Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для вмчислсния быпи использрваны решения, полученные в $62. ат 0,6 о,б о,з о,) 0 6О 6О и)'60)мбабО ЗО'га'(О' О П)'ВОУО'бОЙ)Отса'ЗО гО'ж О Фцг. 21. Закон диффузного отражения и пропускания плоско-параллельными атмосферами конечной оптической толщи при условии консервативного изотропного рассеяния. Орлинаты преяставляют интенсивности в елинмцак у Р, а абсшюсы — углы в гоаяусак. Покааано угловое Распрелеление отраженного света (кривые в левой части чертежа) и пропушеннсго света (кривые в правой частя чертечга) пря рашичнык вначеииях оптической тслжи Ч и при угле паленич, соответствуюшем р„=о,б. Сплошные кривые получаются в том случае, если пРиближенно наменять Х- и у-функции рациональными функпияни; пунктирные кривые соответстгуют решению.
полученному яля малых ввачеиий чо Ио Ио 0,7 ач О,з О,! 0 60' 60' 70 воней)6060' го' 70' 0' 90'60' 7060уао% 4060'го' 70' 0' Фиа. 22 Закон диффузного отражения и пропускания плоско-параллельными атмосферами конечной оптической толщи при изотропном рассеянии с аль- оедо ю,=Югй График построен тан же, как м на фиг. М; рассматривается тот же угол паленияуе 06. 247 Библиографические замечания Ввиду отсутствия точных решений для Х и )' применялись их рациональные приближения из гл. Ч111, 9 59.
Лля сравнения приведены также решения, полученные по формулам 9 63 при т, =0,25 и 0,5. Очевидно, что при ч,~(0,5 уточненные вторые приближения для Х- и )'-функций, полученные по методу, изложенному в гл. ЧШ, п. 60.2, дают точность порядка 0,001; этой точности, повидимому, достаточно для большинства задач. Точные решения соответствующих Х- и у-уравнений при различных значениях т, вычисляются в Научной вычислительной лаборатории Ватсона (Нью-Йорк) методом последовательных приближений (по способу Н-уравнений).
Когда вычисленные таблицы Х- и У-функций станут доступными, мы сможем получить точные решения большого числа задач, включая задачу об образовании линий поглощения з процессе диффузного отражения. В И ВЛИ О Г Р А Ф И Ч ЕС КИ Е ЗАМЕЧАНИЯ 8 62. Этот параграф написан по статье: !. СЬапбгазеК Каг 8., АэггорЬуэ. Л., 107 (1948), 48 (раздел Н этой статьи). Интерпретацию Х- и У-функции, приведенную в п. 62.1, можно найти в работе: 2.
Чап де Н и ! э ! Н., Аз!горЬуэ. з., 107 (!948), 2Ю. $63. См. работу зан де Холста [2], а также 3. С!гапбгазекпаг 8., Аз!гор)гуз. Л., 108 (!948), 92. 3 64. См. следующие статьи Чанарасекара: 4. С Ь а и б г а э е К Ь а г 8., АжгоРКУэ. йи 107 (1948), 188 (Раздел Ш этой статьи). 5. СК а п б г а зе К К аг 8., Аэ!горпуз. 1„103 (1948), 152 (раздел 11! этой статьи). 6 65. См, работы Чаидрасекара [4] (раздел !Ч) н [5] (раздел 1Ч). ГЛАВА Х РЕЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ И РАССЕЯНИЕ В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ $67.
ВВЕДЕНИЕ В предыдущих главах мы видели, как решаются в л-м приближении задачи о переносе лучистой энергии в плоско-параллельных атмосферах и как могут быть найдены точные решения для угловых распределений уходящего излучения. Наиболее просто это можно сделать с помощью некоторых общих принципов инвариантности. При формулировке последних (гл. !Ч и И1) в каждом случае указывалось, как следует учитывать состояние поляризации поля излучения в физически правильной теории; однако до сих пор не было дано явного решения нн одной задачи, в которой рассеяние рассматривалось бы как линейное преобразование параметров Стокса, характеризующих падающий свет. В настоящей главе мы приступим к исследованию этих более трудных задач; точнее говоря, мы рассмотрим основные задачи теории переноса в плоско-параллельных атмосферах при релеевском рассеянии.
План главы таков. В 9 68 мы рассмотрим осесимметричную задачу с постоянным полным потоком сначала в л-м приближении, а затем, имея в виду угловое распределение и состояние поляризации выходящего излучения, и в пределе бесконечных приближений. В $ 69 в качестве введения к задачам о диффузном отражении и пропускании мы приведем уравнение переноса к некоторым основным уравнениям и дадим явные выражения для не зависящих от азимута членов матриц рассеяния и пропускания.
9 70 посвящен задаче диффузного отражения полубесконечной атмосферой, а $ 71 — более общей задаче диффузного отражения и пропускания атмосферами конечной оптической толщи. В $ 72 рассматривается задача о планетной атмосфере, содержащей на глубине т = т, отражающую поверхность. Эта задача приводится к типичной задаче без такой поверхности. В $ 73 иллюстрируются решения, полученные в 9 71 и 72.
Здесь же кратко описывается применение теории диффузного отражения и пропускания, развитой в этой главе, к задаче освещенности и поляризации дневного неба. Наконец, в 9 74 приводятся обобщения, необходимые для учета ,эффекта деполяризации» (см. гл. 1, 9 18). 6 6о. Задача с лоотоннным лонным логноком 249 й 68. ЗАДАЧА С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ПОТОКОМ. ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ РАССЕИВАЮЩЕЙ АТМОСФЕРЫ =~~ — 8 (~~ А~( Р')( — Рж)а!Р'+Р~ ~7,(~, а')(Зрм 2)г!Р— ! -1 -~-1 +Рз ) ! (' Р')4"'~ — 1 ег Р',у, =уг 8 (~ 7!(т Р')!ьж4~'+ ~ 7„(г, р,')ф.'1. (1) -1 -г Требуется решить эти уравнения при граничных условиях, сформулированных в гл. 1, соотн. (228).
