Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ввиду особо важной роли принципов инвариаитности в современной теории лучистого переноса интересно напомнить, что идеи, на которых основан вывод различных интегральных уравнений в втой главе, сходны с идеями Стокса и Релея, высказанными в их исследованиях по отражению и пропусканию света совокупностью пластинок. 5, 31ОК ее О., Ма!Ьешайса! апб РЬуз!са! Рарегз о1 Яг Оеогйе 31ойеа, ч.
ЪЧ, СашЬг!бде, 1904, р. 145. 6. [лмб й а у(е18Ь, Бс1еп18!с Рарегз, т. Ч1, СашЬг!бяе, 1920, р. 492. ГЛАВАЧ Н-ФУНКЦИИ $ 37. ВВЕДЕНИЕ Изучение принципов инвариантности, проведенное в гл. 1Ч, позволило установить значение для теории переноса лучистой энергии нелинейных интегральных уравнений вида [гл. 1Ч, соотн. (42), (65), (74) и [75)) Н(м)=1+рН®) ~(',? Н(р') 79', (1) о где характеристическая функлая гр([ь) есть полином четной сте- пени по [ь, удовлетворяющий условию ~ 1к (9)0~ «( —.
о (2) Я [в+ М Н®= " " '" П('+'.) ' (3) где [ь» — нули полннома Ре„([ь), а й„— положительные отличные от В простейших задачах на изотропное рассеяние угловое распределение выходящего излучения выражается непосредственно через Н-функцин [гл.
1Ч, уравн. (45) и (52)[. При более общих законах рассеяния принципы ннварнантности приводят к нелинейным интеграль-' ным уравнениям [гл. 1Ч, уравн. (61), (62), (79) и (80)[, которые по внешнему виду гораздо сложнее уравнения (1). Тем не менее мы покажем, что решения этих уравнений также могут быть выражены через Н-функции. Таким образом, Н-функции играют важную роль в теории переноса лучистой энергии в полубесконечных атмосферах. Поэтому мы посвятим настоящую главу нх изучению. Эта глава построена по следующему плану. В 9 38 будут установлены некоторые элементарные интегральные свойства Н-функцнй.
В й 39 мы рассмотрим связь функции 1!5 В о8. Интегра оные евойенгва Н-функций нуля корни соответствующего характеристического уравнения 1=2 а1 Ч" (Ььт) = Х т=г 1 йг„г ' (4) с решением уравнения (1). В й 40 мы получим решение уравнения (1) в явной форме, а в й 41 укажем практический способ вычисления Н-функций. Наконец, в вь 42 мы протабулируем решение уравнения (1) в случае чГ (Р) = соп51 = — ио 1 (5) для различных значений альбедо йо. й 38.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Н-ФУНКЦИЙ В атом параграфе мы будем предполагать, что существует решение уравнения (1), ограниченное в интервале 0 (Р.К,1. Тогда существуют конечные моменты различных порядков вида а„= ) Н(Р)Рнф. о (н ~ 0). Изменив порядок интегрирования по 1ь и и' в двойном интеграле в уравнении (8) и взяв среднее из двух уравнений, получим ~Н®Ч ~Р),1Р= о 1 1 1 =~ о1г®гР+ 1 ~ ~и(Р)ч ®н(Р')11" (~')в1Ре1Р', ® о о Теорема 1. 1 г ~ Н®ч'<Р)ФР=1 — ~1 — 2~ Ч (Р) 1~ о о Доказательство. Умножая уравнение (1) на Ч'(Р) и интегрируя по и от 0 до 1, получаем 1 ~ Н(Р)% (Р) в1Р и о 1 1 1 = / ч~(Р)г1Р+ ~ ~ «,НГР)Ф'(Р)Н(Р')%" (р.')гриф.'. (8) о о о 117 З 38.
Интегральные сеойстеа Н-функций Следствие 3. В консервативном случае, когда 1 .~ (1) 1 2' 1 о (15) результаты теоремы 1 и следствия 2 принимают простои вид: ВАНЫЧ ЫЫ =1, о 1 о (16) (17) Теорема 2. г 1 ~1 — 2~Чг(1) й1 ~'~Н®Ч ®РЛйР,+ о о 1 о + 2 ~~ НЫ Ч'(1') 1" 4"~ = ~ Ч" Ь) рз Ф (18) о о Доказательство. Чтобы доказать соотношение (18), умиожим уравнение, определяющее Н(1ь), на Чг(р)ра и проинтегрируем по 1ь от 0 до 1. Мы получим 1 ~Н(р,)Ч ®рЛ 1р о 1 1 1 ~ Чсь)ройр+.~ ~ — '",Н®Чс(1ь)Н(1ь)Ч'У)йрй1ь'= о о о 1 г ! ='~ Чг(1ь)1ь~др.+ — ~ ~ ~ ~, Н(и)Ч" (1ь)Н(рг)ой(р.')й1одр,'= о о о 1 1 1 оеы ~ Чг(р)1ьяй1ь+ — ~ ~ (ня 1ыь'+и' )Н(1ь)Чг(р)Н(~ь')Чг(1ь')с(1ьс(1ь'= о о о 1 г 1 ) Ч'(1ь)1ьзй1ь+~~ Н(~ь)Ч'®1ь й1ь~ ~) Н(1ь)Ч" ®йр1— о о о г — 2 ~ ~ Н(р) Че (И) И Ф1 .
