Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Точное решение интегрального уравнения для Н(!х! 131 формула (95) показывает, что функция ф («) аналитична в области х <О, за исключением, быть может, точки «=О, и при х< О [см. соотн. (91)] мы получаем ф («) = О (] вес 0 ] ) + О(1) = О (] вес 0 ] "). (96) С другой стороны, из (94) мы заключаем, что ф(«) аналитична в области х ) О, и при у чь О имеем, согласно (91), = О ((1+г') вес" 0 созес 0) = О ((1+г") совес" 20], (97) если выбираем ч) 1.
В соответствии с (97) при г =)х/2 и г=2Я имеет место нера- венство ((! — 2 ~~) (1 — 2чПе) ф(«) ! < С(1+его), (98) где С вЂ” постоянная, не зависящая от гг '). По теореме о максимуме модуляв) неравенство (98) выполняется также и при г Я, так что ф («) = О (1 + г"). (99) Отсюда следует, что функция ф(«) аналитична прн «= О и представляет собой полипом. Но, согласно (93), (95) и (96), ф( — «) ограничена при 0 = 1/4к и стремится к нулю при г -+ О. Следовательно, ф («) =— О и из уравнений (94) и (95) вытекает, что Н(е) есть решение уравнения (68).
Остается найти общее решение Н,(«) уравнения (68), ограниченное при О < « < 1. Согласно (68), функция 1/Н,(«) аналитична ') Пря г = ]2/2, например, величина, стоящая в левой части (90), равна югв х ](1 емв) [ ( (]4(«)] О(!)[(1 геев)Ч]вв(«)] во ] (1 — ем") ! = [(1 — (сов 2В+ ! в!и 26)г) ] = = ] (1 — сове 2В + в!ив 2 — 2! сов 26 в!и 26) ! = = [ 2 в!в 26 (в!и 26 — г сов 26) ] = = ] 2 в!я 2 В !.
Подобное приведение, разумеется, может быть выполнено и для г= 2дз. в) Теорема о максимуме модуля утверждает, что если ]у(е)]<М на пРостом замкнутом контуре С, то ]г]<М во всех внутренних точках ° области П, если только ]у(«) ] не есть постоянная; в последнем случае !«)]=М зо всей области П. См. Т!!сйщвгьй Е. С., Тпе Тйеогу о! ппснспв, 1932. [Есть русский перевод.
См. Титч и а р ш, Теория функций, 66 — Л., 1944. — Прим. ред.] Ю од Пуакивиоеекий метод выкиеления Н-функций 133 существует. еще одно решение вида Н, (е) = Н(е) —. 1+Ле (105) Обратно, если — 1/й есть полюс функции Н(е), то функция Н, (е), определяемая соотношением (105), представляет собой решение уравне- ния (68). Действительно, 1 — ае ! ! =1 — — — — 1— 1 + йе И (е) Н! (е) ' (10В) чем и завершается проверка.
й 41. ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ Н-ФУНКЦИЙ Данное в й 40 представление Н(Р) в виде определенного интеграла может быть использовано для вычисления Н-функций. Оказывается, однако, что на практике удобнее определять последние непосредственно, применяя к интегральному уравнению метод итераций. Опишем вкратце этот метод.
Во-первых, можно отметить, что для получения последовательных приближений удобно представить интегральное уравнение в виде [см. уравн. (13)! Решение можно начинать в общем случае с третьего приближения для Н(Р), выраженного через постоянные квадратурной формулы Гаусса; в консервативном случае удобнее начать с четвертого приближения. Обладая некоторым опытом, вычислитель может выполнить последовательные приближения весьма быстро.
Так, их не нужно проводить явно для каждого протабулированного значения переменного; достаточно вычислить итерации в некоторых „опорных" точках, а затем определять промежуточные значения интерполяцией по разностям между двумя последовательными приближениями. Аналогично, если Н-функции определены для различных значений параметРа (напРимеР, альбедо, Равного йо, пРи изотРопном РассеЯнии), 1З4 Глава Гг. Н-функции мы можем часто заранее „подправить" третье приближение интерполяцией по разностям между приближенными и точными решениями для близких значений параметра. Удовлетворительный контроль точности, достигаемой при некотором приближении, дает сравнение с точным значением интеграла 1 ~ Н(Р) Ч (Р)~(Р), о равным !соотн. (7)! 1 — [1 — 2 1 %' (Р) а'Р! ". о Используя описанный метод, Брин и автор этой книги вычислили более сорока Н-функций, соответствующих различным задачам (см. Я 44, 46 и гл.
Х, 29 68 и 70). $42. О-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ НА ИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ В гл. 1И и !Ч мы показали, что угловое распределение уходящего излучения в типичных задачах о переносе лучистой энергии при изотропном рассеянии может быть выражено через Н-функции, если принять, что (110) (112) ЧГ (р) = сопз! = — во. 1 2 (108) Так, закон диффузного отражения представляется формулой 1 (О !в! Ро) 4 йо Р „+ Н (в) Н(йо) (109) и в консервативном случае (во=1) закон потемнения к краю при условии постоянства полного потока имеет вид Г(0 Р) 4 ГН(Р) ТГЗ Н-функции (зычисленные Брин и автором) для различных значений мо приведены в табл.
