Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 28
Текст из файла (страница 28)
фиг. 15) имеет вид Р Р 4ч (1' » » йь 90) 4ч (1'1~ '110 90)+ ('+й> 1)+ 1 2-. + — ~ ~ Т(т; 12, 18; 11', ~')1(т, +р'> р')йи'ба'. (7) о о (8) Три члена в правой части представляют соответственно составляющие отраженного излучения, возникающие за счет отражения падающего потока частью атмосферы, расположенной над уровнем -., за счет прямого пропускания диффузной интенсивности 1(ч, + 12, о), распространяющейся в направлении (12, 12), и за счет диффузного пропускания поля излучения (3), падающего на поверхность т снизу. 111. Диффузное пропускание падающего света всей атмосферой эквивалентно пропусканию ослабленного падающего потогса яре аз и диффузного излучения 1(т, — и', 12')(О(ч'~,1), падающего на поверхность ., слоем атмосферы оптической толщи (т,— т), расположенным ниже т. Математическое выражение этого принципа имеет вид (см.
фиг. 16) Р 4 „7 (21' 21 1ьо то) Р = — е "~'Г(21 —,; 11, 12; р.,1, ов) + е-6-ОЛ"1(т, — р, в)+ 1 2 1 Г +4 31 (" В т>. Принципы инвариантности 177 Три члена в правой части представляют составляющие пропущенного излучения, обусловленные соответственно: ослабленным падающим потоком (2), который был пропущен слоем атмосферы, расположенным под поверхностью т, долей диффузной интенсивности 7(т, — >о, у), т*о тт, Фиг. 7й. Фиг. 76.
та Фиг. !8. Фиг, 77. пропускания и рассеяния для плоско-параллельных атмосфер конечной оптической толщи. Интегральные уравнения, аналогичные уравнениям (5) — (8), для осесимметричного поля излучения в полубесконечных атмосферах с постоянным полным потоком имеют вид (см. фиг. 17, 18 и 19) 1 7(т, +>о) = 7(0, +>с)+ — ~ Уо>(со: >с, й )У(т, — >с)д>о', (9) 2и о 1 7(0, + >с) = е-'Н(т, + >о)+ — ~ 7то> (т; >с, р,') 7(т, + р,') и>и', (10) о 7(т> — >в) — ) У >(т, й, >о)7(т, +>о)а'>о, о (11) непосредственно пропущенной 'в направлении ( — >с, ~7), и полем излучения (4), диффузно пропущенным через слой атмосферы оптической толщи ( — ) Очевидно, что уравнений (5) и (6) или (7) и (8) достаточно для однозначного определения поля излучения с помощью функций 178 Глава ИУ. 11рннцнны инвариантнссти где Ув1 и Т(ь1 не зависящие от азимута члены функций рассеяния н пропускания, определенных по формулам (1).
Уравнения (9 — 11) представляют собой математические выражения следующего принципа. Ч. В полубесконечной плоско-параллельной атмосфере с постоянным полним потоком выходящая радисция инвариантна по отношению к добавлению (или отнятию) слоев произвольной оптической толщи к (или от) атмосфере(ы).
Выходящее излучение можно, рассматривать как результат пропускания излучения, приходящего к поверхности т снизу, а направленное вниз излучение ложно рассмат Фиг. !й. ривать как результат отражения на любом уровне т восходящего излучения слоем атмосферы оптической толщи т, расположенным внове уровня т. Первая часть этого принципа была уже проанализирована в гл.
1Ч, п. 29.2 н 9 32. Сформулированные принципы разъясняют и подтверждают замечание, сделанное в гл. 1, 9 13, о том, что решение всех задач о переносе в плоско-параллельных атмосферах может быть сведено к задаче диффузного отражении и пропускания в атмосферах, обладающих конечными оптическими толщами.
