Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 14
Текст из файла (страница 14)
»7!1. В И ВЛ Н ОГРА Ф»1 ЧН С К И Н ЗА МЕЧ А НИ Я 6 20. Классические исследования по переносу лучистой энергии принадлежат Шустеру и Шварцшильду: 1. 5 ей по»е г А., Аз1горЬуз. У., 21 (1905), 1. 2. 8 сЬ»ч аг т зс Ь114 К., Обн. !Часйг., (1906), 41. Обобщения метода Шустера и Швагцшильда в направлениях, указанных в тексте, изложены в следующих статьях: 3. % 1 с К О., Ез. 1. РЬуэ., 120 (1943), 702. 4. С пап»1»аве1»Ьаг Б., Аэ»горЬуз. Л., 109 (1944), 76.
(Эта статья является первой пз серии статей, опубликованных в тол» же журнале в 1944 — 1948 гг.) ф 21. С квадратурнымн формулами можно познакомиться в следующих работах: 5. %Ь111ай е г Е., К оЬ»лооп О., ТЬе са!Сп!пз о1 оЬзегча11опэ, Еопбоп, 1924. (Есть русский перевод. См.
Унттекер Э. и Робинсонн Л., Математическая обработка результатов наблюдений, изд. 2-е, М.— Л., 1935. — Прим. ред.) 6. НоЬзоп Е., Брпег1са! апб Е!ИрзоЫа! Нагщоп1сз, СащЬгЫде, 1931. (Есть русский перевод. См. Гобсон Е., Теория сферических и эллипсоидальиых функций, М., 1952.— Прим. ред.) 7. 8 хе Я о О., Ог!Ьоиопа! Ро)упот!а!з, Атег. Ма!Ьеп».
Бос. Со!1. РпЫ., 23 (1936). Последняя статья является особенно ценной. й 22. Числовые данные, приведенные в этом параграфе, взяты из следующих работ: 8. 1ов ап А., 1)ач1дз Ы., Ьечепзоп А., Вп!1. Ащег. МаЕчещ. Бос., 48 (1942), 739 (и. 22.1). 9. Ко р а ! Х., Аз!горпуз. Л., 104 (1946), 74 (п. 22.2). 10, не(х А., АгИч 1. Ма!Ьещ., Аэ!г. ОсЬ. Руз., 29, раг! 1»7 (1943) (п. лх.3). $23. Как указано в тексте, квадратуриые формулы, приведенные в этом параграфе, принадлежат Рейцу.
Следует указать, что мысль об использовании подобных квадратурных формул в теории звездных атмосфер была впервые высказана В. Стрбмгреном. !ЛАВЛ!1! ИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ $24. ВВЕДЕНИЕ В настоящей и следующих трех главах мы рассмотрим различные задачи на перенос лучистой энергии в полубесконечных плоско-параллельных атмосферах.
Основными из этих задач являются: 1. Осесимметричная задача с постоянным полным почоком (гл. 1, ф 11). 2. Задача о диффузном отражении (гл. 1, 9 13). В настоящей главе мы рассмотрим эти две основные задачи для изотропно рассеивающей атмосферы н получим решения соответствующих уравнений !гл. 1, п. 11.1, уравн. (88) и гл. 1, 9 13, уравн. !129)! с помощью метода приближений, изложенного в предыдущей главе. Исследование, проводимое в этой главе, на простейших случаях вскрывает характерные черты применяемого метода решения, именно возможность в общем случае получить решение в и-м приближении, возможность выразить в замкнутой форме угловое распределение излучения, выходящего с границы, и, наконец, возможность сохранить во всех приближениях точные соотношения задачи. Можно также упомянуть, что связь, существующая между двумя основными задачамн, подсказывает направление дальнейших исследований, проводимых в следующих главах.
и 25. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗОТРОПНОМ РАССЕЯНИИ ПРИ УСЛОВИИ ПОСТОЯНСТВА ПОЛНОГО ПОТОКА 25.1. Решение уравнения переноса в п-м приближении. Для задачи о рассеянии в полубесконечцой плоско-параллельной изотропно рассеивающей среде при условии постоянства потока у1:авнение переноса принимает внд (гл. 1, уравн. !88)! е1 П' = 1(т Р) 2 ) Г(~» )сГ!г вг!т, н) 1 г -г В соответствии с методом, развитым в гл.