Уравнение переноса можно выразить через а' и К, определенные обычным способом: 4 (2(У! — К!)+Р (ЗК! — 23!+ 3г)) л! з 4 ( г+ а7„3 (2) Рти уравнения позволяют получить поток и К-интеграл для полной интенсивности 1!+7„; умножая уравнение (2) на НР/2 и РФР(2 и интегрируя по Р в пределах (0,1), получаем ! др З ! гк ! — = — К,— — У, 4 да 4 4 "' Лч 4 — = — Рм 1 аР 1 3 аК 1 — — "= — у — — К; г 7; 4 Лч 4 " 4 " Лч 4 Соответственно (З) — „(Р,+ Р'„) =0 и — „, (К!+К„) = 4 (Рг+Р,) (4) а' а 1 Отсюда Р + Р'„= сопя! = 7т К,+К,= —,' Р(к+Я), где Я вЂ” постоянная, Уравнение переноса для этой задачи было уже приведено в гл. 1, д 17.3, соотн. (227). Написав это уравнение отдельно для интенсивностей 7,(т, Р) и 7,.(т, Р) в направлениях, параллельном и соответственно перпендикулярном к меридиональной плоскости, содержашей направление Р, получим а! 250 Глава Х.
Рслссвсное рассеяние в атмосферах планст 68.1. Общее решение уравнений переноса в и-и приближении. Следуя общему методу замены интегралов соответствующими суммами Гаусса, получим в л-и приближении следующую систему 4п линейных уравнений: Рс лс =70 с — З ~2,?~ля[1 РМ,1+ Дгьс З Г, Сч +рс1 5 а (Зрвс — 2)Ус +~ а,.У„Д (с= -1, ..., -п) рс — "'' — — 7ос — — ( ~ а„.7о г+ ~ алс„Ус с) (с= ~-1, ..., -п), (6) где 70 с н Уо с обозначают У,(т, [сс) и !„(т, рс), а остальные обозначения имеют свой обычный смысл. Чтобы решить уравнение (6), мы найдем сначала различные линейно независимые решения, а затем, соединив их, получим общее решение.
ПГежде всего, будем искать решение уравнения (6) в виде Ус с=Хсе-"' и 1„с=йсе-"' (с= ь-1, ..., -п), (7) где пс, 7сс и й — постоянные. Подставив эти значения Ус с и 7о с в уравнения (6), получим НС(1+ 9,й) = — ~2 ~Ь и (1 — [св)д' +рв ( ~~а (Зрв[ — 2) дт+ ~с а~7С Ц и 7сс(1+рс7с) = З ~" аур;а+,~,аА~. (8) Соотношения (8) показывают, что пс и 7сс должны иметь вид Ч"с+ с [с= ~-1, ..., -~-н), [9) +рс +ес где а, р и 7 — некоторые постоянные, не зависящие от с'.
Объединив соотношения (8) и (9), получим а[сс+па = 8 [2 [а Фз 'Ов)+гаФо ~1з)) + + Рв (а (817 — 217в) + Р (Зла 2йо) + 7йо) [1 7 = — [ао -~ гас7в+ 7суо) 3 [10) где величины 17о, сла и О введены в соответствии с формулой [см. гл. !11, соотн. (18)[ ил асн. 17,„= ~1,1+,1, (11) э 68. Задача с постоянным полним потоком 251 Так как соотношение (10) справедливо для всех г', нужно потребовать, чтобы выполнялись равенства (12) (13) 3 т=а0 +Р0 + Ро.
8 (14) Соотношения (12), (13) и (14) представляют собой систему однородных линейных уравнений относительно а, Р и т. Определитель этой системы должен обращаться в нуль. Отсюда имеем 30, — 20а 3 30а — 20о 0о 4 00 — 0 —— 3 = О. (15) 8 0о —— 3 Прибавляя или отнимая от строк или столбцов соответствующим образом подобранные кратные им величины, мы можем преобразовать определитель, стоящий в левой части предыдущего равенства, следующим образом: 30, — 20 —— 30я 20о 0о 4 0о 3 8 3 8 3 8 3 4 8 а о 3 о 3 8 0о —— 3 откуда будем иметь (17) 3- а = а (30, — 20,) + р (30, — 20,) + „0„ 3~ ( я ч)+г( 8 0о —— 3 8 0о 3 0я+ 0о 3 2 (0о 2) 8 8 8 0+0,— — 0+0, 4 3 3 (0а+0о — ~) — 2(0о — 2)(0ч+0о — ~) =О.
8 3 8 0о-— 3 8 0о 3 (16) 252 Глава Х. Релеевское рассеяние в атмосферах планет Величины О подчиняются рекуррентным формулам (гл. И!, соотн. (21) и (22)) Ооу )р (ОЫ э 2 — 1) О„, = — ИО,„. (18) В частности, О = — (Оо — 2) и О = —,, ~Π— — )= — (Оо — 2) — — (19) 1 2 ьв 4 Лв~ Э 3) ЛВ 3ав ' Отсюда следует соотношение я (20) используя которое в формуле (17), получаем (О~+ Оо — 3) — 2Оэ (О~ — 3) — 2 (Оо — 2) (Оо — 3) = 0 (21) Упрощая, далее, это уравнение, приходим к выражению — О' — Оа+2ОеОо 4Оэ+4Оо — „—— О, или (Оо Оа) 4 (Оо — Оэ) + 9 О, 32 (22) откуда (Оо — О, — —,) (Оо — Оо — -) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
