Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Остается рассмотреть уравнение (110). Но решение этого уравнения представляет собой задачу иной степени трудности, н потому мы займемся им ниже. $70. ЗАКОН ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ АТМОСФЕРОЙ ПРИ РЕЛЕЕВСКОМ РАССЕЯНИИ Так как матрица Ррэ (р, р') (см. соотн, (108)! приводима по отношению к 17, то ясно, что соотношение (110) представляет собой лишь систему уравнений для не зависящих от азимута членов /! (т, р) 272 )'лава Х. Ре<ееесссое рассеяние в ансмоссрсрах яланео< н Ус' (т, >с) в разложении Фурье по (йо — э) функции с<(т, йо со) н <о> у, (т Р, , ).
Поэтому с<> н 1<с> удобно рассматривать как составляющие дву- <о> <о> мерного вектора 1 <о> н записывать уравнение (1 1 О) в виде ,<><о> <, и ' ' =1Ь> (т, й) — — ~ Л(а, >с~)1<о> (т а~) <си~— -< 3 — > б е (йо >со) Ре- <о, (129) где Р=(г< с ) (130) 2 (1 — >о)(1 — <")+ро ' >о'> 1(> р') = „' Р (131) 9 1 1<о> (О, й) =/ = — 8<о> (р, >со)( <) (132) =~ <<о>(0 )) 16>с, ' о <,р), мы можем, по аналогии с уравнением (28), гл.
П>, 9 30, получить интегральное уравнение для 8<о>, заменнв р (>с, в; >с', м') н 5(>с, чо; >с', а) на ЗЛ(<с, >с)/4 н 38<о>(>с, >с)<4 соответственно..Так как 8'о> н Л не зависят от азимута, интегрирование по м может быть выполнено. Результирующее уравнение запишется в более компактной форме, если использовать следующее обозначенне. Пусть „произведение" 1А, В] с двух матриц А(<с, >с') н Б(йа и') юпределяется формулой 1 3 с о (133) где под знаком интеграла произведение матриц понимается в обычном смысле. Введя это понятие „произведения" в уравненне,для 8<о>, В 9 68 мы уже рассмотрели однородную систему, связанную с уравнением (129).
Теперь мы можем завершить решение последнего, найдя частный интеграл. Из полученного таким образом выраження выходшцего нзлучення можно исключить пронзвольные постоянные. Прн этом, однако, приходится выполнять весьма запутанные преобразовання, вследствие чего интегральные уравнения, выведенные нз прннцнпов ннварнантностн, представляются более подходящими для предстоящих исследований. Представив отраженные интенсивности Дю(0, й) н сею(0, >с) через матрицу рассеяния 8< > (<с, <со) (с двумя строками н столбцами) в виде 6 70. Закон диффузноео отражения 273 получим (1 1) + ] я(оь — ь+ [я, 3(о)]+ [я(о), я]+ [[я(о) д] я(о)], [134) ,) Написав это уравнение в развернутом виде для различных элементов матрицы, находим, что матрица 8(О1 может быть представлена в виде [ —,.(- — )Виср,, о=( „)(,1',,' ь ь135ь где 1 3 б (р) = по + — ~ —, [р' Яьь [р., рр) + Я~„[р, р.')], о 3 ф [я) = 1 — ро+ — ~ — ', [1 — р' ) 5)ь [[ь, р.'), о ь(и' у [р) = 1 + — ~ — ', [р.'"Я, ь [р, ре) + З„„~ [р, р')] 1 ььрl .l о [136) ~ — + — ) Яь(ьь [р, р.
) = 2Н([р)Н((р.о) [1 — с(Р+Ро)+ РРо! ро) = чНь Ь) Н Ьо) Ь+ ро) ро) =чНеЮН(Ьо)Ь+ро), ( + — )Зьм Ь ро)=НеЫ Не[по)[1+сЬ+ро)+р(ео], [137) ро 70.1. Вид решения для $(о( []ь, [ь'). Подставив в [136) выражения 8]ь и т. д., соответствующие соотношению [135), получим систему (о) интегральных уравнений четвертого порядка относительно функций ф, ф, у и С. При решении этой системы мы будем, как и прежде, руководствоваться видом решений, полученных в и-м приближении при непосредственном рассмотрении уравнения переноса.
