Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Квадратурная формула, несколько менее точная, чем гауссова, была выведена Радо. Ее можно получить, если за основной полипом принять Р(р) =(1 — У) Р'„(р). (37) Точками деления (р) служат теперь следующие гл+1 точек р.= 1 и (т — 1) нулей Р' (р). Иначе Р(р) можно записать в виде т(т+ 1) Р(Р)= 2 +1 (Рт г(Р) — Р +г(Р)). Из этого соотношения видно, что +1 ) Р(р) рг = Г) 1~( и — 2. -1 (38) (39) (40) 1 и,= (, П(Рт(Р,)!- ); (41) соответствующая квадратурная формула будет иметь вид 1 ~Ьч У(рг) т(т (- 1) ~а [Р (рг))в' -г г=1 Это и есть формула Радо. (42) г) См.
)ЧЬ111а1сег Е., йоЬ)па оп О., ТЬе Са!сп1па о1 ОЬзегтаГ)оггз, Ьопбоп, 1924, р. 161. 1Есть русский перевод. См. Уигтекер Э. и Робинсон Л., Математическая обработка наблюдений, М.— Л., 1935.— Прим. (вед.) С другой стороны, так как Р(р) есть полипом степени (т+1), то из соотношения (25) следует, что квадратурная формула, основанная на нулях полннома (39), дает точное значение интегралов вида (27) для всех полиномов порядка, меньшего или равного (и+ 1) + (т — 2) = 2т — 1. Другими словами, формула Радо дает при т+1 точках деления ту же точность, что и формула Гаусса при т точках. Если функция Р(р) выражена соотношением (37), то формуле, определяющей числа Кристоффеля (14), может быть придан вид 71 З 22. Сеьециальные квидраенурные формулы В табл.
1Ч, заимствованной у Копала, приведены нули полиномов (1 — 1ьз)Р,'„(Р) и соответствующие числа Кристоффеля для пользования формулой Радо. Таблице 1Ч Нули полииомов (!в и соответствующие числа 1 !ь =1 0 Ш= .+. ! =' 0,4472136 :ь 0,6546537 0 ='- 0,7650553 ' 0,0813570 щ= =' 0,8302239 =' 0,4688488 0 сз ! - 0,8717401 =' 0,5917002 =' 0,2092992 Рьв= Р'2, 7 язв= !Ров = =' 0,8997580 ='- 0,6771863 ='- 0,3631175 0 !Рьо = Рв,в= т=8 Рв,7 Рсв= Рв 22.3 Квадратурная формула, основанная на нулях полиномов Лагерра. Возвращаясь х интегралам (7), рассмотрим условия [соотн.
(26)! 0 (7 01, о Исаодя из определения ееЕ ьгвь (х) — — „,(е- хн') (44) ( Рьв= Рь,в= 4! Р7,4=- Яв) ьо,'н (Я) Кристоффеля аг,в= 1 аг, в = 0,3333333 ав = 1,3333333 аг 4 = 0 1666667 ан 4 — — 0,8333333 аь, а7,4 = 0,5444444 ав = 0,7111111 аь ь 0 0666667 ав.„= 0,3784750 а4,4 = 0 5548584 аь 7 = 0 04? 6190 ае ь = 0,2768260 ае, .„— — 0,4317454 а4 = 0,4876! 90 а4,в= 0,0357!43 ае, 7 = 0,2107042 ае.в = 034!!227 аь,.„= 0,4124591 аь, в = 0,0277778 ае, в = 0 1654953 а4,7 = 0,2745387 а4 в —— 0,3464284 ав = 0,3715193 72 Глава П. Квадратурныв формулы полиномов Лагерра порядка лг, после повторного интегрирования по частям, получаем Г д' П в ун-~ е .г ( вхв,)" .! ~ ( 1)! ~" (в-ехт)ах (45) е в правая часть (45) обращается в нуль при 1~~ т — 1.
Обратно, может быть показано, что вследствие условия (43) г'(х) не может отличаться от Е (х) более чем на числовой множитель. Мы показали, таким образом, что для произвольного полинома 7 (х) порядка 2лг — 1 выполняется соотношение ~ е ау(х)в7х= ~~а! (хд), в (46) где х,(у= 1,..., т) — нули полинома Е (х), а а =, Г ( ) г(х= — [Е' (х)! а. (47) 5' (х) д х — хд хв т до В табл.
