Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1,726946 2,000000 ГЛАВА Ч! ЗАДАЧИ НА ОВШИЕ ЗАКОНЫ РАССЕЯНИЯ й 48. ВВЕДЕНИЕ В этой главе мы рассмотрим задачи о переносе лучистой энергии в полубесконечных плоско-параллельных атмосферах при законах рассеяния более общих, чем изотропное рассеяние. В этих случаях принципы инвариантности приводят к неоднородным нелинейным уравнениям высоких порядков. Так, уже при угловых функциях 3(1+созвИ)/4 и й (1+псов И) мы имеем дело с системой интегральных уравнений второго порядка [см. гл. 1Ч Э 34, соотн. (61) и (62); 9 35, соотн.
(79) и (80)[. При более общих законах рассеяния можно ожидать, что уравнения окажутся еще более сложными. Например, случай релеевского рассеяния приводит к системе четвертого порядка [см. гл. Х, 9 70, соотн. (135) и (136)]. Решение или понижение порядка этих систем уравнений оказалось бы невозможным, если бы не наводящие указания, подсказываемые формой решений, которые были получены при непосредственном решении уравнений переноса с помощью метода приближений, описанного в гл. !11 в применении к изотропному рассеянию. Эти указания сводятся к следующему. В общем случае было обнаружено, что система (нли системы) уравнений, которым эквивалентно уравнение переноса в п-приближении, может быть исследована способом, аналогичным изложенному в гл.
1Н (см. ниже, 9 48 этой главы). В то время как детали решения изменяются в отдельных частных случаях (и могут быть, конечно, весьма сложными), имеет место некоторое, весьма широкое подобие различных задач с простейшим случаем изотропного рассеяния. Так, угловое распределение уходящего (равно и отраженного) излучения всегда описывается некоторой функцией при значениях аргументов, принадлежащих интервалу (О, 1), а граничные условия определяют нули этой функции в дополнительном интервале ( — 1, О).
Благодаря этой взаимности, имеющей место для всех задач, можно исключить постоянные н получить решения в замкнутой форме. Более того, эти решения, кроме нескольких постоянных, содержат только О-функции вида [см. Ч, соотн. (58)[ П (э+вг) 1 г=1 (1) ' ' "П('+'«) 138 Глава КА Задачи на общие законы рассеяния где Рв — нули Р о(Р), а А„— неотрицательные корни характеристического уравнения — Х аб%" (Нб) в в з'=1 (2) здесь Чг (Р) — четный полипом по Р, удовлетворяющий условию .~ (Р) 1 2 ' в (3) Н(1в)=1+РН(Р) ~ ~,Н(Р')би', в (4) ограниченное во всей полуплоскости ес (а) ) О. При использовании этого соответствия между точными Н-функциямн и их рациональными выражениями в приближениях конечного порядка часто можно бывает установить форму решений.
В этой главе мы получим намеченным путем выраженные через Н-функции решения интегральных уравнений, выведенных из принципов инвариантности, для угловых функций 3(1+сова ев)14 и Фо(1+х соя И). Мы протабулнруем также различные Н-функции и постоянные, встречающиеся в этих решениях. Точные законы диффузного отражения, полученные для случаев: 1) изотропного рассеяния; 2) релеевской угловой функции и 3) угловой функции ы (1+хсоа1т), мы рассмотрим и сравним в $ 47. Последние разделы этой главы посвящаются обобщению теории на случай рассеяния, соответствующего угловой функции, которая может быть разложена в ряд по сферическим функциям. $44. ЗАКОН ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ С УГЛОВОЙ ФУНКЦИЕЙ РЕЛЕЯ Как было уже показано в гл.
1Ч, 5 33, закон диффузного отражения для случая рассеяния с релеевской угловой функцией может быть представлен в виде (гл. !Ч, соотн. (5) и (67)) 7(0, Р, Р) = 32 Р~З' (Р Рв) — 4РРо(1 — Р) (1 Ро)Ю''(Р, Ро)соз(ро т)+ + (1 — Ра) (1 — Ре) З1е> (1' Ро) соз 2 (Ро Р)! (б) На основании теорем, доказанных в гл. Ч, 9 39 и 40, мы можем ожидать, что в пределе при п~ со Н-функция (1) превращается в решение соответствующего интегрального уравнения 9 44. Закон дигргруеного отражения нри рассеянии 139 где [гл.
