Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Другое истолкование Х- и у-функций (которое неявно содерн<ится уже в их первоначальном определении) заключается в том, что онн соответственно пропорциональны функциям источника при т = 0 и для параллельного пучка излучения, падающего в направлении р. Именно, в соответствии с гл.
ЧП, соотн. (27) н (28), в случае изотропного рассеяния имеем у(0) 4 ьер11 + 2 ) 8(т< ~ ре) ~ 4 ьеРХ(~о) ь 3(т<)= йоР~е """+ 2 ) т(т<' 1"а ро) — з1= — ыор1'(ро). (24) е 62.2. Неопределенность решений интегральных уравнений в случае не=1 и устранение ее с помощью К-интеграла.
При <ье = 1 соотношения (10) и (11) принадлежат к консервативному классу, исследованному в гл. Н!П, $58; согласно теореые 5 этого параграфа, не существует единственного решения этих уравнений. Общее решение может быть представлено в виде Х(р)+ Е (Х(р)+ у(р)!, У(р) — (ср (Х®+ У(р)), (25) где ь< — произвольная постоянная, а Х(р) и У(р) — основные решения, обладающие в случае характеристической функции 1(2 свойством < 1 ае — ) Х(<ь)а<8=2 и ре= ~ У(1<)<Уй=О. ь ь Для решений (25) выражения (16) для уходяших интенсивностей принимают внд з(0 р) = 4 1<ос ~ + (Х(ре)Х® УЬе) У(р))+ 1 1 + )(Х(..)+ У Ь.)) (ХЬ)+ У(р)) 1 г) Следует указать, что Х- и 'г'.функция, определенные, как обычно, через характеристическую функцию, не допускают подобной интерпретации, Очевидно, однако, что такой смысл можно приписывать функциям ф~~" н <ь<~", введенным в гл.
т'П, 6 53 соотн. (65) и (66). Э б2. Законы диффузного отражения и пропускания 227 У( [") 4 [ ~ [ ! ~([ о) Х([е) Х(го) [г(г)! 1 1 1 Я [Х([ео)+ У([ео)! [Х([е)+ У(й)~ (27) Поток и К-интеграл этого уравнения представляются в виде (см. гл. 1, Я 8 и 10) ьг Р()=2 ~7( [), 43=[оР( "" — 1) -1 (29) э! 2 3 (т' ')' ' 4'о ( 'о 7г +[о)' 1 г -1 где 7, и 7 — две постоянные. При с=О и т=-., получаем отсюда 1 Р (О) = 2 ~ 1(О, 9) [ З[ = 9,Р (1 — 7,), о (31) Р(тг) = — 2 ~ 7('1 — Р)[ Ф=["оР(е "'" — 11) о г К(О) = 2 ) 1(0, 9) йяай = 4 йор( Ро+То) 1 г 1 о (32) (33) и 1 А'(т,) = — ) 7(т1 — [е) [е~ Ф = 4 Рог ( — йое ьГ"" — 71т1+ То) (34) 1 г 1 о Эти выражения уходящих интенсивностей содержат произвольную [юстоянную Я, и в рамках соотношений (3) — (11) в случае йо — — 1 [гет средств для устранения этой произвольности.
Мы заключаем Ьтсюда, что в этом случае соотношений инвариантности, рассмотрен[еых в гл. Н11, недостаточно для однозначного "определения физического решения. Обратимся теперь к вопросу об элементе произвольности, остающемся в решении (27), и к способу его определения. Уравнение переноса, соответствующее рассматриваемой задаче, имеет вид ьг =~(т [е) — 2 ) е(т [ь)4" 4 Ре-н», (28) д!(ь») 1 à — 1 Глава !Х. Диффузное отранеенне и лролуеиание 22З й(0)=»воР~1+ 2 !е(а, + Р,)[Х(~ао)+ У(~во)1), Г ('в) = »воР (е ч и' + 2 4) («в + Р1) [Х Ьо) + У (йо) 1) К(0) = 4 йои '[ Ро + 2 агХЬо) — 2 Р ) Ьо)+ 2 !»(а~+Ря) Х 1 1 1 1 1 Х [ХЬо) + У Ьо)1 ~ (35) (36) (37) и ! К( ~) 4 [во ! 80 + 2 РгХЬо) 2 ав» Ьо) — 2Я( +Ря)1ХЬо)+ Ьо)1), (38) где аи и Р„ — моменты порядка л Х- и »'-функций соответственно.
