Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для угловой функции (87) уравнение переноса, соответствующее задаче о диффузном отражении и пропусканни, имеет вид е1 гв и сг Л ' — — 1(т' 1г' 'го) 4н Г ~ [ Х(2 — Зо, т)Х о т=о Х(,~ т Р (9)Р,'"(И')~соэт(р' — ср)11(т, 1г', ср')ггр'агр'— 4 ~ [ лв~>(2 йо )( )и~ т~ ( 1) РгЫРг Ьо)(Х т=о в=т Х соэ т (ро — о)1 е-ит, (90) Отсюда видно, что функцию 1(т, 1г, т) нужно искать в форме 1(т, р., <р) ~~.', 11 (г, 9)созга(ооо — о). (91) При подстановке этого выражения в уравнение (90) последнее разделяется на (М+1) независимых уравнений вида 1(вц ( 9 "~ =1о"У(г, 1г) — — ~„тгвРг (9) ) Ргн(о)1~ ~(-, н)г1м— г=.т -! ( 4 (2 — йо, т) ~~~ ~тг ( — 1) Рг (1г) Р™г (М) Ре г=он (т=О, 1, ..., М). (92) 48.2.
Эквивалентная система линейных уравнений в и-м приближении. Согласно методу приближений, описанному в гл. П и П1, интегралы, входящие в уравнение переноса, должны быть заменены суммами по квадратурной формуле Гаусса. В и-и приближении эквивалентная система линейных уравнений имеет порядок 2п в соответствии с разбиением интервала ( — 1, 1) точками, представляющими нули полинома Р н(Р).
ПоэтомУ в РассматРиваемом слУчае, когда под внаком интеграла встречаются полиномы Лежандра порядка не выше Ж, Рааса ед Задачи на общие законы рассеянии решение следует искать в приближениях такого порядка и, чтобы выполнялось неравенство ~ 4 (2 — йе,,„) «~~( — 1) й>еР~ (>ее)Р> (ро)(Ре ' " >=за (1 = - 1, ...,:+: и; О ( ги ( М). (94) 48.3. Решение однородной системы, Рассматривая определенное значение О (га (ДГ, мы найдем сначала общее решение однородной системы еы — =)е — 2,'5 йх Рс'(ре) «аб!з"'>Р,"'(ре) (е= -1, ..., -и), (93) ше1 з а затем добавим к нему частное решение неоднородной системы (94). Чтобы получить линейно-независимые решения системы (95), цоложнм 11">=о( >е ' (1= -1, ...,:+и), (96) где д1 > и й — постоянные.
Из уравнения (95) находим, что д~™> представляются в виде и де~"' — — — У,т й'Р("(>ее) (Е=-з — 1, ..., -и), 1+ не>е ьы >=за (97) где $>~(1=ш, ..., М) — постоянные, которые должны быть опреде лены из уравнения Р1е ,"5'„езь>Ъ|'Рз (ре) = 2 «~ ей Рз (>ее),'5е~ 1+ „~б '«~ Йг"1х Р>, (>е1).
(98) >= >=е1 Обозначив аеР> (не) Р~а(еб) 1'>з, ь(х) = 2 ес > 1+ не (99) 4и — 1 ) 2М. (93) Обратно, если мы ограничиваемся отысканием решения уравнения переноса в и-м приближении, мы не вправе включать в разложение фавовой функции по полиномам Лежандра члены порядка более высокого, чем 2и — 1. Предполагая, что условие (93) выполняется, получаем следующую систему 2и линейных уравнениИ, эквивалентных уравнению (92) в и-м приближении. ее> ре — =е("> — 2 ,')~ ТР(рч) ~,а,Ф~РТ(И1)— >=ее В ВВ. Уравнение нереноса в случае угловой функции 165 мы сможем переписать уравнение (98) в виде М Х йл ЕГРю Ье) = Х т"Р! Ье) .Е йл"Ел'Ол, л, (й).
