Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 44
Текст из файла (страница 44)
о (176) Подставив в формулы (176) выражения (175) для 4~с' и т. д.. получим систему однородных уравнений восьмого порядке. При реше- Э 7А Закон диффузного очпрозкення и пропуекания нии этой системы мы, как и раньше, должны руководствоваться видом решений, полученных в п-м приближении при непосредственном решении уравнений переноса. Предположим поэтому '), что решения имеют вид [, + — ) Я~ч (р, и ) = 2 (Хч (р) Хг (рч) [1 + ч (и + и ) + ирч]— — «з (р) « ~(р~) [1 — че(9+ р~)+ рр'[— — ч (и -[- и') [Хз (и) У~ (и') + Уз (р) Хз (р ') ] ), ( —, + — ) З~ ««(и, и') = (р + р.') [ ч, [Х„(р ) Уз (в ) + «;.
(и) Хз (р') ]— ча [Хг(р)Х«(р )+ Уе(р) «з(р )]+ + 4 «(ч„— ч ) и [Х„(и) — «е(и)] [Х«(р')+ «з(и')[], ~ —, + —,) З,".„'(р, р) = Х„(р) Х„(р) [1 — и, (р+ р)+ на рр]— — «'г (и) «'„(и') [1 + и (и + рч) + аа рр'] + + из (р + [г) [Х, (р) «'„(и) + «; (и) Х„(р)] ] — (кчпа ии' ([г + й) [Хе (и) — К,, (р) [ [Х„(р.') — У„(р')] + +Кч(не — нз) (иэ [Х„(р) — Уе(и)][Х„(«г')+ У„(р')[+ + и'Я [Хе(и) + Уе(р)] [Хе(и') — «'„(р')]]; (177) —, — — ) Т]1 «(и, р,') = 2 ( Уг (р) Хз (р~) [1 — че (р. — р) — ир,'[— (,' — Х (р) Р (р') [1+" (р — р') — рр']+ +чв(и — р') [Хч(р) Хз(р')+ Уч(р) Уч(р')]) ( —, — — ) ТЩ~ (р., и') = (и — р.') (чг [Х~ (р) «'„(р') + Уг (р) Хе (р,')]— —., [х, (р) х„(р')+ у, (р) г„(р')]— (е(ча чз) р ]Хю(р)+ Ую(р)] [Х (р ) «(р~)]] ') См.
СЬапдгааеЬЬаг 8., АгкорЬуа. йи 106 (1947), 152 [соотн. (539) — (546)], ( + — ) З]е«(р, р~) = (и + р~) [ч [ Уз (и) Х. (вг) + Хз (р) «'е (р~)]— — ч, [Х«(р) Х,(р')+ «'«(р) ~;(р')[+ + 1 «(ч — ч ) из [Хз ([г) + «1 (и)! [Х, (р~) — У„(р~) ] ], 286 >лава Х. Рвлеевсное рассеяние в атмосферах планет ( —, — — ) Т)7 [и, р') = [и — и')» вв [Х [р) У> [и') + У„(р) Х [и') [— —, [Х„[р) Х>[р')+ у,[и) у>[и')[— — >> (оа — в>) и [Хс[Р) — У„[и)[ [Х> [и) + 1> [и) Ц, ( —,' — —,' "' —, — — » 7 ей [р, и') = >с [р) Хс [>ь') [1 + п [и — и') — и ри'[— — Х„(Р) )с„[Р') [1 — и, [и — Р') — ио Ри'[— — аа(й — р,') [Хе [[в) Х„(р)+ ус(и) у„[и)[+ + 4~ ав Ри'(Р— Р') [Х„(Р) — Ус[Р)[ [Х, [и) — У„[и )[— — >с [и, — иа)» р я [Х„(р) — Ус [и) [ [Хс (р ) + Ус [й) [— и е [Х„[р) + 1" [р)[ [Х, [р') — ге [и ) [», <178) где в„ов, ов, в„, ав, и, н С;> — постоянные, и =- 1 + 2 Я [ив — из), [179) Хс[р) и 1'„[р) выражаются через характеристическу>о функцию >Р„[р) = — ' [1 — иа), 3 8 [180) %>(и) =- (1 — иа), 3 обладающие тем свойством, что > 3 г 3 4» (1 — рв)Х>[р)Ф= 4 (ао — ав)=--1, о [ [1 — рв) У> [р) ар = ро ре = 0.