Далее, ясно, что соотношения (31), (35), (32) и (36), в согласии друг с другом, определяют величину Тв = — 2 Я(«в+ Рг) [ХЬо)+»'Ьо)1 1 (39) Из соотношений (33) и (37) мы находим далее, что уя = 2 «вХ(~ьо) — 2 Рв~ Ьо) + 2 ве(аз+ Рв) [Х(йо)+»'(го)1, (40) Наконец, из соотношений (34) и (38) получаем — т +ув = 2 Р ХЬо) — 2 «!»'Ьо) — —,Я(ая+Ря) 1ХЬо)+ УЬо)1. 1 1 1 (41) Подставив теперь выражения (39) и (40) для 7, и 7в в формулу (41), получим 2 вв'(«в+ Р!) ~! = — 2 (а, — Р,) — ве(«в+ Ря), 142) С другой стороны, мы можем вычислить эти величины, исходя из выражений (27) для У(0, »в) и У(ты — 9). Мы получим таким образом четыРе соотношениЯ междУ тРемЯ постоЯнными 7ы 7я и Я.
Очевидно, однако, что два нз этих соотношений эквивзлейтны между собой, и, таким образом, они дают возможность однозначно определить все постоянные. Интегралы, выражающие !" (0), Р(ч,), К(0) и К(с,) через интенсивности 7(0, »в) и 1(т„— »в), представленные формулами (27), могут быть вычислены при помощи соотношений, полученных для основных решений в теореме 8 гл. ЧШ, 9 58. Мы находим, что 3 б2.
Законы диффузного огирижения и лроиуекиния 229 откуда (43) (иг+ Цг) к~ + 2 (иг+ Зг) ' Выразив, таким образом, (д через оптическую толщу т, атмосферы и моменты основных решений, мы устранили произвольность в выражениях для интенсивности выходящего излучения. Замечательно в некоторых отношениях то, что для устранения произвольности в решениях интегральных уравнений приходится в явной форме прибегать к К-интегралу. Оказывается, что такое обращение к К-интегралам необходимо и во всех остальных случаях чистого рассеяния. (44) так как 1 гг(н', 1 у-г = — ) — уЬ ) = — р-г ° 2) и~ 2 о (45) Мы покажем, что величина ф определенная формулой (43), действительно удовлетворяет этому уравнению.
Использовав соотношение (см. теорему 8, гл. т! Н, $58, соотн. (68)1 4 а', "— Ргг = 4 ~ рэ г1(г = 3, о (46) мы перепишем выражение (48) в форме — = — — [(а, + Р,)зтд+2(аз+Р )(а1+Р,)). (47) Дифференцируя последнее, получаем ( — ) = — — [(а, + р,) )(а, + р,) + 2т, — (а, + (1,)) + +2(аа+р ) „— (а,+~,)+2(а,+~,) — (аа+ра)~. (48) Чтобы упростить соотношение (48), заметим, что в соответствии с равенствами (13) и (15) мы можем написать д 1 Г дкг — (х+ у) = — ~~,(х+ г) — —. 2 -г и (49) 62.3. Величина (д удовлетворяет дифференциальному уравнению теоремы 7 3 58. Можно предположить, что величина (,г, определенная в п.
62.2, удовлетворяет дифференциальному уравнению теоремы Т $ 58. Этому уравнению мы можем теперь придать форму 230 Глава !Х. ь!(иффузное отражение и пропуеиание Умножая последнее равенство на Ра и интегрируя по Р в пределах (О, 1), находим ,у,„( .ь+ Кь) — 2 Р-д (аьь+ Ра) — Ри-д. (50) В частности, 1 — „, ( +6)= — (! (,+К) 'д (51) (так как в соответствии с соотн. (26) Ро= О! и ь! ьдт ( з+~з) 2 е д( з+~з) 1 'д (52) Используя этн соотношения, после некоторых преобразований формулы (48), получаем „вЂ” ( — )= — —,(Р- Н +!1)ах+2(" +1)('+1)]+ + (а, + ~д)з — 2~д (ад+ Дд)), (53) откуда (см.
соотн. (46) и (47)! следует, что л(1) 3„3,, зд ьйд д;д! О 4 д — ( — ! =: — — (аз — (дд) =: — 1. (54) 3 63. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ тд В СЛУЧАЕ ИЗОТРОПНОГО РАССЕЯНИЯ Приближенные решения для малых значения ь, при Х- и Г-фуддкцнях, полученных в гл.
ЧН1, 3 60 [соотн. (113) и (117)! для характеристической функции (12), имеют вид ХО!(Р)=1, у!д!(Р)=е ч'ьь (55) Ь (т,) !д (1 — е-'вв), (57) где Ь(тд) определяется соотношениями (130) (первое приближение) и (136) (второе приближение) гл. ЧШ. Установим теперь связь между решениями (55) и (56) и приближенными решениями, полученными в прежних исследованиях по этому Х (Р) =1+ 2 то~д(т„— Р), У~'-> (Р) = е-чФз~1+ — вьогд(тдь Р)~. (56) Эти решения могут быть, далее, уточнены по способу, опиеанному в гл. Ч!Н, п.
60.2, добавлением как к Х, так и к У члена вида В бЗ. Приближенные реп~енин длн малых значений чг 231 же вопросу, в которых интенсивности выходящего излучения выражаются через однократно-, двукратно- и т. д. рассеянное излучение. так, рассматривая слой атмосферы, заключенный между оптическими глубинами ч и т + бч, мы видим, что рассеяние ослабленного падающего потока яГе-чв увеличивает на этом уровне диффузную интенсивность в направлении я [см. гл. ч[, соотн. (74)[ на величину ! бч — йо ре-«~ — .
