Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1, уравн. (90)) /( +1!) ~ /(1) е — !с — ь),'«(0 < ь! < 1) ь«Г (47) 7(-., — 9)=~7(1) -о-к — (0<р<1). ь«Г о Таким образом, теперь можно написать -ь « У('+р) =-Г(Х +т+р+Ы «=! и-! 7(т, — 9)= — Рсг Ъ " (е «' — е «и)+ «=! (48) + т + Я вЂ” 1«) (1 — е - Кв) ~ . (49) Заметим, что соотношение (48) совпадает с решением (40) для восходящих потоков в точках деления по Гауссу. Как и следовало ожив случае нисходящих потоков дело обстоит иначе.
Угловое Глава п1. ивоглроянов рлоавяниа распределение выходящего с границы излучения вычисляется из соотношения (48) при т = О. Именно, о — 1 1(О = — ' 1~~1', 1' + + 1 а=а (50) Сравнивая последнее соотношение с формулой (17), определяющей постоянные интегрирования А„ и ьГ, мы видим, что угловое распределение выходящего излучения (определенное в интервале 0 ( 11 ( 1), выражается с помощью функции, нули которой принадлежат дополнительному интервалу ( — 1 ( р ( 0).
Обозначим о — 1 '()=Х ".,— +~ (51) Согласно граничным условиям, 50вв)=0 (ю=1) ..1 л)в (52) и в то же. время угловое распределение выходящего излучения выражается формулой 1(О, )= — 'РЮ( — ). (53) Такая взаимность между граничными условиями, определяющими постоянные интегрирования, и законом потемнения к краю, выражающим угловое распределение выходящего излучения, представляет собой довольно общее явление в настоящей теории (см., например, й 26). 25.6. Исключение постоянных и выражение функции 1 (О, )а) в замкнутой форме.
Н-функция. Покажем теперь, как вывести точную формулу для 5(11), не вычисляя в явном виде постоянные Е, и О. Умножим Я(и) на 11 (г) = И(1 1в 'г) (54) (.)=й(; —.,) ва1 (55) более чем на постоянный множитель, который может быть найден путем сравнгния коэффициентов при старших степенях (именно р") в полиномах Р(Я и Я(н)К(й). В первом этот коэффициент равен чтобы освободить выражение (51) от дробей.
Функция 5(~1) Й(р) представляет собой полипом степени л относительно 11, обращающийся в нуль при о.=1ао 1=1, ..., л. Поэтому. Я(11)Я(у) не может отличаться от полинома й ео. Решении задачи об иэотронноэг раеееннии 85 единице, а в последнем— ( 1) ьеь ° ° ° ьен-ь (56) откуда имеем 5Ы=( — 1)" й, ... йн,'1)1 это и есть искомая формула. В соответствии с соотношениями (54), (55) и (57) имеем (57) ИЬ+ ш) 5(,а) = й, ... йн, П ('+') (58) или, используя соотношение (36), Б ( — р) = = Н (р), 1 Уз (59) где ЯЬ+рг) Н(р) = " П (1+Лыэ) (60) Определив таким образом Н(1ь), мы сможем выразить угловое распределение выходящего излучения в виде (см.
соотн. (53)) 7(0 ) = — 'Р'Н( ) г' 3 (61) 25.7. Соотношение Хопфа — Бронштейиа. В соответствии с (44), (50) и (61) имеем ьь-ь '1ь 8 У(0ь О) =У(0) = 4 г ~ ~' е + Я~ = — РН(0)ь (62) а=ь но (см. соотн. (60)1 Н(0) =1, (63) откуда у(0) = — Р, 1ь8 (64) что справедливо для приближений любого порядка. Отсюда можно заключить, что (64) представляет собой точное соотношение. Оно впервые было выведено Хопфом и Бронштейном из других соображе- .ипй (смь Гл, ХЦ1), Глава Ш.
Ивотронное рассеяние 25.8. Постоянные интегрирования. Явные выражения постоянных интегрирования могут быть теперь получены следующим образом. Из уравнений (51) видно, что Е,,= 1!щ (1 — й,)а)5()а), (65) откуда, используя выражение (57) для В (н), можно получить Е,=( — 1)н/с1 ... /со, " (а='1, ..., и — 1), (66) ПР"а) а(1!Ла) где )с„(х) = Ц (1 — йзх). (67) зФ» Обращаясь теперь к вычислению Ц, мы заметим прежде всего, что, согласно соотношениям (51) и (59), ЗГЗ ,'~'7.. +Ц=В(0) = — '. (68) Подставив сюда выражения (66) для Вю получим н-1 Я= )ай+( ) ~ ''' ~ — аы~ (11»") «=1 (69) Чтобы вычислить сумму, стоящую в правой части уравнения (69), введем функцию н-1 (70) а 1 (72) где А и  — постоянные.