о [182) Проверить то, что решения для $>о> и Т<о> имеют именно такой же вид, можно тем же способом, что и во всех других случаях. Во-первых, вычисляем ф, ф и т. д. по формулам [176) при В<'> и Тф>, заданных соотношениями (177) и (178). Затем требуем, чтобы при подстановке полученных выражений для ф, ф и т. д. в формулы (175) получилась предполагаемая форма решения. Это требование приводит к различным условиям '), налагаемым на входящие в решение постоянные в„вв> ва, вв, иа, и и ф Выло показано, что всем этим условиям можно УдовлетвоРить н что можно выРазить шесть постоанных (о), оя, с) Было обнару>кено двенадцать таких условий.
а Х>[[в) и >'>[р) — основные реп~ения Х- н Г-уравнений для консервативного случая (181) 0 уд Закон диффузного отражения и лролускания 287 », и и иа) однозначно через (с и различные моменты а„, ~ю А„ и В„функций Хп Ус, Х„и )'„. Сама постоянная <',> остается произвольной. Мы получили, таким образом, еще один пример однопзраметрической природы решений интегральных уравнений, выражающих иивариантные соотношения задачи в консервативном случае. Как н в других исследованных случаях консервативного рассеяния (гл.
1)(, п, 62.2 и и 64), зта произвольность может быть устранена с помощью К-интеграла, существующего для втой задачи. В результате получим ') ф()а) = р[» Ус(>а) — »зХс(<а)]; Е(<а) = р [»з Ус(р) — » Хс(р)], ф (<а) = (1 +»<[а) Хс (р) — »а[а 1 с (<а); ») (и) = (1 — » [а) ) с (>а) +»зи Хс(и), у (р) = (1 — и и) Хг(и) + аз р У„(р) + О (и — из) рз [Хс(и) — )"с(р)], а(>а) =(1+пер) );.(р) — иарХ»(и) — <аг (и — а ) рд [Х (р) — Уе(]а)], ч(р) = — >а [» 1;.(>а) — » Х„(р)]+ — Я(» — » ) из [Х„(>а) — Уг([а)], 1 1 0(и) = — и [» Ус(и) — »,Хг(и)] — — <>(» — »,)[аз[Х»(и) — Уг(]а)], (183) 1 1 где постоянные»„»„»з, », из, и, и <~ вычисляются по формулам »л-><-»,=2йс(х,3,— х 8з); са — »,=28 (х,3,— х 8), »а+»з = Ьс (с схс с Охз), »а — чс — Ьз [с<8< — сойз — 2<а> (с(ойс <~<8л)]а ил+ аз = с)с (с<8< — со3а)1 и,— из — — Ья(а<<ха — <соха)' иг = с)з(соха с,хл), 1 1 — = сго8< — а',8з; — = сох< — с,ха — 2Я (сУ<хс — г(охз), (184) сс — сг (185) (с<с — с< ) »с+ 2(с<с — сгг) ' 8 8.
ао= 4о+Во — —, (о=Аз — Во — 3' 3' с„= Ао+ В„; с(л = Аи — В„; х„= а„+ Ц; 3„=- а„— йон (л=1, 2, 3....); (186) а„, [)„, А„и Ви — моменты порядка л функций Х„У<, Хе и У„ соответственно. Предыдущие решения для Я<с> и Тбб в соединении с решениями для 8<'>, ТР>, Яр>, Т<'>, Зт и Т~, полученными в 9 69 [соотн. (123) и (126)], в соответствии с соотношением (122) полностью определяют закон диффузного отражения н пропускания при релеевском рас- сеянии. с) Подробности вычислений, к сожалению, слишком громоздки, и здесь мы их приводить ие будем. [См.
С <с а и б газе К <с а г 8., Аз<гор>суз. 5., !07 (И48), 188, раза. У.] 288 Глава Х. Релеевекое раеееялав в авьаоефеаах планеш и Тв. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ И ПРИВЕДЕНИЕ ЕЕ РЕШЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ТИПИЧНОЙ ЗАДАЧИ О ДИФФУЗНОМ ОТРАЖЕНИИ И ПРОПУСКАНИИ Прн исследовании диффузного отражения и пропускания мы ограничивалнсь до сих пор типичной задачей, т. е. случаем, когда параллельный пучок падает на границу т = О плоско-параллельной атмосферы, а на границе т = т, отсутствует излучение, идущее снизу. Граничное условие 7(тп + Р, о) = О 10 ( Р ( 1), которым мы пользовались прн решении уравнения переноса, эквивалентно, очевидно, этому предположению об отсутствии излучения, приходящего к атмосфере снизу.
