Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Однако до сих пор еще не получены строгие доказательства этих утверждений. 68.1. Основные решения. Ввиду неоднозначности решений уравнений (1) и (2) для консервативных задач полезно выделить в каждом случае какой-либо член однопараметрического семейства решений в качестве основного решения.
О и р е д е л е н и е. Решения консервативной задачи, обладающие свойством к.=1Х(р)~УЬ)6 =1, о 1 у,=~у(р)с1г® 1р=о, о (55) мы будем называть основными решениями уравнений (1) и (2). Такие решения всегда могут быть найдены, так как, если какие-либо Х и У не удовлетворяют условиям (55), всегда можно подобрать с,"г так, чтобы решение, полученное из Х и У по формулам (47), обладало указанным свойством.
Определенные таким образом основные решения отличаются рядом интересных особенностей. Мы установим их в форме следующих теорем. Т е о р е м а 6. Основные решения инвариантны по отношению к приращениям т, в соответствии с интегро-днфференциальными уравнениями теоремы 1. Доказательство. Умножая уравнения (13) и (14) на %'(р) и интегрируя по й в пределах (О, 1), получаем у,у, 0, аско ~тс (56) (со 1)У с 0 сгуо асс Р(й, т ) = Х(р,, с ) + фа [Х(сс) + У(сс)), О(ин с,)= У(р, 'с,) — с3ь 1Х(р)+ Г(р)) (57) откуда и следует справедливость теоремы.
Теорема 7. Пусть Х(с, т,) и Г(1с, т,) представляют собой основные решения уравнений (1) и (2) в консервативном случае для частного значения т,. Рассмотрим решения й йй. Рациональные выражения Х- и У-функций 207 д, =(У,— 0)О+Р(х+У)(2У Я вЂ” 1ю+ — „, ). (64) Сравнивая уравнения (61) и (64), мы видим, что — +2у г0 — 0~=0. йО (65) Аналогичное преобразование выражения дО/дт, приводит к тому же уравнению относительно ог. Уравнение (65) можно представить в форме 1 йО г 2у О' й'о~+ 0 эквивалентной форме уравнения (58).
Выражения [(9) — (12) и (87)), полученные в 9 55 и 57 для решений уравнений (1) и (2) в общем случае, принимают особенно простой вид для основных решений в консервативных случаях. Теорема 8. Для основных решений в консервативных случаях справедливы соотношения 11 ув Ор (67) 1 хо — у'= 2 ~ Ч" (Р)иаКР, (68) о (66) ~ ~; ~",) (Х(Р) Х(Р') — У(Р) У(Р )) й~" =1, о ь ~" '",'(У(Р) Х(а') — Х(Р) У(Р)) йР = — -«, 'г Н о (69) (70) 1 (Х(Р) Х(Р') — У(Р) У(Р')) г(Р' = х,Х(и) — у У(Р) — и, (71) о ! 'ч" ( ') (У(и) Х(Р) — Х(Р) У(и)) гР = у,Х (и) — х, У (и) — ие-' Йо. (72) й 59. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Х- И У-ФУНКЦИЙ В ПРИБЛИЖЕНИЯХ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА Рассматривая теорию лучистого переноса в полубесконечных атмосферах, мы убедились, что решение уравнений переноса в л-м приближении позволяет получить в замкнутой форме угловое распределение уходящего излучения.
Это распределение выражается через Глава ИП. Х- и У-функции 208 Н-функции, рационально связанные с корнями характеристического уравнения и узлами гауссовой квадратурной формулы. В пределе, при и -+ со, эти Н-функции переходят в решения интегральных уравнений определенного вида. По аналогии с этой теорией можно ожидать, что и прв решении задач о переносе в атмосферах конечной оптической толщи угловое распределение уходящего излучения также выразится через некоторые рациональные Х- н )в-функции, которые в пределе, при и-+ сю, обратятся в решения интегральных уравнений, рассмотренных в предыдущих параграфах.