(19) о 118 Глава К Н-фунцции Использовав теорему 1 н несколько преобразовав члены, будем иметь Следствие 2. В консервативном случае существует еще другая форма интегрального уравнения для Н(р)г г г Йв =[2) Ч („)„Я 1р~ ~"' ",'Н(р') ур', о о (22) которая вытекает из соотношений (17) и (21), 1 — ",в'Ф( ')Н( ') у~'= о 1 = ~(1 "',),"Ч (р') Н(р') 1р'= о 1 оь ~од.. -[2 ~ Ч ®р.а 1р~' — ~" ~~(н,)Н(р') 7р'. (26) о о Теперь видно, что выражения (16) и (21) представляют собой обобщение соотношения Хопфа — Бронштейна на случай консервативного изотропного рассеяния, так как в этом последнем случае Ч' (1о) = сопз1 =— 1 2 и интегралы (16) и (21) дают 1 (24) ) Н (р) Н1о = 2, о 1 л ")" 1 з' ЗГЗ (26) (26) 1 г 1 [1 — 2 ~ Ч" (р.) ф.~ ~ Н(й) Ч'(1о) фабр+ — [ ~ Н(р) Ч" (р.) !ар] =- о о о о = ) 'рЬ)ра4.
(20) о Следствие 1.'В консервативном случае (16) имеет место следующее интегральное соотношение о 1 ~НЫЧгЫр4 =[2~Чо(р)ра4~ . (21) о о 3 Эд Интссуальнмс свойства Н-функций Соотношение (25) согласуется с равенством (47) гл. 1Ч, а (26) выражает соотношение Хопфа — Вронштеина. Теорема 3. Если характеристическая функция имеет вид 1а ()с) = а+Ьро, (27) где ао и и,— моменты нулевого н первого порядка функции Н(р).
Доказательство. Чтобы доказать соотношение (28), проинтегрируем по )в в пределах (0,1) уравнение, которому удовлетворяет Н(р). Получим т 1 ,=1+~~'+'", аН(а)Н( ) /р /р'= о о в в =1+ 2~ ~(а+ЬрФ)Н(р)Н(р')с/р Ы= о о =1+-( «',+Ь ',).
1 (30) Соотношение (29) может быть установлено следующим образом: о о 1 о о о 1 = Н(,",(, ' — Ь ~ (р — р+ — ',) Н(р') /р' = о 1 Н (н) — 1 г Н(и') ин(и) — Ь (а, — )вао) — Ь)ва ~ —, с/р,', 3 +" (31) 'откуда и вытекает искомое соотношение. т ') Из условия ~ %'(И) с/)в < 1/2 следует, что а+ а/3~(1/2. о где а и Ь вЂ” две постоянные '), то должны выполняться два соотношения: "о = 1 + 2 (а во+ Ьас) 1 (28) и т Н (г.') (а+Ьрз)) +,с/р'= Й( — Ь(а,— рао), (29) о Глава К Н-функции 120 $39 СВЯЗЬ Н-ФУНКЦИИ, ВЫРАЖЕННОЙ ЧЕРЕЗ ПАРАМЕТРЫ ГАУССОВОЙ КВАЛРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ, С РЕШЕНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (!) Основной результат, который должен быть установлен в этом параграфе, состоит в доказательстве того факта, что Н-функция, определенная по формуле (3), представляет собой единственное решение уравнения Н(Р) =1+РН(Р) ~~~"1' ~'~НЬ,), у=1 регулярное и отличное от нуля прн Р ) О.
Переписав (32) в виде 1 " д1Н(в,) Н(з) в+в. ' в=1 (32) (33) где ду=ат%'(Р;) [7=1, ..., л), (34) мы убеждаемся, что Н(Р) есть рациональная функция, нули которой представляются числами Р= — Р. (7'=1, ..., и). Поэтому можно написать ( — 1) Р( — в) (35 5) где Р (Р) = П (Р—. Р~) (38) в=г более чем п-й степени. В действительности )с(Р) степень н, если только не выполняется условие прн Р-+оо, т. е.
