Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(191)! 1*(0, 12 12)= — ~(йч о; 1со, ие)+1е71Ь) (193) Изотропное поле излучения Хе, падающее на поверхность к=-.„ в свою очередь отражается атмосферой, вследствие чего интенсивность „неба" в направлении ( — 12, са) возрастает на величину 1 2а 1, вд( — 12) = — ~ ~ 5(р,, 22; ис, 91)1 йр,сй121, о о или (см.
соотн. (189)) (194) Сложив последнюю величину с внтенсивностью У(т„— 12, э).падающего потока пр, диффузно пропущенного в направлении ( — и, 9), получим 1е(т„— 9, т) = 4 Т(12, К йо> 1ге)+уд — „. (195) еЬ) Остается определить У. С этой целью используем условие я1 =- восходящему нормальному потоссу = е= = Ае 1( нисходящий нормальный поток. (196) Поток излучения, направленный вниз при т = т„ состоит иэ трех частей: во-первых, из ослабленного падающего потока яи ре ""' 'на 1 ность выходящего излучения 1е (О, 9, э), мы замечаем, что она должна быть равна сумме интенсивности У(0, 11, о) излучения, диффузно отраженного в направлении (р, е) при отсутствии дна, и интенсивности пропущенного атмосферой (также в условиях типичной задачи) излучения Уе(0 (р' (1, 0(1р' (2я), падающего на поверхность т=",, Таким образом, 292 Глава Х.
Рвлеевское рассеяное в атиосЯерак планет 1 вв Я Ь у! [во~ ~ро) [в с[«сй~ = яРв(9о)1 (206) о о то из соотношения (203) при т=0 следует, что 8Ь) = «в[1 71Ь)! Отсюда получаем в в = 1 — 2 [ 97, (9) с[9. о (207) (203) 72.2. Примеры применения формул п. 72.1.
В качестве иллюстрации к формулам п. 72.1 рассмотрим различные случаи рассеяния, для которых решена типичная задача. 1. Озотропное рассеяние при альбедо йо(1. В этом случае функции рассеяния и пропускания имеют вид [гл. «Х, соотн. (4) и (6)! бЬ [о)= о ' [ХЬ)ЛЬо) — «'Ы«"Ьо)[1 в+ но Т(«ч ро)=йо„~~~ [«'(р)Х(ро) — ХЬ) в'(ро)[, (209) где Х н у выражены через характеристическую функцию йо['2. Из соотношений (9) н (10) гл. У[П следует, что 1 8 Ь) = 2 ) Я 9~ 9 ) с[9 = — 9 [1 — [(1 — ло) ХЫ+Уоу(~в)) ! о и 1 1(9)= —,' ~ т(9, !") '!"= о = р.! — е '"в+уоХ(~)+(1 — ко) «Ь)!.
(91 0) в соответствии с соотношением (203) восходящий нормальный поток диффузного излучения при т = т, равен яР(т ) =яроР[е '~ — Тв Ьо)! (204) Сравним последнее выражение с формулой (197), имея прн этом в виду, что последняя [в противоположность формуле (204)! относит поток к внутренней нормали; получим — 1Ьо)=9о[е "' — Т Ы! (205) что совпадает с прежним определением величины Т, [см. соотн. (191)[. Так как поток диффузно отраженного света равен 293 й 72.
Основная задача теории рассеяния Напомним, что [см. гл. ЧШ, соотн. (7)) 1 1 хо = йово " уо = взоре 2 2 (211) Постоянные о, н р, определены в гл. 1Х формулой (123). 3. Консервативный случай ивотронного рассеяния. В этом слу- чае совпадение 7, с постоянной интеграла потока позволяет написать [см. гл. 1Х, соотй. (39) и (43)) 7 ()с) = — — Я(а + Дд) [Х(и)+ 1 (и)], следовательно, з (и) = и [1 + — чс (а + 8 ) (Х[)з) + У (р.))~ в=1+Фа,+3,)а. (215) 4. Рассеяние с угловой фунннией Релея. Так как в этом случае 7, снова можно отождествить с постоянной в интеграле потока [см.