Более того, можно, как и в случае Н-функций, ожидать, что эти рациональные функции окажутся в некотором смысле приближениями к точным функциям. Все эти предположения оправдываются, однако полная формальная аналогия в свойствах Н-функций, определяемых как некоторые рациональные функции и как решения интегральных уравнений, для Х- и )'-функций не сохраняется. Тем не менее весьма важным является то обстоятельство, что соответствие между Х- н 'г'-функциями, входящими в приближенное решение, и точными Х- и 1'-функциями, определяемыми как решения интегральных уравнений, позволяет найти форму точных решений интегральных уравнений, выражающую инвариантный характер задачи.
В противном случае высокий порядок и сложность систем уравнений, к которым приводят принципы инвариантности, сформулированные в гл. Ч!1, исключили бы всякую возможность их решения. В настоящем пзраграфе выясняется характер и происхождение соответствия между этими функциями.
Так же как и в задачах о переносе в полубесконечных атмосферах, характерные черты решения выявляются уже в простейшем случае изотропного рассеяния. Рассматривая задачу о диффузном отражении и пропускании в плоско-параллельной атмосфере оптической толщи т„мы получаем [сьь гл. Н!, соотн. (92) и (108)) следующее выражение для интенсивности 1 . ( '~ч С,е — "«: + Н(во) Н( — Ро), „~в) 4 о ) ам' 1 -1- рва» 1 + рв/ро (ю'=-~-1, ..., в-л).
(73) Здесь через Е,(а = в-1, ..., л) обозначены 2п постоянных интеграции, а Уг,(а = ~-1, ..., и н 7в„= — Й „) изображачот 2п характеристических корня, отличных от нуля з случае й ( 1. г) Сумма по а в последнем выражении не содержит члена с и = О. Это условие будет сохраняться во всем параграфе. Везде при суммировании (яли в произведениях) по а от — и до +и член с а=о исключается из рассмотрения. а ж Рацаанальнне вмдаженна х- а уцфуннцай 209 Граничные условия в этой задаче имеют вид У (=0 при с=О и для (=1, ..., и, 1„(=0 при -.
= — ть и для в=1, ..., и. Введя функции (74) 5(и) = Ч й» [ Н Ото) Н( — Ио) '"а(ь 1 — н((ьо в —.— — ть (75) +а — Н т Т(и) = у Л„е " [ НО о) Н( — (ьо1 „, ~ 1+» (ь 1+Мьо (ьо) [е-т(ю ьщьзьи — е (ю((ьуов [ ) Н( )Н(— 1+ ИВ аьь Н(ио) Н( — ио) [ т(„цеиогь 1 — (ьь'(ьо 1 (78) Эти соотношения приводят к следующим выражениям для интенсивностей отраженной и пропущенной энергии: 1 1 %З а„Н ((ьв) Н( — (ьв) в (О [ь) = 4 ~оР '( „~~ 1+а + 1 1 и((,о ать 'ч( Аае "( [ нбьо)н( ао),-тйь ~~ — е-"~ ай(+,.И 1+И)ао можно представить граничные условия з форме 5 (рв) = Т (и() = 0 ((' = 1, ..., н).
(76) По аналогии со случаем полубесконечной атмосферы выразим интенсивности отраженного и пропущенного излучения 1(0, [ь) и У(тд, — [ь)(0 ( [ь ( 1) через Ю ([ь) и Т([ь), С этой целью прежде всего представим поле излучения в атмосфере с помощью функции источника [см. гл. Ш, соотн. (98)1 в соответствии с формуламя (64) и (66) гл. ! ан „З(т)= — еоР( ) Е„е «'+Н(ио)Н( — ио)е в~~и (77) т — -а Получим он Глава УПД Х- а У-функции 210 » ' 1г з 1 )а / ~ч г- а ь О(«ьо) О( — На) -«1» (ть ьь)= 4 Па (,~~ 1 Л + +я 1., + Н(иа) Н( а ) Ц (79) С помощью функций Я(р) и Т(ьь) последние выражения можно представить в виде 1(0, )ь) = — ПоР 15 ( — )ь) — е-«ГаТ()ь)), 1 (80) 1(ты — )ь) = — йаР(Т( — и) — е-'Ю(9)).
