Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 49
Текст из файла (страница 49)
соотн. (19) — (22)ф -)- 1 ОР 1) Р— =! — — ) 1 129+9 ) 8„сЬ— с(7 (2) 1 (2) ~ в -1 о о 21 (Π— — 1(35) о 0 О,! 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 — 0,086 — 0,072 — 0,060 — 0,052 — 0,046 — 0,041 — 0,036 — 0,033 — 0,030 — 0,027 — 0,024 — 0,020 — 0,016 — 0,0! 4 — 0,011 — 0,010 — 0,11 — 0,098 — 0,088 — 0,080 — 0,074 — 0,068 — 0,0 63 — 0,058 — 0,054 — 0,050 — 0,046 — 0,040 — 0,034 — 0,029 — 0,026 — 0,022 — 0,044 — 0,046 — 0,047 — 0,048 — 0,0485 — 0,048 — 0,046 — 0,045 — 0,043 — 0,041 — 0,040 — 0,036 — 0,033 — 0,030 — 0,028 — 0,025 + 0,024 + 0,015 + 0,007 + 0,001 — 0,005 — 0,008 — 0,010 — 0,013 — 0,015 — 0,0!6 — 0,017 — 0,018 — 0,0185 — 0,0185 — 0,018 — 0,017 + 0,0585 + 0,0523 + 0,046? + 0,0417 + 0,0367 + 0,0327 + 0,0295 + 0,0264 + 0,02 40 + 0,02!5 + 0,0193 + 0,0152 + 0,0121 + 0,0095 + 0,0075 + 0,00 60 + 0,0323 + 0,0311 + 0,0302 + 0,0293 + 0,0281 + 0,0270 + 0,02 60 + 0,0250 + 0,0242 + 0,02 33 + 0,0222 + 0,0202 + 0,0!86 + 0,0170 + 0,0156 + 0,0142 + 0,0120 + 0,0124 + 0,0128 + 0,0130 + 0,0131 + 0,0132 + 0,0133 + 0,01 33 + 0,0132 + 0,0132 + 0,0131 + 0,0128 + 0,0!24 + 0,01 20 + 0,0116 + 0,0112 + 0,0039 + 0,0044 + 0,0048 + 0,00465 + 0,00490 + 0,005!0 + 0,00530 + 0,00544 + 0,00558 + 0,00573 + 0,00583 + 0,00598 + 0,006! 0 + 0,00617 + 0,0062 + 0,0062 З 79.
Распределение температуры е атмосфере 315 решая это уравнение методом последовательных приближений, мы заменяем его в и-м приближении системой из 2л линейных уравнений о о (('= -1, ..., )-и), (36) где обозначения имеют свой обычный смысл. Систему уравнений (36) проще всего решить метадон вариации произвольных постоянных. Так как соответствующая однородная система (36) совпадает с изученной в гл. Ш, 9 26, мы будем искать решение в виде [см. гл. Ш, соотн. (14)) в — ) (о) — Ве 7(~ = — Г( ) +Я(-)(т)+т+)с(~ (с= '-1...,, -)-а), (37) «= во) где Е„о (а = -1, ..., -л:,1) и Я нужно рассматривать как функции т. Следует заметить, что, придав Решению форму (37), мы рассматриваем как переменные толы(о 2а — 1 из 2н постоянных интегрирования, содержащихся в общем решении однородной системы, соответствующей уравнениям (36).
Это допустимо, так как уравнение (36) обладает интегралом потока 2 ~ а((о(7(У) = сопз1, (38) который должен быть равен заданному числу Р'. Средняя интенсивность У =1/2 ~~атс, соответствующая реше- (о) ж~ (2) нию (37), равна [см. гл. Ш, соотн. (26) и (43)[ в — ) е'~)= — Г~т+(;)(е)(т)+ ~~~ ь()(с)е ~о'). (39) е= — от с Подставив теперь значения 7)(о) (37) в уравнение (36), получим (2), следующую систему уравнений для определения ь() и (~(): в-о -ь,~ (о) (е) а=-во! 1 у((г) =р, ~ 3„— „"' «Е» — — ~ 3, '5'а)(од «д<Х~ (1= )-1, ..., -)-t).