л=т л=т л=уд (100) Так как это уравнение должно иметь место для всех л', нужно потребовать, чтобы выполнялись равенства н Елн = .~~ влиЕ(л1)~л",л (й) (1 = лл, ..., М). (101) л=еь ПГ = — ~„ааРГ(йу) Р (! ~) (1 —, + .) (102) и вспомнив, что 1+1 (2М( 4п — 1 (103) и 2 ~,.ааР!"Ьу)Рл"(ру)= —, 1 Р!"(9)РГЫ ! =2,+, (, ), (104) -1 мы будем иметь аа Л (с+т)' ! СЧ арВРЛ (!'В)РЛ" (Оу) Оал= — ' — — х 7 2л+! (! — т)! 2 ей~ !+хи а ч л (1+ т)! х чг.л а~Р~" (о!) 2г -1- 1 (с — т)! 2 (2г+ 1) ~Й~ 1+ хна Х((г — + 1) Рл"„(, Д+(1+ т).
!". (Рт)) = Ь л (с+т)! х — — ((1 — т+1) Е)лчл, л+(1+т) 0л л,л). 2Г+ ! (à — т)! 2Г+ ! 105 ( ) Следовательно, (21+1)й~ л(х) = + ',йл ! — хИ1 — т+1) ел~+!, л(х)+ ! (г ! т)О,"', (х)1. (108) Мы получили однородную систему линейных уравнений с (М вЂ” т+1) неиэвестнымн. Детерминант системы должен обращаться в нуль; это условие приводит к характеристическому уравнению для й, каждому корню которого соответствует совокупность чисел Ел, определенных с точностью до общего множителя. Характеристическое уравнение и числа Ел можно получить и другим путем — при помощи следующего искусственного приема.
Заметим прежде всего, что й! л(х) подчиняется простой рекуррентной формуле. В самом деле, написав йг,л в виде 6 48. Уравнение переноса в случае увловой функции 167 нулю корней, разделяющихся на пары вида йа. (а = 1, ..., и и гв'„" = — й".). (114) Поэтому 2п линейно-независимых решений однородной системы, соответствующей уравнению (94), имеют вид (а = -+ 1, ..., -+ и; 1= 1, ..., ~ и; 0 ~( т ~( М).
(115) В консервативных случаях, когда йо = 1, на = 0 является корнем характеристического уравнения при и = О, так как 71 ~~ ареал' г ЬЕ) 2 „7~ арво (116) (117) Чтобы избежать повторений, мы будем предполагать, что но+1, если только не указано противное. 48.4. Частное решение неоднородной системы (94). Чтобы закончить решение системы уравнений (94), нужно найти ее частный интеграл. Он может быть получен следующим образом. Положив в уравнении (94) е)~1= — (2 — 8о, м)а)~1Ре ""' (Е= + 1, ..., чн), (118) мы увидим, что постоянные 81 должны иметь форму Ра йьн) чкч - а а г (ив) с = ~Час71 1 М (119) где 7в' — некотоРые постоЯнные, опРеделЯемые из УРавнениЯ [см, ур. (101)) 7~ = ( — 1) + Р( (ро)+ ~~1 йГ7Г'7ульмг( — ) ((= и, ..., М). (120) ~ ио Гнм Мы будем, следовательно, иметь только (2н — 2) отличных от нуля корня, и формула (115) дает лишь (2и — 2) независимых интеграла.
С другой стороны, в консервативных случаях уравнение переноса имеет следующий интеграл (см. гл. !, $10 ур. (81)! Глава $'Д Забачи на общие законы рассеяния 188 Используя рекуррентную формулу для Ос,'ь (106), получим (2(+1)7! =( — 1)+ (2(+1)Р~ (1ьо)+ „, „, 1(Г+ иьй 1 Г г гт +Х т 7 ( -8ь — — ((1 — вс+1)гвс-в.ь~ — )+ (à — ьи)ь ' ио (. зо а=вь +(1+ьп)О~"'ь ~( — ал (121) или, применив снова (120), придем к равенству (21+1) Тги=( — 1) "'(27+1) Рви(йо)+йвТв"'— в —,„((1 — л+1) !Тс — ( — 1) '"" Р)в- (йо)!+ 'ьо +(7+вл)!Тг" ь — ( — 1)"'"-'Рг ь(ьо)!1.