4 Доли этой интенсивности, пропорциональные е †и е-!' -')!о, уходят в направлениях [х и — [х с уровней -. = 0 и т = ч, соответственно. Следовательно, приращения отраженной и пропущенной интенсивностей за счет однократно рассеянного света в слое, расположенном между т и ч+еИ, составляют — йоГе-'Ъе-че — и — йоРе — чье-!' -'Ре —. (59) Интегрируя эти выражения по ч от 0 до т„получаем +[) 4 О +И ~ Р ( з1 + )~~ з(!)(ч„— [и) = — йос' о [е-' М вЂ” е-чй [ 1 (60) 4  — Ио для интенсивностей рассеянного и пропущенного света, претерпевшего однократное рассеяние в атмосфере. Сравнивая соотношения (16) и (60), мм видим, что, пользуясь первым приближением (55), мы учитываем только однократно рассеянный в атмосфере свет. Аналогично можно показать, что, пользуясь вторым приближением (56), мы учитываем также и двукратно рассеянный свет.
Далее, мы сможем провести интересное сравнение, если рассмотрим интерпретацию Х- и У-функций, данную в п. 62.1. Эта интерпретация относится к случаю, когда на границу атмосферы падает по всем направлениям излучение с угловым распределением (17). Приращения диффузного отражения и пропускания за счет однократно Рассеянного света в этом случае равны 1-.(0 +9)=2йо703 —,. [ и ™е-" о о (61) о о 232 Глаза !Х. Диффузное отражение и пропуснаниа Выполнив интеграцию по т, получим 1 )-р.(О~ +Р)= 2 Во~о ~, [,~1 — ехр ( — с( —,~+ — ))~ о н 1 Уитон,(т„— )с) = 2 йо!ое ь>з [ с,)11 — ехр [ — сс( —,— — Д, (62) о или, вспомнив определение функции Р~+,(т„) ) [гл. т'111, соотн, (118)1, найдем )..(О +Р)= 2 о — ~ ( — Р) О) 1- Го Р Уирть(тм Р) — — ме — С ' Рс(тм )с).
(68) Соответственно (см. соотн. (22) и (23)) ),",', (о, + Р) +1 (о, + )с) ) — 1->-2 о~' ( — Р)=Х'"(Р) [о, 11'г)си ( о — 1) +а ""уи,и (О.— > ) Г„,и (О, — >.) =а- 4е ~1 [- — аог",(с„) )~= Гсз>(Р). 1 (64) Таким образом, ХВ>(Р) и У[с)()с) представляют собой относительные мзменения интенсивностей в направлении + )с при ". = 0 и в направлении — р при т = ты обусловленные излучением, претерпевшим однократное рассеяние в атмосфере, если к границе атмосферы по всем направлениям приходит излучение с угловым распределением [(о)/[)с' [. (65) где Хн) ()с) и 1'и>()с) — основные решения, а ,(е) 8(в) Я аэ [а)сс)+ з[сс)! с + 2 [исаи)+ Р)с)) (индекс з использован для обозначения основных решений).
(66) 63,1. Приближенное решение в консервативном изотропиом случае. В п. 62.2 мы показали, что в случае во=1, решения для Х- и г'-функций будут иметь вид Х*(Р) = Х)с) ()с)+ фс [ХИ> (ъ)+ 1'[и) (Р)[, У'(Р) = Уи> Ы вЂ” 1;)Р [хо>(Р)+ У1') (Р)[, Е 63. ))риалиженные решения для малых значений ч, 233 '(р)=уь) — (()+9) [Х([)+уь)[, Хо) (9) =ХЬ+ )Р [ХМ)+ у®[, ГЬ)() — У( — [Х()+ У( )[ и уо ро х,+у, а,+3, ' моменты здесь относятся к функциям Х(и) и г'([э). Так как [см. соотн. (68)[ иУ' = иу+ 9 (а~от+ 5~+ г) (67) где (68) (69) = р' — е)(ае+ +~) ), (о) выражение (66) для (;) принимает вид ае — 31+ 2л (аэ+ дэ) (а1 -[- 3,) ч, + 2 (аз + рэ) Объединив последнее с (69), получим роч1 — (а1 — Ре) ~+ ч (а1+ 3~) ч1+ 2 (аэ+ до) ' (72) Решения Х*(р) и У*(р) задачи о диффузном отражении и рассеянии могут быть, таким образом, выражены в виде Х*(Р) =Х(Р)+ (а+,",, +2(„'+р),[Х®+ ~ (Р)[, (70) (71) Подставив в правые части соотношений (78) решения в уточненном втором приближении, мы получим решении, строго удовлетворяющие обоим интегралам задачи, именно, интегралу потока и Ктинтегралу ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