1Ч, соотн. (72), (78), (77) и (78)[ ( — + — )ЗГМ (, ро) = 3 ф(1)ф(1"о)+ 3 ф(р) ф(ро) (6) о 8 Р+ — )3" (, во)=Н' (р)Н(о( ) (1=1, 2), ио г ф(н)=3 — ра+ 3 ) (3 — р"-)Згм(р, р')" — ',, о 1 ф (р) ра+ /' р'е З(о) (р, н') — "',", о (7) (8) (9) а Н(й (р) и РР> (р) представляют собой Н-функции, выраженные соответственно через характеристические функции 3 3 8 рэ (1 ра) и (1 ра)а 32 Н ( ) 1 + 3 Н ( ) ~ 3 ~ Н ( ) о (12) ограниченное в интервале (б ~( р ~( 1). г) См. С'Ггапдгаеекггаг 8., Ажгорнуе. Л., 163 (1946), 165 [формула (189)) и там же 105 (1947), 164 [формула (246)[. е) Оио единственно потому, что мы имеем здесь дело с консервативным 1 3 г 1 случаем: — [ (3 — нг) Ин = —, ' 16.[ 2' е 44.1.
Форма, решения для Уег (р, р ). Подставив выражение 3('> из формулы (6) в (8) и (9), получим интегральные уравнения [гл. 1Ч, уравн. (79) и 80)[ для ф и ф в их нормальной форме. При решении систем уравнений этого типа мы должны руководствоваться, как уже было указано, формой решений, полученных при непосредственном решении уравнений переноса в и-м приближении, и соответствием между Н-функциями, появляющимися в этих решениях, и точными Н-функциями, определенными из интегральных уравнений. В рассматриваемом случае представляется вероятным, что решение для о(е> (р, ро) должно иметь вид ') ( — + — ) 3<'1 (рэ ро) = Н(9) Н(ро) [8 — с (р+ ро) + рро) (11) но где с — постоянная (пока неопределенная), а Н(р) — единственное а) решение уравнения 140 Глава рд Задачи ни общие законы рассеяния н свойства, выраженные теоремами 1, 2 и 3 гл.
Ч, представляются соотношениями — ) (З вЂ” ра) Н (р) бр = — (За — а ) — 1, 3 3 о (14) ао = 1+ — (За, '— ад), 3 ! з Г н(р'1 „, о(р) — 1 3, 16(3 — р) ) +» и = рН(р) +16(~» рао) о (15) (16) где а„— момент функции Н(р) порядка и. Из равенств (14) и (15) можно вывести следующее полезное соотношение между моментами 32+ 9а,'= 32+(9а — 16)а = 288(1 — а )+ 81аа = 27а'-,', или 1 32 (17) 27' Возвращаясь теперь к вычислению»р н ф по формулам (8), (9) и (11) и рассматривая сначала ф, получаем 1 3 — lе ф (р) = 3 — ра+ — 1»Н (р) ~, Н (р ) ( 3 — с (р + р») + 1»1») пр о 1 = 3 — ра+ — рН(р) ~ (3 — р') Н(р')~ ~,+(р — с)~»1р'.
(18) о С помощью формул (12) и (13) можно привести это выражение к виду ф(р) = 3 — ра+(3 — р.а) (Н(р) — 1)+(р — с) рН(р), 44.2. Проверка решения и выражение постоянной с через моменты функции Н(р). Чтобы установить, что решение для 3<'>(р, ро) имеет форму (11), нужно, во-первых, вычислить ф(р) н р(р) по формулам (8) и (9), а затем потребовать, чтобы полученные для ф и ф выражения, будучи снова подставлены в соотношение (6), давали бы предполагаемую форму решения. Первый наш шаг, таким образом, будет заключаться в вычислении ф и ф по уравнениям (8) и(9) при Ю1о>, представленной формулой (11).