~~1 у.Н(Р1) =1. (37) 1=1 а тс(Р) — полипом не всегда будет иметь 1 — -+ 0 Н(н) 2 ~,'5', д,н(Р,) ]' — ~~~~, 'угн(Р~) [+,'5', 71 = О, (38) у=1 1=1 т=! или 2', ало(Р ) = 1 — [1 — 2 ~~~~ва1/Р ([в )[", 1=1 т=1 так что .'5, 'авН(Р1) = 1 только при ).",дт%'(Рт) = 1/2. (39) Это условие может выполняться только в консервативных случаях. В самом деле, умножая (32) на и1% (Рт) и суммируя по 7', находим так же, как при доказательстве теоремы 1 в $38, что [см. соотн. (10)[ Е ЗУ. Связь Н-функции.
выровненной через нараавтрм 12! (41) Сравнивая теперь (41) и (42), мы заключаем, что необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства И(р))И( — р;)= — ., Р( — о))Р'(р") (/=1, ..., л). (43) Возвращаясь к уравнению (33), получаем путем повторного примеиеиия этого уравнения , '-', ~язНЬз) 4!НА) +за — з у в~ч дздвн(гт) НЬв)( иу и! ) .Й .ьм (Ч+ В) 1И+ В( И вЂ” Ов~ з=в !=1 = Х 4)НЬ)) ! жч йвНВН)1 сч йвН(М ( кч 41НЬ))1 +, 1 '.уа ив+4+ та —, 1 .уа в,+и))'= Зьа в=1 ?в Я)Н(ет) 1 1 ) ~~~ Ч$Н(вв) 1 1 =!" г~.+., 1' — ~(.,0+~"~ .—., 1' — ~( )1= з=! !=1 н е =1 — — '+!в Н(!.) Н( — в) ! + !А) и — вв' з=г в=1 (44) Так как )с(!ь) есть полипом ие более чем а-й степени, можно написать, использовав иитерполяциоииую формулу Лагранжа, )=1 здесь мы положили ес(0)=1, как это следует из условия Н(0)=1 [см.
сооти. (32) и (35)). Из выражений (35) и (40) получим — 14-~ — 1Гн, ... н~~ 1 Р(') Н (!ь) В в ( + ИЗ) Р' (ц) ' в' г с другой стороны, из (33) и (35) следует, что цн ~~ч д)Р ( — в~) (42) Н(в) и,... и„.аЫ (в+ и,) Р ( — н,) ,=1 ГЛава К Н-фукнции Следовательно, а Н(а) Н( — И) ЛЫ „г у=1 (45) По соображениям, подобным тем, которые привели к выводу тождества в гл.
Ш, п. 26.4, мы можем выразить функцию Т()г) = 1 — 2)гг У аргу( в) 4=1 г ' г (46) через отличные от нуля корни характеристического уравнения (47) Ц(рз — р ) Т(р) в=в (48) есть полипом степени 2л ио )г, который обращается в нуль при .+ — (а=1, ..., и). 1 (49) в Следовательно, Т(р) может отличаться от отношения П(' — л!з') в 1 (50) только на постоянный множитель, который может быть определен из сравнения (46) и (50) при )в=О. Таким путем мы получим П(1 — аУ) Т()г) = ( — 1)")гг ...
)г„'„ П(" — Ф г=г (51) Легко проверить, что в форме (51) это соотношение применимо также и в консервативных случаях, когда одним из корней является Фг = О, Уравнение (47) имеет 2л различных корней ='-)г,(а =1, ..., л) всегда, зз исключением консервативных случаев, когда И = 0 является корнем. Ограничиваясь сначала неконсервативными случаями, мы видим, что произведение Е 89.
Связь Н-фуннции, выраженной через аараметры 123 Возвращаясь к выражению (45), мы можем теперь напясатв: Н(р)Н( — й)= з ' (52) С другой стороны в соответствии с (35) имеем О( )Н( ) 1 о(ьь)Р( Н) з з17( 117( Таким образом, 17(р) =П(1 й.р). (53) (54) где (1 — й,р) илн (1+ й„1ь), но не оба одновременно, являются сомножителями, входящими в ес(р). Если полипом Я (р) представлен формулой (54), то соотношение (35) действительно дает решение исходного уравнения, так как (см. соотн. (45)] из него вытекает, что сь(й) ьз( ) (ь'1 ( — и) ~1 2ря ~я~~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