Однако, так как 7'(х) есть полином степени и — 2, коэффипиенты при хн и х"-1 в правой части уравнения (72) должны обращаться и выразим через нее»е. Мы получим О= — ',+( — 1) 1й, ... й„,У(0). у'3 (71) у (х) представляет собой полипом степени и — 2 относительно х и принимает значения Р(1/а„) для х= й, ', а=н1, ..., и — 1. Должно, следовательно, существовать соотношение вида ~(х) = Р (х) + 77 (х) (Ах+ В) = » н-1 =П(х — )а,)+(Ах+ В) П (1 — йах), 1 1 «=1 6 23. Решение задачи об изотралнож рассеянии 87 в нуль. Условия равенства этих коэффициентов нулю имеют вид 1+( — 1)"-' 7с, ... Ф„,А =О, (73) г=1 +( — 1)а Чс, ... 7с«! В=О. (74) Эти уравнения определяют А и В. Именно, н а-ь с«! ««1 Из (72) теперь следует, что а 膫 7(О) =( — 1)нйи Ри-[- ' '), ~~Р,— ~~~„' — '~.
(76) ч=! ««! Подставив последнее значениеу'(0) в формулу (71) и использовав (36), получим окончательно а а — « (») Этим завершается формальное решение задачи в л-м прибли;кении. 26.9. Численная форма решений в первых четырех приближениях. Корни характеристического уравнения и постоянные интегрирования для первых четырех приближений даны в табл.
ЧП!. Соответствующие законы потемнения к краю [соотн. (50)) и функции а(т) [сооти. (46)) приведены в табл. !Х и Х. Таблица Ч111 Корни характеристического уравнения н постоянные интегрирования Первое приближение Третье приближение й= О; 1;7 = 17 )73 й = 0; !9 = + 0,703899 Л! = 1,225211; Ег= — О,!01245 ие = 3,202945; 5л = — 0,02530 Второе приближение а = 0; Д = -[- 0,694025 Ф! = 1,97203; 7.! — — О,!16675 — ~ и +( — 1)а-'И ...
йа ьА ~~! — + Четвертое й= О; /г! = 1,103188,' ~.'л = 1,591778; Рб = 4,45808; приближение Ц =, + 0,706920 Е! = — 0,083921 Ел = — 0 036187 ги = — 0,009461 з 26. Задана о диффузном отражении Сравнение приближенных решений для закона потемнения к краю, приведенных в табл. 1Х, с точным решением, которое будет дано ниже (гл. У), показывает, что в третьем приближении наш метод приводит к погрешности порядка 0,5О1О, й 28. ЗАДАЧА О ДиффУЗНОМ ОТРАЖЕНИИ. СЛУЧАЙ и <1 Уравнение переноса, соответствующее задаче о диффузном отражении в плоско-параллельной изотропно рассеивающей атмосфере с альбедо йо < 1, имеет вид (гл.
1, уравн. (129)) +1 =1(-., Р) — 2 й, ) !(, Р.')СР' — 4 йехие-ч~, (78) -1 где — Р есть направляющий косинус угла падения по отношению к внешней нормали. Соответствующая система линейных уравнений в «-м приближении представляется в виде 26.1. Решение однородной системы. Прежде всего рассмотрим соответствующую однородную систему «ГЯ 1 кч Рч лг =71 — 2 йо,'~ а,уд (1= 1, ..., «). д (80) Она допускает решения вида 7 = д е-1' ' (1 = ' 1 - «) (81) где лч и А — постоянные. В самом деле, подставив эту форму 1, пение (80), полу 1вм 1 'ич Ы1+ Р'А) = — о,~~ а~й.