С этой целью мы используем различные интегральные свойства Н-функции, удовлетворяющей уравнению (12). В настоящем случае р(р) = —,',(з — р,а) (1з) 6 ее. Занан диффузного оогрозеенггя ири рассеянии !41 или ф (9) = Н([г) (3 — с[г). Рассматривая, далее, сумму ф+ф, получаем г ф([г) [ ф([з) 3-[ ДЛ[е1([г ДЗГ' о (19) и[ ) = 3+ — [гН([г) ~ —, [3 — с([г+[г')+[г[г'[гГ[ь = о = 3+-1'6~Н(9) ~ Н( 9) ~'+",+(р — сф~ = о 9 = 3+16 [гН([г)([з — с)ао+ 3 [Н([г) — 1+ 16 [гН([г) (а, — [гао)~ = Г 3 = ЗН([г) + —. [гН([г) (а, — сао), 9 (20) где в выкладках использовано соотношение (16).
Иа (19) н (2[1) следует, что Ф(р)=9 НЫ где [см. соотн. (14)[ г7 = — [9а — с (9а, — 16) [ = — (Заг — са ). 1 3 16 г о 16 (21) (22) Сравнивая формулы (11) и (23), мы видим, что нужно потребовать, чтобы выполнялось равенстао Зов+ са = 3. (24) Это уравнение определяет с, так как, подставив в него вместо гу выражение (22), мы найдем 1 32 а 32 — (За, — сае) + — с = —, или (3 аз+27) с~ — 2агаас+ 3 (аг — 27) = О. (26) Подставив теперь ф и ф в соответствии с выражениями (19) и (21) в (16), получим ( )' — + — ) о[ег (и Ро) = Н [Й Н [ро) [ь — (3 — ср) (3 — сро) + 3 гуа[г[го~ = 1 1ь Г1 8 1 = Н[и) Н([го)(З вЂ” сЬ+ро)+ 3 (Зг[а+са)[г[го~, [23) 142 Глава И.
Задачи на общие законы рассеяния С помощью соотношения (17) уравнение (25) приводится в виду а,'со — 2а ив+ив= О, (26) откуда (27) а! Постоянная д теперь принимает вид (см. соотн. 17 и 22) ~7 = — (Зае — а') = —. 3 2 16а! г в За! ' (28) Мы показали, таким образом, что при а и с, выраженных по формулам (27) и (28), функции (19) и (21) представляют собой решения интегральных уравнений (79) и (80), гл.
1Ч. Наконец, сочетая выражении (5), (7) и (11), можно выразить закон диффузного отражения в виде 7(О, р, <р) = — Р[Н(р)Н(ро) (3 — с(9+ ро)+р)ао)— 3 — 4рро (1 — ро) '(1 ро~)"НО! (р) Н"1 (ро) соя (сро — <р)+ + (1 — рЛ) (1 — р,') Н<П (р) Н<п (ро) соз 2 (ао — 9)) — "о (29) 9+ но' где Н(р), Н!'1р, Н<'1(р) определяются соответственно с помощью характеристических функций — (3 — ио), — р,а (1 — йа) и — (1 — ао)о. 3 3 3 16 8 32 (ЗО) Таблица ХШ Функции Н(п), НО!(Н) и Н!'!(Н), полученные решением точных интегральных уравнений Н!е1(н) и.
И(а) Н!е) („) Н(„) НО)(н) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1,00000 1,14691 1,26470 1,37457 1,48009 1,58281 1,68355 1,78287 1,88105 1,97836 2,07496 1,00000 1,00430 1,00786 1,01089 1,01352 1,01582 1,01785 1,01968 1,02132 1,02280 1,02415 1,00000 1,01145 1,01724 1.02134 1,02448 1,02700 1,02909 1,03085 1,03236 1,03368 1,03483 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 095 1,00 2,17098 2.26650 2,36162 2,45639 2,55085 2,64503 2,73899 2,83274 2,92631 3,01973 1,02539 1,02652 1,02757 1,02854 1,02944 1,03028 1,03106 1,03179 1,03247 1,03312 1,03586 1,03679 1,03761 1,03836 1,03904 1,03966 1,04024 1,04076 1,04125 1,04170 143 й И. Закон лотомнсник к краю а с есть постоянная, связанная с моментами функции Н соотношением с= — '. (31) а1 Таблица Х1Ч Постоянные, вычисленные по точной функции НЬ) ао = 2 06088 а1 — — 1,19400 ао 0,84940 27 = 0,55835 с = 0,71139 Решение (29) будет исследовано в 9 47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