гл. )Х, соотн. (104)], имеем Тз ()з) = — [(с, + св) (а, + )чз) — (ав — рг)) [Х()с) + У(и)), (216) где сд и св — постоянные, определенные в гл. 1Х формулами (107 и (108). Далее, имеем в (Р) = )з [1 — Тз (9)]; з = 1 — )б [(сз+ со) (аз+ ясг)— (ая сг)! (аз + гз)' (217) где ао и ро обозначают моменты нулевого порядка функций Х()н) и у()г).
Из равенств (210) и (211) следует, что в ()с) = )з [1 — 2 ( (2 — "'о" о) Х ()с) + йороУ ()с) Я 1 ! Тг ® 2 чзогоХ(9)+ 2 (2 — отоао) г ()с), з = 1 — ((2 — оооо) аз+ йо1о1г) (212) 2.Рассеяние с угловой фунгсцией во(1+хсоз8). Согласно урав- нениям (109), (112) и (115) гл. 1Х, имеем в ()з) = и — ф ()з) = и [1 — (о Х(и) + рг ) (и)) ], 7 (9) = " (р,),'и = р Х(и) + о У (и), з = 1 — 2 (о,а, + рзрз). 291 Глава Х. Релеевекое уаеееянае в атмосферах планет 72.3.
Приведение к типичной задаче в случае рассеяния с угловой матрицей. Как и в п. 72.1, задача снова разделяется на две части: 1) определение неполяризованной и одноролной в верхней полусфере интенсивностл У на нижней границе и 2) вычисление влияния этой интенсивности на излучение !(О, <в, р) и !(т„ — <в, е) при т = 0 и -. = -.„, которое имело бы место, если бы дно отсутствовало. Так как излучение, приходящее и т = — т, снизу, не поляризовано и изотропно, достаточно, очевидно, рассмотреть не зависящие от азимута части матриц рассеяния и пропускания, относящиеся к 7< н Т,, С помощью этих субматриц второго порядка, з<', $~~ и з! Т'~ не зависящие от азимута члены 7< (О, <о), 7„(0, р), У< (т„— р) и <о1 <о1 <о< у<~<(тн — <ь) отраженной и пропущенной интенсивностей для типичной задачи, могут быть представлены в виде [соотн.
(173)1 (2 1 8) Введем величины о (р) ~ (Уо1 (н' <о) + 5<о) (<в' <е)1 а<а' о З У о> ° + „„,„° о 1 (б<о<(р „)+до<(р 1)),г о < ~'(с<о!(р 1,~)+ с<о!(,„„.)!,1,„, о У< (в) = — ~ (Т<о<(<ве <ь)+ Т<о)(ме <в))<!не = о /7<<О(О, !<о> (О ) ~~() (О и 7 <о1 !'"( — р) = ~ ~« (< Те (тм <о1 р)~ З (4~Ь, ро) ЫЬ, <во)~(Р<~ р)! ' ~~ы(р, ро) бее(<в, ро)/'<Ре/ 1бн ) <о) <о1 — р)~ б (Тй"(р, ро) Тиг Ь ро)~~Р<~ — р) ' <е< (<еэ <во) Тее Ь~ <ьо) Ре ( !бй <1 <о> <о> = — ') (Т3'Ь, р')+ ТВ'(рн р')) <!9', о 9 72. Основная задача теории рассеяния г 1 (,.) = ~ ~ (Т(е (е, 1.) + Т1о) (1",, )) ср = о 1 = ~ ~ [Т1о1Ь а')+Т1о1Ь ')1И ' о 1 Ь) 1)0(р) = — '+е-ч»'о; ~<н(9)= — "+е "о, е (219) где вторые формы выражения величин гс(9) и т.