д Следовательно, СОПЯ! (1= 1, ..., -«), в урав- (82) (83) а характеристическое уравнение для А имеет вид 1 тч ау Сч а йа ' =йо,~~ 2 Я' а' 1+ И.А Яйе 1 Р'-'. ЛЯ 1 Вели 1п < 1, то характеристическое уравнение (84) имеет 2« ных отличных от нуля решений, рззделяющихся на пары (84) равлнч- (85) -lгя (а =1, ..., «). Р11ГС е 2 О 4,14 4 О ( — ''' — )'( ) Глава И!. Ивотронное рассеяние 9З 26.2. Частное решение. Чтобы ваковчить изучение уравнения (79), найдем еще его частное решение. Для этого положим 11 — — 4 'оРЬее- Ф (1'=~1, ..., ~н), (87) где йе — постоянные, которые должны быть определены так, чтобы выполнялось равенство й,(1.+ — ") = —,~',,87+1. (88) Отсюда видно, что йв должны быть представимы в виде 1+ Ы'о (89) где постоянная Т определяется [см. соотн.
(88)) по формуле аа Следовательно, (90) Таким образом, искомое частное решение приводится к виду 1 те а'аа в — е йо1+, (1= 1а '''а и) 1+ М"о (91) где 7 определяется по формуле (90). 26.3. Решение в и-м приближении. Добавив к частному решению (91) общее решение однородной системы (80), совместимое с требованием ограниченности решения, получим [см.
соотн. (86)[ а — О а те — гч а=1 Постоянные Е,(а = 1, ..., н) в решении (92) определяются из гра яичных условий [гл. 1, соотн. (127)) У; =О при т=О (1=1, ..., и). (98) Поэтому уравнение (80) допускает 2н линейно независимыя решений вида У,= ез "а" (1'= 1, ..., н, а=1, ..., л).
(86) 1 ~'- Нваа 6 2й Задача о диффузном отражении 91 Соответствующие уравнения имеют вид Х й + т 0 Иге«! — Мво «=г (94) (1= 1, ..., л). функция источника для рассматриваемой задачи представляется формулой [см. уравн. (78)[ е1 1 г, 1 3(т)= о [ г( 1«) Ф+ 4 о« -г 1 ъч 1 — — й т и уч+ — й Ге- гР . 2 лМ ' 4 (9 ) Подставив сюда ум выраженные формулой (92), получим $(т) = — йод~ ~~~ Е,е ".'!до(й„)+.~е '""~ — + — "2 — 1+ ««г Ф + — й Ге-тнч 1 4 О (96) 3(т) = — йо « ~~~~~й«е ь"' +7е И~'1.
о (98) Поле излучения можно выразить обычным способом [гл. 1, уравн. (90)[ через функцию источника. Получим -и„. '("+)=-"'"(Х '+,.+ '+,.1 =« ( ~ ' (,-н.,— !)+ !«« ««1 --~р. -и«)1 1 «!но ! В частности, угловое распределение отраженного излучения представляется формулой т 7(~, 1«) = 4 о 1«ь«11~-л«р. 1+!«/ге 1 а«1 (100) Но в соответствии с (84) и (90) мы имеем — ЙОВ~(й„)=1 — Й~7 У =7 — 1. (97) Использовав эти соотношения, придем к следующему выражению для функции источника: 92 Глава И/. Ивотропное рассеяние 26.4, Вывод тождества.
Рассмотрим функцию о 1 -1 ау а1 Т(е)=1 — — й е ~ =1 — м зз',У' з з, (101) 2 «+ р.у е Сравнивая ее с характеристическим уравнением (84), мы вадим, что Т(а)= 0 при я=~й,' (а=1, ..., п). (102) В соответствии с этим произведение П (яв — р') Т(е) а=1 (103) может отличаться от в Д (1 — йУ) е=1 (104) только на постоянный множитель, так как (103) представляет собой полипом степени 2л по з и имеет те же нули, что и (104). Постоянная пропорциональности может быть установлена путем сравнения постоянных членов в (103) и (104) нли, что то же самое, путем приравнивания нулю переменной л в обоих' выражениях.
Тогда найдем, что П (1 — У) Т(е) =( — 1)арз... рз ииа (ез ,з) (105) Введя функцию [см. соотн. (60)1 П(1 +о,) Н(р.) = " П('+'«) еаг (106) Сравнивая выражения (94) и (100), мы замечаем, что, как и в 9 25, угловое распределение выходящего ивлучения (определенное в интервале 0 (1з (1) описывается функцией, нули которой заключены в дополнительном интервале — 1 ( р ( О. Это дает возможность (вновь, как в 9 25) исключить постоянные и выразить угловое распределение выходящего излучения в замкнутой форме. Прежде чем сделать это, мы установим некоторое тождество, имеющее важное значение для последующих исследований. з Ж Задача о диффузном отразнонии' мы можем представить (105) 1 — оао в ~~~~~ в виде аз 1 а — и Н( )ц( )' (107) Это и есть искомое тождество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