(40) о о Из 2п уравнений (40) только 2н — 1 линейно независимы, так как УРавнение, которое можно получить из (40) умножением на и( и суммированием по всем с, удовлетворяется тождественно в силу со' отношения (27) гл. Ш. 316 Глава Хд Лучистое равновесие звездной атмосферы Порядок системы (40) можно, далее, понизить до 2л — 2 путем соответствующего выбора среднего коэффициента поглощения х. Умножив (40) на ас)сс и просуммировав по всем (, получим (см.
гл. 11, соотн. (35) и гл. П1, соотн. (27)1 йдР) " —, ио)в в (41) Поэтому, если мы потребуем, чтобы выполнялось равенс во с()О) у((с) 3., ~й (гс(сс — ' сЬ = 2 ) 3„—" аЬ = О, (42) то получим интеграл (,[(е) = сопз( = я0)+ 59, (43) где (,)(Π— значение постоянной в решении для серой атмосферы [соотн. (28)]. Так как [см. соотн. (15)[ й, (с) йч 4 (44) то условие (42) можно переписать в виде ~ 5„Р„(")йч=о. в (45) х ~ Р'„("сЬ =~ ХР("й, о о или х = †, [ х,Р„ (Ь. р.[ о (45) При таком выборе х имеем 8„=(х„— х)(х [см. соотн. (12)[, и при подстановке в формулу (45) левая часть последней, как и требовалось, обращается в нуль.
Я(е) теперь становится постоянной, и наши Чтобы удовлетворить этому условию, нужно определить средний коэффициент поглощения х (который до снх пор оставался неопределенным) следующим образом: Э 79. Распределение температуры в атмосфере 317 уравнения принимают вид н-С са«, «= — и+1 дгн) ,ц«) =р)Х' д' " — 23'„Е~адрд д",'«(е= 1, ..., =-и).
(47) Так как число неизвестных в системе (47) меньше числа уравнений, наиболее симметричным способом решения этой системы будет, повидимому, следующий. Умножив уравнение (47) на ае)с',."-)(т = 1, ..., 2п) н просуммировав по всем с, получим а= †« где „, д((')с 6т=- ~ 8„~ а;о)и — — "'«с7«, е (49) а 7)т и е, „„„„сохраняют те же значения, что н в гл. 1П (соотн. (18) и (20)). Из 2а уравнений (48) те, которые соответствуют т=1 и 2, удовлетворяются тождественно, потому что сл„су и 5 равны нулю.
Оставшихся 2п — 2 уравнений достаточно для определения Ь„з с точ- О) постыл до 2п — 2 постоянных интегрирования. Эти постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий (11). Из граничного условия нв бесконечности следует, что А(е)„(т)-+О т-+со, а= — 1, ..., и — 1, (50) так как с.(:)„имеют в решении (37) множители е+ «'. Условия (50) позволяют определить постоянные интегрирования в решениях Е:„(т) (а =1, ..., и — 1). Решениями(е)(т) (а =1, ..., и — 1) также содержат неопределенные постоянные.
Поэтому, положив Е~')(т)=1.(')+ЬЕ„(т) (а=1, ..., и — 1), (51) где с-« — значение постоянной в решении аля серой атмосферы 1соотн. О) (28)), определим ос.,(0) из условий при т = О. Так, мы получим (см, соотн. (37)1 и-1 (е) (0) Х '-„' „), (ее) 1 — )е)а« 1+ рта» «=1 318 г"лава Х!. Лучисщов равновесие звездной аигв(оеферм С другой стороны, 7.„' (а = 1, ..., и — 1) и (,"г', будучи постоян(ц н) ными в решении для серой атмосферы, удовлетворяют уравнению (29). Уравнение (52) приводится поэтому к следующему: и — 1 гг — 1 (1) ««1 «=1 79.1. Решение н приближении (2.1).