4 0 59.1. Исключение постоянных и представление законов отражения и пропускания в замкнутой форме. В дополнение к функциям Р(И)=П()ь — йч) и 17(9)=П(1 — й,р), ь'»Г «=ь (81) использованным в гл. 111 (соотн. (54) и (55)], введем также функции -~-а а ~'Ь) = 17 Ь) )7( — ) ) = П (1 — М) = П(1 — й' ') (82) +ьь )У.(И)=П(1 — йети) (а= — 1, ..., = ). (88) й=-в М» Имеют место следующие полезные для дальнейших преобразований тождества: %'(ьь) = Ю( — р) и Ф„()ь) = Ят,( — р) (а =~.1, ..., -а).
(84) Далее, из формул (75) находим, что функции 8(Г«)%'()ь)(1 — ~ ) И Т()ь) Ю(р)(1+ ~) (85) представляют собой полиномы степени 2п от 9; согласно (76), значения Таким образом, в случае конечных атмосфер, так же как и в случае полубесконечных, существует отношение взаимности между уравнениями, определяющими граничные условия, и функциями, описывающими выходящее излучение. Естественно, что для конечных атмосфер зто отношение не является столь же непосредственным как для цолубесконечных. Однако соотношение, описываемое уравнениями (76) и (80), является совершенно общим и обнаруживается во всех задачах.
6 Ж Рациональные вырааевнин Х- и У-функций 2!1 где в()ь) и /([ь) — полиномы от 9 степени н. Из соотношений (75) и (86) непосредственно следует, что Н(ро)и( )ьо) 2 2 1 Р(ро) Р( — ро) !«1 ' ' ' аа )и (!«в) = !!ш (1 — — ~~([ь) = я, в()ьо), 1 Р (ра) а-+о !'о $'в рн !" ()«о) НЬо)Н( — [ьо)е ""'— е-«.Гю Р ()«в) Р ( — Нв) )«ав ...а а %'()«в) = !!ш (1+ — ') Т(9) =, ', ' "' Г( — ро), Ив ' !«2 )«3 )р()„в) (87) откуда получаем в(ро) = Р( — ро) /( !ьо) = в '/' "Р()ьо). Заметим теперь, что так как [см. соотн. (75)[ (88) /.,= !!ш (1 — /в,!«)Я()ь) я+па и /.„е «" = 1!ш (1+/в„)ь) 7'(9) (а = -1, ... > -'- и), (89) р:+-пн то должны иметь место равенства [см. соотн. (83)[ 1 Р (1//в„) ( / ) Эв " И ' )Р'«(1/Л.)(! — !/й«нв) и -и«, 1 Р( — 1//в„) р' В'«(!/л.) (! — 1/ла в) (а= -1, ..., + л). (90) Сравнивая между собой эти выражения для /., и /.,е-н«ч, мы видим, что в(1//в„)=е " „' 1( — 1//в,) (а=~1, ..., ~л).
(91) в) Множитель 1/ив... !«а введен в атв выражения из соображений Удобства [см. соотн. (а7) н (88)[. рв(1, ..., и) являются нулями обоих этих полиномов. Поэтому можно написать 1 Р (!«) б(р) — ., ' в(р), Нн !" (Е) (1 И/!«О) (86) т(9), ', '"' 1® ), ав В'(и) (1+ р/ив) /лава !с/П. Х- п !'-ЗьусссссСсссс Соотношение между з и ! является взаимно обратным, так как, написав — а вместо а в формуле (91), мы получим с (1сс/св) =е вн " е( — 1/а„) (а=-+-1, ..., -и). (92) (+ / ь) Из (91) и (92) следует, что е (1//с,) з( — 1//с„) — !(1/и„) !( — 1//с,) ь 0 (а =:+ 1, ..., - л) (93) и соответственно ' Ь) е ( — 9) — !(!в) !( — !ь) = сопя! Ж'(р), (94) е (!с) = с/оСо (и) + с/сСс (9) /(!ь) = с/,Со(!ь)+ с/оСс(!ь), (95) где Со(9) и С,(9) — два базисных полннома(каждый изкотоРых имеет степень л и соответствующим образом нормирован), связанных между собой так же, как з(9) и !(!ь), Со(1//с,)=е «" + ' С,( — 1//е„) (а= ь-1, ..., ~-и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