Однако в задаче об освещенности атмосфер планет Солнцем это последнее условие не выполняется. Атмосфера покоится на твердом основанвн, океане или слое облаков. Наличие основания на глубине т = т, будет изменять закон диффузного отражения; точно так же интенсивность, измеренная у основания, не будет подчиняться закону диффузного пропускания типичной задачи. Если основанием атмосферы служит плоская поверхность с известными отражательными свойствами, то решение этой более общей задачи может быть сведено к решению типичной аадачи. Формально не представляет труда выполнить это приведение для любого заданного закона отражения от основания. С другой стороны, практически трудно бывает точно сформулировать отражательные свойства основания в конкретных случаях.
Поэтому для многих целей достаточно считать основание поверхностью, отражающей по закону Ламберта 1см. гл. Ч1, З 47) с некоторым альбедо Аш т. е. предполагать, что свет, отраженный основанием, не поляризован и однороден во внешней полусфере независимо от степени поляризапии и углового распределения падающего света и что, далее, восходящий нормальный поток отраженного света всегда представляет собой некоторую часть 1 нисходящего нормального потока излучения, падающего на поверхность.
Основная задача теории освещенности планет и освещенности неба может теперь быть сформулирована следующим образом. Параллельный пучок света с полным потоком яР 1или яр, если принята во внимание поляризация) на единицу площади, перпендикулярной к направлению пучка, падает на границу плоско-параллельной атмосферы в некотором заданном направлении 1 в рш ~уо). Атмосфера имеет оптическую толщу т,. На уровне -., расположено „дно", отражающее по закону Ламберта с альбедо 1о. Требуется определить состояние поляризации и угловое распределение излучения, диффузно отраженного от поверхности т = О, а также определить освещенность и поляризацию „неба", наблюдаемого в точке т = т,.
Сформулированную задачу мы будем называть планетарной. 72.1. Приведение к типичной задаче в случае рассеяния с угловой функцией. Чтобы дать пример приведения планейарной 289 8 12. Основная задача теории рассеяния р Р у(0, $в, ~Р) = 4, 'з Ь~ оЛ йо уо) и У(ты — Ь су) = — Т(й, сЛ йо оо) (187) ПУсть Я~>(й, во) и Тка(йч ио) — не зависЯщие от азимУта члены Я и Т 1 г ~аз Ь Р ) = 2я ) ~Ь К йо 8 ) Ф о Т11(1с 1с ) Т(р, Ф р 90) сбро. 1 Г о Далее, пусть (188) (е") 2,) (Р1 1в)гсй = — ~ 51м(~ь' р,)Фа', о о г 1 г(й) — — ~ Т1о1(й р,')сГи = ~ Т1о>( о о 1 1 з=-2) з(Р)с1й; г — 2~ с(и)с1„ (189) (190) (191) Вторые формы выражений з(й) н 1(я) з соотношениях (189) вытекают нз принципа взаимности. Чтобы различать решения планетарной и типичной задач, мы будем все величины, относящиеся к первой, отмечать звездочкой.
Так как предполагается, что дно отражает по закону Ламберта, то очевидно, что прн ч = т, интенсивность будет одной и той же для всех восходящих направлений. Пусть Т обозначает эту интенсивность, постовннУю в веРхней полУсфеРе. '1счное значение Тя зависит, конечно, от условий задачи и должно быть определено из поСледннх; как только оно найдено, непосредственно определяются и~о,е,ч~,с и„— „,ч~. дн.
° ...,р. *р ° Чв 1 г„, *„„, „„„р„„,„„ф1„„в г. палачи к типичной, рассмотрим сначала случай рассеяния с углово» функцией. Рассеяние с угловой матрицей будет рассмотрено в п. 72.3. Пусть, как обычно, закон диффузного отражения и пропускания типичной задачи представлен череа функции рассеяния и пропускання в виде') 290 Рлаеа Х.
Релеееское рассеяние е атмосферах планет 1* (о, 9, р) = 7(о, 9, и)+ 1 2и + 4 ~ ~ т(р р ь ) 1 й и~ + 1ее (192) о е где последний член в правой части представляет интенсивность 1 излучения, пропущенного без рассеяния в направлении (9, 9). Согласно равенствам (187) †(189), мы можем придать выражению (192) следующий внд 1'(О й ~)=4 ~(9 4'р ие)+7,~ — '+е ь"~ или (см. соотн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