Если уравнение переноса (35) решено в первом приближении, то не приходится определять величины 7. н (см. соотн, 53) ЬО = — О. (55) Таким образом, в этом приближении [см, соотн. (30) и (54)) имеем ( ) (ц 3 . , (ц 4 (56) (57) Принятые нами граничные условия дают ()~ ) =1('$13 (см. гл. !Ц, табл. У(11), однако в первом приближении лучше положить ф) = 2)3, так, чтобы выполнялось равенство' ) ()=- (т+3)+-1,— о (58) Если теперь 3, не ззвисит от т, то (59) ') Хотя значение (,)(') = 2(3 не дает точной величины граничной температуры, тем не менее стоит использовать это значение, так как ово позволяет получить закон потемнения (именно, l(0, )г) = (3(4) р (и+ 2(3), удовлетворяющий условию потока прн « = О. Такой аргумент приводил Милн в п))льву выбора этого значения (3(ц. Эти уравнения позволяют до конца определить решения. Если 1.(") представлены в виде (51), то выражение (39) для средней интенсивности принимает вид гь-1 « — 1 ,у(э) =20)+ 3 Р) (щ+ '5~~Ь).,(т) е ~:+ ~„Ь(э)е'" ' (.
(54) «=1 «=1 9 79. распределение темаературы е атмосфере 319 и распределения температур в серой и несерой атмосферах в этом приближении совпадают. Это совпадение непосредственно вытекает из способа определения к, преимущество которого становится, таким образом, очевидным. (е) = [г35[3 = 1,97203, и ре(пенне для Ун) принииает вид [см. гл. Ш, табл. ЧШ[ й()) = — Р(т+ 0,6940 — 0,1167е-"'). 4 (61) Уравнения для определения Ес и Е, можно получить из урав(в) (2) пения (48), если положить т= 3 и 4 и использовать соотношения [см. гл. 111, соотн. (28) и (29)] с)в А) = — Вв ( — )е)) = — )е)Е)4 (а)) = се)сис ( )е() = 3) ' (62) 1 Будем иметь 2(с) с(с ' ас )= в 3 асЕ(М ПЕ(в) (63) Решив эти уравнения, найдем, что лЕ(2) Р— „-'= —.— -['3,— —,' 3, + й,д,) йы Проинтегрировав последние уравнения, получим [см.
соотн. (51)1 г Е( = г [Е, + дЕ) (О)[ + ~ е+ ь" (Гв — — 3) — сс)34) сс (й, с) о РЕ(е) =~ е-е'(дв 3 3)+й)3)с(((е)т (65) где при интегрировании уравнения для Е, мы использовали гранич- (и ное условие (50). 79.2. Решение в приближении (2.2). Прн решении уравнения переноса (35) во втором приближении существует лишь один характеристический корень (60) 320 Глава Х). Лучистое равновесие звездной атмосферы Остальные постоянные ЬЕ> (0) и Ь ф) можно теперь определить из уравнения (53).
Получим 57. (О)= " н>~'" "2~>) Л(О) (1 + н>й>) !! + Н«а>) + 4 е *') е-«. )82 — 3 31+)еА) ()212) (67) Подставив теперь значения зч>),ЬЕ>(0) н Ь<',) по формулам (6!) и (66) и численные значения постоянных, получим в результате В<2) = У)2>+ — 3, = — — Р(2+0,Г>940 — 0,1167е «')+ — 3)в 2 1 4 — 0,1664(2+0,230!е-«') ) е-«о(32 — — 8,+й>В,)а>()с>т) )- о + — е "" ) е+«л (8 — — 3,— >2>31))Е(>г>т)+ о +4 Х '12 3 1+ >2) (68) Для того чтобы практически использовать последнее решение в приближении (2,2), необходимо, кроме монохроматических потоков Р>') и их производных, протабулированных выше (табл.