$51. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ фУНКЦИй РАССЕЯНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ Значение принципов, сформулированных в 9 50, связано с тем фактом, что они могут быть использованы для вывода основной группы четырех интегральных уравнений для функций рассеяния и пропускания. Эти интегральные уравнения Пелинейны и неоднородны, тем не менее они представляют собой прзктически наиболее пригодное средство для решения большого числа наиболее важных задач из интересующей нас области. Основные интегральные уравнения, которым удовлетворяют функции рассеяния и пропускания, могут быть получены из принципов 1 — 1Ч $50 путем дифференцирования по т уравнений, выражающих эти принципы, и перехода либо к пределу при т -+ 0 (принципы 1 и 1Ч), либо к пределу при т -+ т, (принципы и и Ш). Так, дифференцируя урзвнения (5) †(8) 9 50 и используя граничные условия У(0, — Р, ю) = 0 н У(т„ + р., Е) = 0 (О ( и ( 1), (12) получаем й1(ъ+щт)1 р( 1В...
аб«бэ,юэ,гд я" И. Ингяееральные ураенения для функций рассеяния 179 1 + — ~ ~ Я(т,; И, »П н', »р')[ ' ' " — ~ с()ь'с(»р', (13) о о дг(» 1" 'р) [ Р д Т (»11 р т1 1»о 'ро) + — [ й» )» =;, 4И д»1 1 2 + И (' ° "-' ")[""." "1-„"'"' ( ) о о 0= — "д3(" '''') - — 1 1'дг('+'т)'[ +4 Х [ Т1(6 Р»р) )ь 7')[- д 1 а»»р»р (15) о о Р Г 1 .
дТ(»1' и 'р' Во то)1 Ро 2(»1 1 2» +е ' [ "112 ' ~» о+4ии~ ) 7(21; н, »Р1 )ь»Р)Х о о [йр(», —,, т)) »(» ) =о (16) Проивводные, встречающиеся в уравнениях (13) — (16), могут быть определены из уравнения переноса [см. гл. !'»1, ур. (19) — (21)[ 11 ' =1(с, Р, »Р) — $(т, Р., 7), (17) где 3(т ", »р)= — ер(и»р' ро»ро)е-но+ 1 4 1 2 ° +4и ~~р(р, 1у; р", рн)7(т,,", »рн)д и»(р".
(18) -1 О = + —.1(0, — )с, е), аЧ(», — 1», т) 3 1 ср» (» =о (20) Мы имеем [см. соотн, (1) н (2)[ [а'('+и т)~ =+ '[ — "Л(ч[ р., р; [„оо) — ~(0, +[, рф (19) Реева Л1. Принципа инвариантновти 180 о о 1 (1 . дТ(«1' Р о'Но то)\ 1 РО д«1 =е-«>и'$(0, — р, р)+ 1 2« + — ) ) Т(т,; р, >р; р,', >р')$(0, — р', 1р') — ", 2(о'. (26) о о соответствии с соотношениями (1), (12) и (18) р) 4 ~(р(> >1 и >о)+ 1 С другой стороны, в 1(0, р, 1 1« + — „Г ) р(р 'р( р" рв)б(21; ра 'ра; р, МО) — >, В(р" ~ (2Т) о о З(21 Р 'Р) = — Р(е дв'Р(Р> Р' — Ро ео)+ 1 и + — „~ ~ Р(р 9~ — Ра> рв) Т(211 рв> 9н' ра >рв) — аевр'~ (28) «« (21) Лн Ы(« — и т)1 а, ~ ~4 Т('11, 'р> 9> рсн ро) З(21, р> >р)~. (22) Подставив зти выражения производных в уравнения (13) — (16), мы найдем после несложных преобразований 1 2« (О, + р> р) + — 3 У 8 (21; рн ~; р', >р'»(О> — р', >р') —, Иср'> (23) о о дт(нб р, о; рм т,)1 4 Р~ — „Т(21> р> о> ро> 9о)+ да ) = 2> др> 3(21 р' >р)+ 4 ~ .~ Я(21', р., м; р>, >р)$(ты+ р>, р>) —,Н~~, (24) о о Р (~д В аб Ро но =е «ЬУ(тм -(-Р, >Р)+ д«1 1 2« + — ~ ~ Т(т;> рн >р; р', м')$(21, +р.', >о') ~; 12>р' (25) Е д1.