Х!. Представление о достигнутой при вычислениях точности моясет быть получено из табл. Х!1, где сравниваются значения интеграла г ~Н(Р) (Р, (111) в полученные численно, с помощью протабулированных функций, и точные значения, которые дает формула =(! — (! — мо) !. <"о Таблица Х! Н-функции, полученные в результате решения точных интегральных уравнений, Во=о,б во =0,2 во=О,З во=0,4 во= 05 в =О7 Т а б л и ц а Х! (Продолжение) в =1,О Во=09 Во=0925 во=095 во=0975 йо=О85 в,=08 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1,0000 1,1117 1,1952 1,2693 1,3373 1А008 1,4604 1,5170 1,5709 1,6224 1,6718 1,0000 1,1196 1,2111 1,2936 1,3703 !А427 1,5117 1,5778 1,6414 1,7027 1,7621 1,0000 1,1368 1,2474 1,3508 1,4503 1,5473 1,6425 1,7364 1,8293 1,9213 2,0128 1,0000 1,0820 1,!388 1,1866 1,2286 1,2663 1,3006 1,3320 1,3611 1,3881 1,4!32 1,0000 1,0999 1,1722 1,2349 1,2914 1.3433 1,3914 1,4363 1,4785 1,5183 1,5560 1,0000 1,1053 1,1828 1,2506 1,3123 1,3692 1,4224 1,4724 1,5197 1,5646 1,6073 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,00000 1,00783 1,01238 1,01584 1,01864 !,ОЮ99 1,02300 1,02475 1,02630 1,02768 1,02892 1,03004 1,03106 1,03199 1,03284 1,033Я 1,03436 1,03504 1,03567 1,03626 1,03682 1,00000 1,01608 1,02562 1,03295 1,03892 1,04396 1,04829 1,05209 1,05546 1,05847 1,06117 1,06363 1,06587 1,06793 1,06982 1,07157 1,07319 1,07469 1,07610 1,07741 1,07864 1,0000 1,0903 1,154! 1,2086 1,2570 1,3009 1,3411 1,3783 1,4129 1,4453 1,4758 1,00000 1,02484 1,03989 1,05155 1,06115 1,06930 1,07Я7 1,08259 1,08811 1,09308 1,09756 1,10!64 1,10538 1,10881 1,11198 1,11491 1,11763 1,12017 1,12254 1,12476 1,12685 1,00000 1,03422 1,05535 1,07196 1.08577 1,09758 1,10789 1,11700 1,12516 1,13251 1,13918 1,14528 1,15087 1,15602 1,16080 1,16523 1,16935 1,17320 1,17681 1,18019 1,1ЯЗ7 ~ 1,00000 1,04439 1,07241 1,09474 1,11349 1,12968 1,14391 1,15659 1,16800 1,17833 1,18776 1,19640 1,20436 1,21173 1,21858 1,22495 1,23091 1,23648 1,24171 1,24664 1,25128 1,00000 1,05544 1,09137 1,12045 1,14517 1,!6674 1,18587 1,20304 1,21861 1,23280 1,24581 1,25781 1,26893 1,27925 1,28888 1,29788 1,30631 1,31424 1,32171 1,32875 1,33541 1,00000 1,06780 1,11306 1,15036 1,18253 1,21095 1,23643 1,25951 1,28063 1,30003 1,31796 1,33459 1,35009 1,36457 1,37815 1,39090 1,40291 1,41425 1,42497 1,43512 1,44476 Глаза К Н-функции 136 Т а 6 ли ца Х! (Продолжение) йо = 0 95 йо= 0 975 йо = 1 О й,= 0,8 йо = 085 но=0,9 йо= 0 925 Таблица ХП г Сравнение интегралов ) Н(в) г(р, вычисленных при помощи о протабулнрованных функций с их точными значениями, равными 2(! (1 йо) )/йо очное ,! ио ! ванное Итериро- ванное Точное 0,8 0,85 0,9 0,925 0,950 0,975 1,000 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 99 38 н 39.
Применяемый в этих параграфах метод исследования заимствован в основном нз следующих работ: 1. С Ь ап 6 газе КЬ а г 5., Аз1гориуз. 7„105 (1946), 164(см. особенно 9ф 7, 11 и 12 втой статьи). 2. С Ь ап 6 г а зе1гяа г 8., ВпИ. Агяег. МаШет. 5ос., 58 (1947), 641 (см. особенно 99 24, 25, 35 н 35а втой статьи). 6 40. Ход рассуждений в этом параграфе в основном следует работе 3.
С г цщ М., С)цагг. ). о! МаШещ. (Ох!огб Яег!еэ), 18 (1947), 244. ф 42. Протабулироваиные в этом параграфе Н-функции взяты из работы 4. СЬ а п дгазеНЬ а г 5., В геен рн Азггорпуз. о,, 106 (1947), 143, 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 1,4368 1,4590 1,4798 1,4995 1,5182 1,5358 1,5526 1,5685 1,5837 1,5982 1,5044 1,5315 1,5571 1,5814 1,6045 1,6265 1,6475 1,6675 1,6867 1,7050 1,02632 1,05572 1,08892 1,12698 1,17157 1,22512 1,29219 1,5918 1,6259 1,6583 1,6893 1,7190 1,7474 1,7746 1,8008 1,8259 1,8501 1,0263340 1,0557281 1,0889331 1,1270167 1,1715729 1,2251482 1,2922213 1,6480 1,6869 1,7242 1,7600 1,7943 1,8274 1,8592 1,8898 1,9194 1,94?9 1,7191 1,7647 1,8086 1,8509 1,8918 1,9313 1,9695 2,0065 2,0423 2,0771 1,8195 1,8753 1,9295 1,9822 2,0334 2,0833 2,1320 2,1795 2,2258 2,2710 1,3819 1,4416 1,5194 1,5699 1,6344 1,7269 1,9999 2,1037 2,1941 2,2842 2,3740 2,4635 2,5527 2,6417 2,7306 2,8193 2,9078 1 381966 1,441651 1,519494' 1,570030 1,634512.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