В настоящем случае мы предполагаем, что функции Яьь~ и т. д. (оь имеют следующий вид 274 Гласа Х. Релееесное рассеяние е атлгосферал планет где г7 и с — постоянные, а Н, и ̈́— функции, выраженные через характеристические функции гуг(9) = — (1 — [ге) и гс"с(р) = — (1 — ре) '). 3 3 4 Д Нг(9) (1 — ра) агй = 4 (ао — ов) —.— 1, 3 с 3 о (139) 3 с — ) Н,(9) (1 — иа) гУи = 1— ! 8 ''' ' )г2 о (140) "о = 1+ — (ао — аг)~ Ао = 1+ — (Ао — Аг), (141) 3 е е 3 г (1 — '))г '[') Ь'= '() '+(а,— р о), о ' — ИНг Ь) 4 1 я) Г ™с[гР ) ! с Ис(гс) ! +( ! ! ) ,)И+и Р= 3 р о~ о — Инс (И) (142) (143) где а„и А„соответственно обозначают моменты порядка л функций Нг([г) и Нс(9). Рассматривая сначала ф(9), получаем 'т ([г) = 1 — иа+ 4 [гНг ([г)), (1 — и' )НгЬ ) [1 — сЬ+ !" ) +!с[с [= о г) Сггапгггаееггггаг 8., Аеггорггуе. 2., 105 [1947), !5! [соотн.
(65)[. 70.2. Вывод решения и выражение постоянных гу и с через моменты функций Нг([ь) и Н„(р). Чтобы проверить, имеет ли решение Вгог вид (137), вычислим прежде всего гг7, 74 и т. д. по формулам (136) и (137), затем потребуем, чтобы в результате подстановки вычисленных значений гг7, ф и т. д. в соотношение (135) восстановился предполагаемый вид решения, и, наконец, покажем, что удовлетворяются все необходимые соотношения.
Вычисление гг7, ф, у и ч по формулам (136) и (137) выполняется непосредственно, если соответствующим образом использовать интегральные свойства Н-функций. Функции, выраженные через характеристические функции (138), удовлетворяют следуюшим условиям [гл. 17, теорема 1, соотн. (7) н теорема 3, соотн. (27) — (29)[: З 70. Закон диффузззого овразкснил 3 з 1 —,зз1 — 1 — аз+ — иНз(р) ( сзи (1 — рр ) Нз(р. ) ~!з. — с+ 4 ' з+из о = 1 — рз+ р (>! — с) Н, (и) + (1 — !нв) (Н! (9) — 1(; (144) Обращаясь, далее, к сумме ф + ф, имеем (см. соотн. (136) и (137)) ! ф (р) + ф (<з) = 1 + — „) —,; ( Лп ( з., о.
) -(- Зз, (р, р ) ( = 3 Гдрз <о>, .<о> о ! зта' = 1 + — иН! (!з) ~ ' —, (2Н! (р') ( 1 — с (р. + рр) + <зр' ( + о + з(Нн(р ) (р+!!')(= 1+ — „дрН,(р) Ао <- ! 3 + — р Н! (о) ) <1>з'Н! «з') ( р — с + — — ' ~ =. 1 + — до Н> (и) Ао -(- ! > 4 9(р с)Н>(!)ао+ —,1 9(1 — 9)Н<(9) ) - -„.'1 —,' —. (146) о Применив в качестве последнего шага этого преобразования формулу (142), найдем, что Ф(р)+ф(р) = Нз(и)+рН>(р) >1 — дАо+ — (" аос)].
(147) ГЗ 3 Согласно (145) и (147), можно теперь написать ф (и) = д'иН< «з.) з (148) где 3 3 д = — д 4о+ — (а! — аос) -!- с. 8 4 (149) Для функции ". (9) получаем выражение ! г (р) = — — гуиНн (р.) ~ Нз (р~) (1 — р. ) з(р, о откуда, используя (139), находим 5 (9) = —, диН„(р). (150) (151) в этих преобразованиях мы использовали интегралыюе уравнение для функции Н,(р) и условие (139). Следовательно, (з(р) = Н>(р)(1 — ср). (145) 276 Глава Х.
Релеевсное рлсселние в атмосферах иллнет Наконец, рассматривая ь([в)+у((в), получаем 1 е Г )+ ) 1+ 3 ~'Ф Я((>( ')+, (М(ро е)1 = о 1 =1+8 РН,(Р) 1 Ф',!ЧН,Ь'НР+р)+Н,И(1+.Ь+Р)+РР')!аа о 1+ — е7[вН„([в) ао+ — р (9+с) Не(9) Ао+ 3 3 1 Н(') + — ' (1 — Я)Н () ~ """'« о (152) 3 3 1 с'= — Чав+ 8 (Аг+ 4ос) — — Ч. 8 (154) Подставляя теперь выражения (145), (148), (151) и (153) в соотношение (135) и сравнивая полученные выражения для Ягв) и т. д. (о) с предполагаемыми, мы видим, что должны выполняться равенства 9= 9', с=с' н За=2(1 — со).