(122) Члены со сферическими функциями уничтожаются, и остается соотношение (21+ 1) тгв === ыв7)о — — ((1 — си+1) 1ц. +(1+ ел) ТГ' !. (128) ььо Сравнивая это выражение с формулой (108), мы замечаем„что 7~"" УдовлетвоРЯет РекУРГентной фоРмУле того же вида, что 1г'. Отсюда следует, что 7в = Ты(йо) 1г ( — ) (У= лв..... М), (1241 ио где 7ььь'(!ьо) — постоЯннаЯ пРопоРциональности, котоРаЯ может быть определена иа (120), если полонсить 1= и н вспомнить, что С=1. Тогда будем иметь 7™юи(о~о)=Р~Ьо)+Т„ь 1 в> Еь ( — )П~,г~ — ), (125) )ьеь нлн (126) 1ь~~ (Ио)— ~:;;; (17ио) И,,"н, (1(ио) г=вь Иэ связи знаменателя этого выражения с характеристическим уравнением (112) мы заключаем путем рассуждений, подобных тем, которые привели к тождеству, установленному в гл.
ьГ [уравн. (46) и (51)), что (127) 7мь(йо) = Рьв(йо) НЫОЬо) Н'"'( — йо» где ггьоьь (!в) выражается, как обычно, через положительные корни характеристического уравнения. .4 «и. Уравнение переноса е случае угловой функции 169 Искомый частный интеграл имеет, таким образом, вид !( ~= 4 (2 — бо, ю)Р« (ро)Н (ро)Н~ ~( — ро) Ге ~~>< Х,~г юг"1г«( — ) „,~ (г= 1, ..., и; 0 (иг (М). (128) г = «и игг 1+ М"и 48.5. Общее решение системы уравнений (94). Соединяя выражения (115) и (128), мы можем написать общее решение системы (94) ь«« +и й««а !«1«~= — (2 — йи и,)РР,"„'(Ро)! ) " ~~~~ агнЯ«(!г,',")Рги(~гц)~+ «=-и г«ел лю К 1=ы (г'=-1-1, ..., -н), (129) где Ь«' суть 2п(М+1) постоянных интегрирования ').
Постоянные интегрирования в решении (129) должны быть определены из граничных условий. Так, если рассматривается задача диффузного отражения в полубесконечной атмосфере, то следует отбросить все члены, неограниченно возрастающие при т -+ оо. Остающиеся постоянные определяются затем из условий на поверхности: 1~ ~~ = О при т = О, г = 1, ..., л и т = О, ..., М. (130) Если рассматривается стандартная задача теории диффузного отражения и пропускания, то 2п(М+ 1) постоянных определяются из условий (см. гл. !, (127) и (128)) У<'"> =0 при с=О, 1=1, ..., н и т=О, ..., М, (131) У+!'гЮ=О при с=т„с=1, ..., а и т=О, ..., М.
48.6. Задача с постоянным полным потоком в консервативном случае. В этом случае поле излучения не зависит от азимута и г) Следует указать, что в агом выражении суммирование по и не содержитчлеиа си= бичта Лю„= — Ли'. укажем также, что в консервативных случаях при иг = О и принимает значения только от — (и — 1) до (и — 1). Вместо недостающего члена в решении яоявлается слагаемое вида 170 Глава Ъ7. Задачи на общие законы рассеяная решение задачи имеет вид где а постоянных 1.„определяются из граничных условий 1 е=О при 1=1, ..., и и т=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
