРеменных (Р, >У) и (Ро, >оо). Это свойство вытекает из обшего принципа взаимности, рассматриваемого в гл. Ч11, 8 52.
Пока же интересно выяснить, прн каких условиях оно может быть выведено из интегрального уравнения (28) для 5. Прежде всего, заметим, что при чистом рассеянии принцип взаимности вытекает из того факта, что угловая функция зависит только от косинуса угла между направлениями (Р, э) и (Р>, э'). Так (см. соотн. (21)), Р(Р э> Р >о) — Р(Р > >г > Р >г) р( Р э' — Р 1")=р(Р >21 Р .
) р(11, э; — р,', э>)=р( — Р, ц>; Р', э')> р(Р', э'; — Р, ц). (29) (32) которое безусловно совместимо с интегральным уравнением для я> Для представления выражений, подобных нзписанному, удобно обозначить через 7(Р, э; Р', ~') функцию, полученную из 1 (Р, э; р.', э') перестановкой переменных (Р, э) и (Р', э'): 7(Р К Р' Ц') =1(Р',,'1 Р У). (30) При этом свойства симметричности функции р(Р, э; Р', э') представляются в виде р> р и р(Р, э; — р.', ц')=р(Р', р'; — Р, э). (31) Переставляя, далее, переменные (Р, э) и (Ро, эо) в уравнении (28) и используя соотношения (29), мы видим, что функция Я удовлетворяет тому же уравнению, что и 5. Таким образом, если 5 есть Решение уравнения (28), то и Я есть решение того же уравнения.
Отсюда, однако, не следует, что функция 5 обязательно симметрична относительно (Р, э) и (Ро, эо). Полное доказательство симметричности Я требует более подробного рассмотрения и будет дано в гл. ЧП, 3 52. Пока же мы предположим, что выполняется тождество Я= — 5, Глава )К Приливны инвариантновти 104 $32. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, СВЯЗЫВАЮШЕЕ у(0, В) и 8в(В, В ) дифференцируя уравнение (11) и полагая с= О, получаем в о с другой стороны, из уравнения переноса, как и в $30 [см. (22) и (23)[, мы получаем [~" + "] = —,' [У(0, Р) — З(0, + Р)[, (34) где теперь [гл. 1, соотн, (82) и (83)[ 1 Т(0, Р) = — ~ р1в> (Р, Рв) 7(0, Р'') 4Рв ( — 1 <„<+1). (33) о Подставив эти соотношения в (33), получим 1 1(0, Р)=Ч(0, +Р)+ — '~А[0(Р, Р'Д(0, — Р')+' в нлн у(0, Р) = — ' ~ р<в> (Р, Р") цо, Рв) 4Р" + в 1 1 в +4Ц "'«1"')Р"'( — 1"' «")" в) — ' в в что представляет собой искомое интегральное соотношение между в (О, Р) и 51'> (Р, Р').
0 83. ВИД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ИЗОТРОПНОГО РАССЕЯНИЯ Мы пронллюстрнруем теперь применение интегральных уравнений, выведенных в предыдущих разделах, на случае изотропного рассеяния, когда р = вв — — сопя[ (~( 1) (37) (Ве — альбсдо для однократного рассеяния). 4 ЗЗ. Вид интегральных уравнений 105 83.1, ИнтегРальное УРавнение длЯ 3()ь, Ро). Вследствие осевой симметрии поля излучения в этом случае уравнение (28) принимает внд ( — + — „,)ВЬ |о)=~~(1+ ~ ~~9 р')++ о + 2 ) О(р г РО) Ни + 4 ) ) О(рв Р )ОЬ > РО) 1гг —,,и ). (38) о о о (~ но) г' 'о) ~о( +2 ~ (1ьг 9) —,)Х о г ~1 +2 ~ ~(р' ьго) о (39) Вследствие симметричности Я (р, 1г') относительно 1г и 1г' оба множителя в правой части выражения (39) представляют собой значения одной и той же функции при значениях аргумента р и ро.
Поэтому, положив г г Н(р)=1+ — ) Я(1г, 1г')ф=1+ — ) Я(р', 1г) г, (40) о о мы сможем представить функцию рассеяния в виде ( —,+ — „)~(р |о)= оНЫНЬо) (41) Подставив в формулу (40) выражение 5 из формулы (41), получим следующее нелинейное интегральное уравнение относительно Н(р): Н( ') Н (р) = 1+ 1 йь, рН(р) 1 Н(~ ), игр . о (42) Сравнивая (41) с решением, полученным в гл.
11! (соотн. (119) и (120)), мы заключаем, что форма решении, полученная там, является безусловно точной. Более того, теперь можно высказать предположение, что Н-функция, введенная в гл. 1И [соотн. (106)), дает в пределе решение интегрального уравнения (42). Мы увидим в гл. Ч (9 39 н 40), что это предположение оправдывается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