(155) Согласно (149), (154) и (155), мы должны иметь (ЗАо — 8) д 2 (3"о 4) с+ 6а, = О, (Зао 4) д + (ЗАо 8) с+ ЗАг — — О. (» Решив эти уравнения, получим ав (ЗАо 8) + Ав (Зао 4) д= — 6 (ЗАо 8)в+ 2 (Зао — 4)в с= 3 2ав (Зао 4) Ав (ЗАо 8) + (ЗАо 8)в+ 2 (Зао 4)а (157) Остается доказать, что д и с, определенные по формулам (157), совместимы с остающимся условием 9о = 2 (1 — со).
(158) Для этого вычислим 2(1 — со) — 9в по формулам (157); получим ° [(ЗА — 8) — 9А~) — 2 [9~~ — (За — 4)в) (1 — с ) Ч~ — 2 + 2 — 4 . (159). Применяя соотношения (143) и (151), получаем после некоторых преобразований )(([в) = Н„([в) (1 + с'9), (153) 6 70. Закон диффузного отражения С другой стороны, использовав (141), найдем (ЗАо 8) 9Аг = 9(Ае — Ас) 48 Ао+64 = 16 9а,— (Зао 4) =9(ас — оо)+24ао 16=8. (160) на основании которого выражениям для о н с можно придать вид 2 4 (А! + 2ссс) — 3 (Аеас + аоАс) 3 (Ае + 2а2) 8(А! сс!)+3(2асао — АсАо) с 3(А +2сс~) (162) 70.3. Закон диффузного отражения.
Соединяя результаты предыдущих параграфов с решениями, полученными в 9 69 для зависящих от азимута членов, мы можем написать закон диффузного отражения в виде Р, 1(0 !с е) = уе = — „(18(!с 'о' ро йо) Рг (163) 1 и Ри г) Укажем, что полученные в этом параграфе выражения для с7 и с совпадают с приведенными в и. 68,6 [соотн.
(99)[. Легко проверить. что, все Условия, налагаемые на с7 и е в п. 68.6 [соотн, (95), (91) и (98)[, выполняются. Мы уже видели, что выполняется первое из этик условий, а именно, что с)э=2(1 — ее). Рассматривая условие (97), находим, определяя суа!+Аэ+сА, в соответствии с срормулами (162), что 8 с)а! + Ат+ сА! — — — + (Ат — Ае). 3 Послелнее равенство при учете формулы (140) дает искомое соотношение. Условие (98) может быть установлено аналогичным путем, если использовать соотношения 1 3 3 Нг (1) 4 (а,— а ) и = !+ — (А! 77„(!) 8 "вторые будут непосредственно вытекать из (!42) и (143), если положить Вс = 1 Вследствие этого правая сторона равенства (159) обращается в нуль, а ст н с оказываются связанными между собой должным образом. Ка этом завершается проверка.
Заметим, что попутно мы дока- вали соотношение (ЗАо — 8) + 2(Зае 4)а= 9(Аэс-~-2аэ) (161) 278 Глава Х. Релеееское рассеяние в атмосферах планет где ф(й) 2'>ф(1») О ф(>»о) у (>»о) О 4 >((р) 2' '~(!») О 2" Ф(1»о) 2'>~(™о) О + ΠΠΠΠΠΠ— 4рро соз (ро о) О 2и яп (еро Ч~) +— О О О Х 2йо яп (ро — р) О соз (сро — р) ф(у) = 81»Н>(1»)1 Ф(>») = Н,(р)(1 — со.), А (!») = Н„(р.) (1 + ср); ~ (!») = — гу>»Не (р.), 1 (165) а Н>(!»), Н,(1»), Н! >(р) и Н! >(р) выражаются через характеристические функции 3 4 (1 — ря), 8 (1 — !»~), — (1 — ре) (1+ 2йя) и — (1+ йя) (166) 3 3 3 соответственно.
Постоянные а и с связаны с моментами аа и Аа функций Н, и Не формулами 2 4 (А» + 2а~) — 3 (Ао" ~ + аоА) 3(А,'+2ие) с— 8 (А» — а») + 3 (2а»ао — А>Ао) 3 (А» + 2ее) (»67) В случае, когда падающий луч частично эллиптически поляризован, кроме 11, У„и У, мы должны рассмотреть также параметр Ъ'. Последний, однако, изменяется при рассеянии независимо от других, и закон отражения выражается для него в виде (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