!1, в л-м приближении мы заменяем это интегро-дифференциальное уравнение системой 1'лава 111. Изотропное ра1еелние 2а линейных уравнений р,— '=1; — — ~~~а111 (1= ) 1,, ~л)'), (2) а1с 1 с с)т ' 2 где ре(1= 1, ..., ~п и р е= — р.„) — нули полннома Лежандра Рз„(р) и а (1= с-1, ..., а и а у=а) — соответствующие веса Гаусса (см. гл. !!, п. 22.11; кроме того, в уравнении (2) 1; обозначает 1(с, р,).
Решая систему уравнений (2), мы найдем сначала различные линейно независимые решения, а затем, скомбинировав их, получим общее решение. Будем искать решение в виде 1, = асе-а' (1=:+:1, ..., и), (3) где дс и )з — постоЯнные, пока ен1е неопРеделенные. Подставив выРа- жение (3) в уравнение (2), получим 1 е(1+рс)е) 2 Ха1чу (' — 1$ ' — п)е откуда будем иметь где постоянная не зависит от с. Это значение ас мы подставим в уравнение (4), после чего придем к характеристическому уравнению (6) Вспомнив, что ау= а и р = — р, мы сможем придать характеристическому уравнению вид (7) йз удовлетворяет, таким образом, алгебраическому уравнению и-го порядка.
Так как н ~ ау — — 1, (3) с) Если, кзк в агом уравнении, не указано, по каким значениям 1 всдется суммирование, то следует всегда считать, что 1 принимает все целые значения, положительные и отрицательные (заметнм, однако, что здесь не должно быть члена, соответствующего 1'= О). Ь' Ио. 7зетение задачи об изотроином рассеянии 79 [см. гл. !1, уравн. [35)), то Ьв=б представляет собой корень уравнения [7). В соответствии с этим характеристическое уравнение имеет только 2и — 2 различных, не равных нулю корня, которые разделяются на пары ='- Ь. (а = 1, ..., и — 1). (9) Можно показать, что все эти корни численно больше единицы [см.
табл. Ч!!1, стр. 87!. В соответствви с 2и — 2 корнями (9) мы имеем 2и — 2 независимых решения уравнения (2). Кроме того, уравнение (2) имеет еще решение вида 7;=Ь[т.;9) [1= 1, ...,: ), (1О) где Ь вЂ” произвольная постоянная. В самом деле, подсгавиз последнее выражение в уравнение (2), найдем, что 1 ъч 1 ъ\ !ее = т+ о~ — —, у а [т+ а ) = д, — — т а о,.
(11) Это равенство будет выполняться, если положить де=1~+[ее (1= -1, ..., и), (12) где 1~ — произвольная постоянная. Таким образом, си тема (2) имеет также решение Уе=Ь(с+О+!ее) [1= 1, ..., .'-и). (13) Общее решение системы уравнениИ [2) может быль поэтому записано в виде -и, н-г ан„ч + ~Ь " +с+и~+(,)~ ,:=1 [! = - 1, ..., г.. и), [14) где Ь, 7.т„(а= 1, ..., и — 1) и ~ суть 2и постоягшых интегрирования. Для рассматриваемоИ задачи граничные условия заключаются в том [гл. 1 соотн.
[85) и (85')[, что ни одна из функций 7, не возрастает быстрее, чем е' при т-+со и что на границу т=О не падает извне излучение. Первое условие приводит к необходимости отбросить все члены, содержащие ехр(+7еет) в общем решении [14), которое после этого принимает вид и-~ л; е, е ' + + ~ ез[;, .- — н-! ..., -' — и). [15) 1-[- н;Ф„ Глава П!. Ивотроиное рассеяние 30 Далее, отсутствие излучения в направлениях — 1 ( р ( О при т = О заставляет иас потребовать, чтобы было (16) У !=О при -.=О Г 1, ..., и. Отсюда в соответствии с уравнением (15) получаем и уравнений У, " — Ге!+!!=0 (Е 1, ..., и) (17) л ° 1 — Гееве е=т 25.2. Некоторые элементарные тождества.
Дальиейшее исследоваиие решений, полученных в п. 25.1, требует устаиовлеиия иекоторых соотношений. Обозначим елен(х)= ~ ' =( — 1)ее~ (т= О, 1,..., 4и), (18) е Существует простая рекурреитиая формула, которой удовлетворяет Ом(х). Мы имеем (см. гл. П, урави. (35)) елен(х) = — ~ авв,"' (1 — ) = 112 — Ень нечет. еетн-Г (Х)] е (19) 1, если т — нечетное, Ень нечет.— О, если т — четное.