Ч, составленной Рейцем, приведены нули полиномов Лагерра и соответствующие числа Кристоффеля. Таблица Ч Нули полиномов Е (х) и соответствующие числа Кристоффеля т=2 х,= ха = хв = хв = и!=5 ха = 1 0,5857864 3,4142136 0,4157746 2,2942803 6,2899451 0,3225477 1,745761! 4,5366203 9.3950709 0,2635603 1,4134030 3,5964258 7,0858102 12,6408007 а! — — 1 а! = 0,8535534 ав — — 0,1464466 а! —— 0,7110930 ав = 0,2785!77 ав — — 0,0103893 а! — — 0,6031541 ав = 0,3574187 аз — — 0,0388879 ав = 0,0005393 а! — — 0,5217556 ав —— 0,3986668 ав = 0 0759424 а4 = 0,0036118 ал = 0,0000234 6 23.
Квадравлурная формула для вычисления средних 73 и 23. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СРЕДНИХ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ И ПОТОКОВ В АТМОСФЕРАХ ЗВЕЗД Как уже было указано, при рассмотрении теории лучистого равновесия звездных атмосфер (гл. Х1, п. 81.3) необходимо вычислять интегралы вида (т) = 2 ) 'ч(!) Е, (/! — -. /) ас! о (48) (т) = 2 ~ Ъ (!) Еа (! — г) г/! — 2 ~ (!) Е (, где 5(!) — известная протабулированная функция. Вычисление этих интегралов по какой-либо стандартной формуле дает неточные результаты (или оказывается слишком трудоемким) вследствие того, что весовые функции Е, и Е, имеют особенности при != т.
Так, Е,(х) имеет логарифмическую особенность при х = 0 и подобную же особенность имеет производная от Ео(х). При этих обстоятельствах (так как моменты весовых функций существуют) оказываются особенно удобными квадратурные формулы, построенные по методам, изложенным в $21, и допускающие „слабые" особенности в весовых функциях. Таблица Ч! Квадратуриые формулы для оценки интегралов 2 /У(с)Е~(с)дч и 2~ у(ч)Ес(с)дс 1 о о = ~~р~ а 7'(ч7) ,У~ авф(чд) П. ! г — / У(ч) Е! (с) дч 23 о / с,=0,292 1 ос =2,507 / тс = 02!О сл = 3 ~ сс = 1 65! ( чв — — 5,173 2/У()Ес() д = о ! ч,=0397 ! со — — 2,723 / ос = 0,287 лс=3 со=!,8!4 чз = 5 385 а, = 0.4532 ао -— — 0,0468 а ас = 0,0923 ав = 0,00239 а! — — 0,8839 ас = 0,116! ас = 0,7669 ал = 0,2265 ав — — 0,00659 Глава ГЕ Квадратурные формулы Таблица Ч!! Точки деления и веса для оценки интегралов и 2 )Г(Е) Ег(с — Е) о — ~ 7(Е) Ег(с — Е) дЕ 1 о 1 г — ) 7 (Е) ЕЕ (с — Е) оеЕ = а, Г (ЕЕ) + агу" (Ег) 2 ) о с =- 2,6 Е,= с = 2,8 Е = с = З,О с =- 3,2 с = 3,4 Е = Е = -.
= 3,6 с = 3,8 Е. = с =-4,0 Ег = Ег с = 4,6 Ег = -. = 4,8 2 ~ ~ (Е) Ег (с — Е) сЕЕ = ас( (ЕЕ) + аг,р (Ег) о «,=ОЗ11 ( Ег = 0,935 ( Ед —— 0,346 с=1,2 (Е !024 аг = 0,2734 а, = 0,5349 ае = 0,2730 ат — — 0,5591 =01 ! т =02 ( 0,022 ае = 0,0786 0,080 аг = 0,0889 0,046 а, = 03346 0,162 ао — — 0,1615 2=02 ( с=04 ( 2=06 ( 2=08 ( =1,0 ( 2=1,2 ( 2=1,4( с= — 1,6( ° =1,8 ( =-20 ( с=2,2 ( 2=2,4( 0,05! аг = 0,0851 0,169 аг = О,! 278 0,106 а, = 0,1094 0,342 аг — — О,! 959 0,167 а, = 0,1198 0,520 а,. = 0,2421 0,232 аг = 0,1224 0,699 аг = 0,2772 0,303 а, = 0,1214 0,881 аг — — 0,3044 0,378 аг = 0,1182 1,064 аг = 0,3262 0,459 а„= 0,1138 1,249 аг = 0,3442 0,544 аг = 0,1090 1,436 аг = 0,3591 0,635 ос = 0,1040 1,624 аг = 0,3716 0,731 ае = 0,0991 1,812 аг = 0,3821 0,832 а! = 0,0944 2,002 аг = 0,3912 0,939 а, = 0,0899 2,193 аг = 0,3989 Е Е =1,05! 1 !2=2385 ( Ег = 1,168 ! Ег = 2,577 (,'==.