Интегральные уравнения для функций рассеяния 181 Подставив выражения (27) и (28) в уравнения (23) — (26), получим ( ) 1 1ц дл(211 Р. »р' Ро»ро) + ) ~ (21» Р»»'» Ро» »ро) + д Р (Р»» »р» Рв»»ро)+ '11 2« Р»» + —.~ ~Р(Р, К Рн ЯВ(т' Ре Ре( Ро Ъо) — 'аЦРи+ о о 1 2« + ~ ~ 8(т„р, о, Р, 2Р)Р( Р, »Р, Ро, »Ро), а'Р + о о 1 2» 1 2» +18иг ~ ~ ~ ~ ~(211 Р» 9' Р»»р)Р( Р»»р» Р» »р)Х о о о о Хи(211 Р» 9 ' Ро» 'ро) — »»2»р — »» а»9 (2н) — Р(Р, »Р; — Рв, »Ро)ехР( — т,( — + — )~+ д»1 1 2« е + — е «дв ) ) р(Р» о»; — 11", »р") Т(т;1 11", »р"; Ро» »р„) — 'сргр»»+ о о 1 2» с1~» + — „е-ч»».~'~ Т(21; Р,, »р; Р', »р')Р(Р <р' Ро»ро) в с(»р'+ о о 1 2«1 2« +~~~и ~ ~~ ~Т( 1Р»р~Р т') (Р»р1 — Р»р")Х оооо » е е Х Т(,1 Рь, »ре; Р, 1») Р— аг»р'~— "„-»~»ре, (80) — Т(,; Р, Р; Р», Ро)+ ' ~'~' Рен ~' =е-вг Р( — РР— Р Р)+ '1 ! 2 ~»» + 4 ~ ) Р( Р»р1 Р»ре)Т(т1 Р»р Ро»ро)» с~»р + о о 1 2» + 4я ~ ~ и(»1»»»»р1 Р»р)Р(Р»»р» 10»»ро) Р» 'р+ о о 1 2» 1 2« + ) ) ) ) о(21» Р»о Р»р)Р(Р»р» — Р»»р)Х о о о о 182 Глава РП.
Принципы инвириантности н 1 2: е ч~е Ф о о 22 1 + — ] ) Т( Р,',' .')р( — Р' Р'. — Р. 9.) — „', йР'+ о о 1 2~ 1 22 +1биь] ] ] ) Т(2.]Р 'Р]Р 'Р)Р( Р Р' Р' ри)Х о о о о ,11 и Х о (211 Р 2Р Ро, 1Ро) — 12/м' — „йе". (32) Уравнения (29) — (32) представлиют собой четыре интегральных уравнения задачи диффузного отражения и пропускания плоско-параллельными атмосферами конечной оптической толщи. Простым вычитанием можно исключить дЯ/дт из уравнений (29) и (30) и точно так же исключить дТ/дт, из уравнений (31) и (32).
Полученная система уравнений содержит только Я и Т и может рассматриваться как выражение инвариантности законов диффузного отражения и пропускания относительно прибавления (или отнятия) слоев произвольной оптической толщи к (или от) атмосфере(ы) у ее верхней гранины и одновременного отнятия (или прибавления) слоев равной оптической толщи от (или к) атмосферы(е) у ее основания. Чтобы обобщить предыдущие рассуждения в смысле учета поляризации поля излучения, нужно, разумеется, прежде всего выразить законы диффузного отражения и пропускания посредством матрицы рассеяния 3(211 Р, 2Р; Ро, йо) и матрицы пропускания Т(2,; Р, 1Р; Ро, йо) [см.
гл. 1, соотн. (23Э)]. Однако вследствие полного подобия уравнений переноса для вектора 1(составляющие которого суть параметры Стокса Т„ Т„, 1/ и ]г), и обычного уравнения переноса (без учета поляризации), и одинаковой роли угловой матрицы Р (Р, е; и', 12') и угловой функции р (Р, 22; Р', 1Р') в соответствующих уравнениях, становится очевидным, что 3 и Т удовлетворяют уравнениям точно такого же вида, что н уравнения (29) †(32). Нужно только заменить функции Я, Т и р, встречающиеся в этих уравнениях, матрицами 3, Т и Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