д. вытекают из принципа инвариантности (гл. Ы1, $52). Рассматривая сначала влияние излучения дна на интенсивности 1(0, 1с, о) и! (т„— 1», р), которыми обладало бы излучение при отсутствии дна, мы замечаем, что неполяризованную интенсивность Т можно заменить двумя независимыми плоско-поляризованными составляющими, имеющими равные интенсивности Тс/2 в состояниях поляризации, обозначаемых индексами'1 и г. Часть этого поля (Та~2, Та12, О, О), пропущенная во всех восходящих направлениях на уровйе ч„увеличивает уходящую интенсивность в направлении и и в состоянии поляризации 1 на величину (см.
соотн. 219 ( )1 г яе 2 а 2'ае "'+4 д д т(р, „1"', ~') 1Т Ф',И'= о о 2 0 1 = — Т е чП'+-а — ~ (Т~о>(р. 1с')+ Т<о>(9, р'')]41'= о (22 9 Аналогично, приращение уходящей интенсивности в направлении р в состоянии поляризации г равно 1 з'.1П1 Ь) (221) Очевидно, что излучение дна ввиду его изотропностн и неполяри- зованности не окажет влияния на параметры Стокса у и у. Можно, таким образом, напнсать гс(0~ р~ 9)=ге(0~ Г'~ со)+ 2 сс'11 Ь)~ 1„(0, р, о) =Т„(0, р, ~>)+ — Т 10 (1с), 1Т*(0, 1с, о) =(Т(0, р, ср) н Уо (О, 1с, р) = У(0, р, р), (222) 296 Глава Х. Релеевское рассеяние в атмосферах планет Далее, излучение 1 (О (й' (1 и О (ф'(2п), падающее на поверхность вм будет отражаться атмосферой по обычному закону диффузного отражения и будет увеличивать интенсивность в направлении ( — й) и в состоянии поляризации 1 на величину 1 1 2 в 1м7'( — р)= — ~ ~8(й, я а', и') 11 Ф'аьу'= О 1 = — 1 — ~ [511ос1 (1в, йс) + Яо1 (й, р')) 41в~ = — 1 с 1 .
(223) о Лналогично, увеличение интенсивности в направлении ( — р) и в состоянии поляризации г за счет отражения излучения, идущего от дна, будет равно 1мвв1( — р) = — 1„ в' ' — . (224) В результате получим 1с(тм — 1с, со)=1с(т1 — й т)+ 2 1в 1 вс (и) 1е(с„— р,, е) =1„(т„— о,, со) + — 1 2 в И (225) на остальные параметры Стокса присутствие дна не влияет. Обращаясь теперь к определению 1, мы снова используем условие (196) для потока, которое, несомненно, сохраняет свое значение. Восходящий нормальный поток попрежнему равен п1. Нисходящий нормальный поток состоит теперь из нескольких частей.
Рассматривая сначала ту часть нисходящего нормального потока на уровне т„которая пропорциональна падающему потоку пРм мы видим, что ее можно разделить на ослабленный падающий поток (на единицу площади основания) пйоР,е-' ач, затем поток в в ~" — Тп(оч р' йо 1оо) р'сй 29 сКо = пГи и )" Тп (й ро) 21" в3 о о излучения в состоянии, поляризации 1 и поток г иР1 6 ~ Тес (Рв 1вв)4 1в о иалучения в состоянии поляризации г, образующие общий пото» $ 12, Основная задача теории рассеяния ! 3 Г (э о я~ьоРг(е . к+3 — 1 (Тп (й, ро)+ Твз(й, Ро)] ай 8ио ) о =якорю е ч~'"+ —,~ =амерзал (йо). О (но)1 а) (226) Подобным же образом нисходящий нормальный поток иа уровне ч„ который пропорционален падающему потоку кГ„, равен (227) Наконец, часть нисходящего нормального потока на уровне т, возникает за счет отражения атмосферой излучения дна.