Ег — — 1,290 Ег —— 2,770 ( ЕЕ = 1,417 1 Ег = 2,964 Ег = 1,549 Ег — — 3,158 Е Ег — — 1,686 ( Ег= 3,353 Е = 1,828 Ег — — 3,548 Е ЕŠ— — 1,974 ! 1 Ег —— 3,744 Е Ег — — 2,125 ( Ег = 3,940 Е, = 2,280 Ег — 4,137 Ег — — 2,438 Ег — — 4,334 Ег — — 2,601 Ег = 4,531 а, = 0,0857 аг —— 0 4056 аг = 0,0819 аг = 0,4113 а, = 0,0783 аг = 0,4164 а, = 0,075! аг = 0,4208 ае = 0,0721 аг = 0,4246 а, = 0,0694 аг = 0,4280 ас = 0,0670 аг = 0,4310 аг = 0,0648 аг = 0 4336 ас = 0,0628 аг = 0,4359 ас = 0.06!0 аг = 0,4380 аг = 0,0594 аг = 0,4398 ас = 0,0580 аг =- 0,44! 4 6 23.
Квадратурная формула для вычисления средних 75 Те Ч1! (Пр =- 0,382 =- 1,1!4 в =0,3 =- 0,120 = 1201 =- 0459 = 1,294 н =0,5 = 0,499 = 1,386 ;=0,6 = 0,540 = 1,4?7 = 0,583 = 1,569 = — 0,627 = 1,66! = 0,672 = 1,753 т = 0,7 т =- 0,8 т = 1,0 Переписав интегралы (48) в виде ~ $ (т — х) Е, (х) а!х о У(~)= — ) -,5(~+ )Е,( )с!~+в 1 1 о (49) н Е(т) = 2 ) 3(т+х)Еа(х)ах — 2 ) 3(т — х)Е (х)а!х, о о мы сможем построить квадратурные формулы для вычисления функций У(т) и Р(т) по схеме, описанной в 9 21 [соотн. (18) — (24)) с по- мощью моментов ~ х'Е, (х) с?х, ~ х'Е,(х) о?х, ~ х'Ео(х) ах, ~ х'Еа(х) с?х. (50) о о о о Все атн моменты могут быть вычислены по формуле, данной в при- ложении (9 92, соотн.
(6)]. Таким способом Рейц недавно построил двухточечные и трехточечные формулы квадратур для вычисления У (т) я Р (т). Рассматривая сперва интегралы вида — ) 7'(х)Е,(х)а!х, 2 ) 7(х)Е (х)~4х, (51) о о встречающиеся в выражениях 7(т) и Е(т), мы даем в табл. Ч1 точки деления и веса для двухтп !ечных и трехточечных формул, вЫ- численные Рейцем, 1, = 0,07! со —— 0,2 И ! го — 0,096 ( Го = 0,328 ! 11 — 0,124 ( Го = 0,412 ! Го — — О,!о2 ( 1~ = 0,498 !о — — 0,18! Го = 0,584 (,: —, Г! = 0,2!2 Го = 0,6?1 Гг = 0,244 Го = 0,758 1 1! = 0,276 ( го = 0,846 а, =- 0,1753 ао = 0,2247 а, =- 0,2055 а = 0,2800 а~ — — 0,2279 ао = 0,3289 а = 0,2443 а~ = 0,3?26 а, = 0,2561 ао =- 0,4118 а! — — 0,2642 ао =.
0,4472 аг — — 0,2694 ао == 0,4792 а~ — — 0,2723 ао = 0,5083 блица 1,3 ( ,' 1,4(г , 16 1,5 ! 1,6 ( 1,7 ! 1,8 ! 2,0 ( 1 одолжение) а~ — — 0,2715 ао = 0,5814 а1 — — 0,2690 а, = 0,6018 а, = 0,2659 ао = 0,6206 а~ — — 0,2622 ао = 0,6380 а, = 0,2581 ао = 0,6540 а~ = 0,2537 а, = 0.6688 а, = 0,2492 ~ = 0,6826 а, = 0,2444 ао = 0,6953 Глаза П. Кеадратуриые формуле 76 йзлее, для вычисления интегралов — ~ 7 (м) Е, (т — к) аг.к» 2 ~ 7' (л) Е, (г — л) а».ч 1 о о деления и веса должны быть вычислены для каждого значения т отдельно, и Рейц дал двухточечные формулы для различных значений т. Его результаты приведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