(20) Для четных и нечетных значений т соответственно соотношение (19) принимает вид Е!я;, (х) = — ~ —. — Глав в (х) ], 1 Г 2 (2 1) 1 Гуя (х) = — — „йяв, (х). (22) Объединив эти соотношения, получим ! ! 2 1 елее-г(х) х ~ 2' — ! + х еляв-в(х)] = — хвтвв(х). (23) для определеиия постояииых интегрирования Е,(а 1, ..., и — 1) и Г,т. Постоянная Ге остается неопределенной, что, как мы увидим в п.
25.4, связано с предполагаемым постоянством полного потока излучения во всей атмосфере. 31 э Зб. Реисение задачи об изовропном рассеянии Из втой формулы легко вывести, что 2 2 2 1 ()=1, ..., 2п), (24) — — —. (2 — 7)о(к)! 2 1 (7'=1, ..., 2п). (25) 2 2 )2 (к) (27 — 1) кз (27 — 3) ке и мы находим из (24) и (25), что И, (5) = ):)в ()с) = О, 2 2 2 (2)' — 1) а 127 — 3) А' ' Зам " (7'= 2, ..., 2п), (27) (28) 1)я (5) —— (22 1) Уз 127 3) а4 ' ' 3ам — е (/=2, ..., 2п). (29) 25.3. Соотношение между корнями характеристического уравнения и нулями полинома Лежандра. С помощью величин гзя (А), введенных в п. 25.2, можно привести характеристическое уравнение к виду, не содержащему явно весов и точек деления Гаусса.
Пусть Рез†коэффициент при ряз в разложении полинома Лежандра, так что (зо) 1.= о Рассмотрим теперь соотношение » » ,.~~Ряд'я)()с) ~д,а 1+ я (с;еряууй) '=о Так как ре — нули полинома Рз»(р), то 23 „~'~рз)рнд =О (1= 1, ..., ~п), '=о (31) (32) откуда следует, что ~ р„.в„(5) = о. 3-о (ЗЗ) Если теперь х равно Й-му корню характеристического уравнения (см. уравн. (6)1, то ):)о(А) = 2 (26) Глава 111. Илотроиное рассеяние Если Оав(й) заменить их выражениями (29), то (ЗЗ) даст искомую форму характеристического уравнения. В частности, подставив в уравнение (33) вместо 77а„ и геа соответствующие выражения, получим 3 лв — +2ро= 0 2 рв„ Из этого уравнения следует, что = ( — 1) 'Р' = — 3 (Р., аа)'-, Ж "а -~)в реа или )ГЗ (35) (38) 25.4. Поток н К-интеграл.
Возвращаясь к решению (14), вычислим Р и К по формулам Р= 2~а,1всуо (37) Р=2Ь( ~ 1„е "«'1е,(7в„)+(с+1;1)~ав1ве+,~,а,1в';~. (38) Используя уравнение (27) и уравнение (35) из гл. П, находим отсюда 3 (39) Другими словами, величина Р, определенная для дискретных интенсивностеи Уо оказывается постоянной. Выразив Ь через Р, придадим решению (15) вид а — 1 в Е-й в 1е= — „Р~~~.', 1 1 „,а +т+1ве+11) (1= ~1, ..., -+-и). (40) Теперь рассмотрим сумму, определяющую й; она приводится к виду и — 1 К= — Р(~~~ У.„е "'й~(Ф,)+(с+Я) ~~~~иере+~а,1в;~. (41) Отсюда, снова применив (27) и уравнение (35) гл. 11, получим К= 4 Р(т+О) (42) что при нашем приближенном методе представляет К-иитеграл (гл.!, Я 10). которые получены из соотношения 1861 гл. ! заменой интегралов соответствующими суммами Гаусса. Рассматривая сначала сумму, определяющую Р, приведем ее к виду В 2д.
Решение задачи од изотроннозс рассеянии 28.6. Функция источника. Поле излучения. Закон потемнения к краю. Для рассматриваемой задачи функция источника имеет вид .ь-! 23 (ь')" 2Ь сс 1 г 1чч (43) Используя решение (40) для У„получаем ьь-! 7= 8 г-'(~~ь~7-„е 'Г4(lг«)+(ч+>1) ~а,+ ~~1 а,йн~ = « †! с н -! = — 1«( ~> 7. е ~«+-+Г1~ (44) Запишем последнее выражение в виде 4 ( +7())' (45) где н-! 4>(т)=ь"ь+ ~7„е « . (46) «=1 Через функцию источника (44) можно выразить и поле излучения в соответствии с уравнениями (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