ХХЧ1 и ХХЧП), знать величины ) > 1!1)1 + М61) у )у) „= з) )ав)«з — „"' ~ ~ — „" )22 с!)«(/ = 3,4), (69) -1 используемые при вычислении 82 и 3 . Эти „весовые функции" были вычислены Брин и автором' значения их приведены в табл. ХХУП1. 2 >2) 7. 1(О). (66) При Ь>~м и Е~ )1, выраженных по формулам (65), решение (54) для Р«) принимает внд 212> =Уп>+ — Р(ЬУ.,(0) е-«'+Щ)+ 1 + 4 е- " ~ е "'(32 — 3 31 — )2Ц а) ()212)+ о Таблица ХХЧ!П Весовые функции й~з „(з) и !ЧЯ „(з) а=2 а=3 а=4 Вз(.) ~ я(з) ~3(з) 1" 4 (з) йз (з) ) ~я (я) ~~з (Я) ( ~4 (Я) 0,0561 0,0561 0,0557 +0,0153 +0,0102 +0,00657 Т а б л и ц а ХХЧП1 (Продолжение) з=б а = 12 а=8 а=10 й з (з) ! )ря (') йз (з) ) й4 (~) йз (') (аз (з) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 — 0,0! 27 — 0,0127 — 0,0121 — 0,0114 — 0,0107 — 0,00986 — 0,00910 — 0,00838 — 0,00771 — 0,00709 — 0,00653 — 0,00554 — 0,00470 — 0,00400 — 0,00343 — 0,00294 0,0177 0,0158 0,0141 0,0127 0,0114 0,0103 0,00932 0,00843 0,00763 0,00690 0,00623 0,00503 0,00406 0,00321 0,00248 0,00187 0,0224 0,0212 0,0199 0,0! 87 0,0176 0,0166 0,0157 0,0148 0,0140 0,0133 0,0126 0,0114 0,0! 03 0,00960 0,00897 0,00833 0,0247 0,0264 0,0279 0,0292 0,0304 0,0315 0,0325 0,0334 0,0342 0,0349 0,0356 0,0367 0,0376 0,0383 0.0389 0,0393 — 0,01 26 — 0,0152 — 0,0162 — 0,0165 — 0,0162 — 0,0157 — 0,0150 — 0,0143 — 0,0135 — 0,0! 28 — 0,0121 — 0,0107 — 0,00945 — 0,00837 -0,00742 — 0,00657 0,00906 0,00889 0,00866 0,00841 0,0081 5 0,00789 0,00764 0,00737 0,007!! 0,00685 0,00659 0,00607 0,00559 0,00511 0,00466 0,00424 0,0487 0,0473 0,0457 0,0441 0,0425 0,0409 0,0393 0,0379 0,0365 0,0351 0,0339 0,0316 0,0296 0,0278 0,02 63 0,0249 0,00947 0,0104 0,0112 0,0121 0,0129 0,0137 0,0145 0,0153 0,0! 60 0,0! 67 0,01 74 0,0186 0,0198 0,0209 0,02! 8 0,0227 +0,00244 — 0,00259 — 0,00573 — 0,00771 — 0,00892 — 0,00962 — 0,00998 — 0,01015 — 0,01 016 — 0,01008 — 0,00991 — 0,00948 — 0,00889 — 0,0083! — 0,00774 — 0,007! 6 0,00344 0,00357 0,00367 0,00374 0,00379 0,00383 0,00385 0,00386 0,00386 0,00385 0,00382 0,00375 0,00367 0,00356 0,00343 0,00330 0,0550 0,0542 0,0532 0,0522 0,0512 0,0502 0,0492 0,0482 0,0463 0,0444 0,0427 0,0411 0,0396 0,003! 7 0,00352 0,00389 0,00426 0,00463 0,00501 0,00540 0,00578 0,0061 7 0,00656 0,00694 0,00770 0,00844 0,00916 0,00986 0,01054 +0,00387 +0,001 86 +0,000351 — 0,00080 — 0,00172 — 0,00243 — 0,00301 — 0,00346 — 0,004! 2 — 0,00446 — 0,00467 — 0,00476 — 0,00474 0,00113 0,00! 22 0,00130 0,00137 0,00143 0,001 49 0,00154 0,00159 0,00164 0,00167 0,00171 0,00! 76 0,00180 0,00182 0,00182 0,00! 82 0,0490 0,0503 0,0511 0,0516 0,0519 0,0520 0,0520 0,0519 0,0516 0,05!4 0,0511 0,0503 0,0494 0,0485 0,0476 ! 0,0466 0,000535 0,000652 0,000778 0,000911 0,00105 0,00120 0,00135 0,00151 0,00167 0,00! 83 0,00200 0,00235 0,00270 0,00307 0,00343 0,00380 Глава Хй Лучистое равновесие звездной атмосферы я 80.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