Это отражение дает (см. соотн. (223) и (224)1 з г 2к1 Т('7')( — )+11"Г')( — )1 лье=ну ~ 1е ( )+ ( )1 Ь. (223) о о Обозначив з= ~ (з,(р)+з„(9)1 Ий, о получим я1 е. Полный нисходящий поток равен, таким образом, (229) (23О) я (РоРйг '(йо) + ро"'Т.П Ьо) + Таз)' (231) Подставив это выражение для / в (222) и (223), мы замечаем, что влияние дна может быть описано матрицами (1$О(~в) 1ДП(а ) 1~ЗП(р) ~Р(ОО) ОЧ~ Г(р Ро)=~ ~ ЫТг (йо) 1 (9)1 (йо) О) (233) О О О '(') твп(р ) О в,(а) о> — 1, (йо) Р О О Ъ (Ро) О (234) ЛЬ |о)= после умножения на Ло это выражение должно дать оу .
Отсюда за= Ло(йогзз"1г (йо)+рог Ъ (йо)+вез1 или уе=- —" — йо(Р'й''( )+РЯ( о)1. (232) е 298 Глава Х. Релеевсное расселние в атмосферах планет Отсюда получаем [о(9, р, р) = — „Ь(р, 9; ро, оо)+ — '-=', роГ(9* ро)~Р и (235) о1 Гг(т) = 2 ~ [Ус„(т, Р)+1„„(-., Р)] Р.с(Р, =-Р,огг [в 'Л' — 7',Н(Ро)], (238) -1 где (Уп+ Уг,) и (1„+ Усе) — полные интенсивности диффузного поля излучения, пропорциональные соответственно Р, и Рг. Сравним выражения (237) и (238) с выражениями (226) и (227), имея цри этом в виду, что (237) и (238) [в противоположность соотношениям (226) н (227)] относятся к потокам, измеряемым в направлении внешней нормали, и не содержат ослабленных падающих потоков.
Это сравнение позволит отождествить входящие в выражения интегралов потока величины 7 с ранее определенными 7 [см. соотн. (219)]. В консервативных случаях имеют место еще соотношения (которые также вытекают из интегралов патока) сс(р)=р[1 — тсю (р)! е (р)=9[1--тги(р)1 (239) ') Кроме того, эта задача допускает также даа К-ннтеграла Кт(т)= — роРг( — рое '" — 1~~от+тР), К„(т) = — Роге( — Р.ое П "— т'с~)с+ т~ )). 4 ( г 1 ~) 4о [ ] ( 1 ро о)+ . р ОЛ( ] о)1 .
) 1 — >оз В консервативных случаях величины т совпадают с постоянными (являющимися функциями от ро), которые входят в выражение интеграла потока. В разбираемом примере существуют (формально) два интеграла потока в соответствии с тем фактом, что Г, и Г„можно определить независимо друг от друга. В самом деле, исходя, например, из уравнения переноса (129), можно показать, что наша задача допускает интегралы ') в! Р~(т)=2 ~ [угс (т, р)+!Ц(т, р)]ив[и=р. Рс[е-Нш — 1(г)(ро)] (237) -1 Е 77. Инпсенеаеноепсь и поаяриза с:ся излучения непа 299 72.4.
Выражения лля Тс (Р), Т,"(Р), з,(р,), з„(Р) и г в случае релеевского Рассеяния. С полгощью выражений для $(ос и Тсог, полученных в 9 71 (соотн. (177) и (178)], можно вычислить различные интегралы, входящие в определение г,(Р), з„(р) н т. д. Получим ') с с (р) = — -8- () (пя — нг) (асо — «с) (Хс (р ) + ] с (р)1 (240) и 7"'(р) = — Ю((о — (я) ](ссс — и,) ]Хе(р) --, 'У„(р)!— — ссор. ! Хе (р) — уе (р! ! ], (241) где постоянным придается тот же смысл, что н в 9 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
