Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Релееесное рассеяние е аснлгосферас яла еи~ повидимому, рассеяние на свободных электронах, эта поляризация обнаружится во время затмений при фазах, близких к первичному минимуму. Предварительные наблюдения Хилтнера '), повидимому, указывают на наличие этого эффекта, количественно равного вычисленному значению. $69. УПРОШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ЗАДАЧЕ О ДИФФУЗНОМ ОТРАЖЕНИИ И ПРОПУСКАНИИ Уравнение переноса, соответствующее задаче о диффузном отражении и пропускании при релеевском рассеянии, было выведено з гл. 1, п. 17.4, соотн.
(231). В настоящем параграфе мы приведем это векторное уравнение к более простой системе уравнений. Прежде всего, заметим, что так как угловая матрица [см. гл. 1, соотн. (220) †(224)[ приводима по отношению к последним строке и столбцу, изменения параметра Стокса 1с при рассеянии происходят независимо от изменения других параметров, а именно„ в соответствии с угловой функцией а(ясов(;1. Уравнение переноса для У имеет вид =1'(, р у)— л(с(, а, т) — — ) ~ [Р(с'+(1 — (ся)'л(1 — (с' ) 'сов(ср' — о)! 1с(т, Р', 0) фс' с(,"'— -ге — — Рт [ — про+(1 — (со)'(1 — р.') ьсоз(йо — сс)[е ""'. (101) 8 Придав Ъ' вид 8 ~ [ссо ('[)+ +(1 — р ) '(1 — Ро)'"[с(0(т, Р) соз(фо — 9)[, (Ы2) получим систему уравнений вида (01 (с а) р, ' 1/(О)(,, Р) ' ~',у~'-'1/(О)(т р,~)(,„~ е —.(е, — 1 и ЛУ(П(с Н) Р ~~ „( '")= [С(П(т, () — -~~ ~ (1 — Р'е) й(0(т, Р')с([с' — С " ", (103) -1 г) Ае!горйуа.
1и 106 (1947), 231. ф ой. Уяроазеяие ураеяеяия леуеяоеа Далее, рассматривая ен /„и а1 как составляющие трехмерного вектора 1, получим уравнение переноса еа е ='(' !' Р) — 4. ) ) Р(р 'р! р' р') ! ( !", рМ" !.'— -а о 1 — —,1 Р (!аа Р' — ро 'ро) Г е-зач (104) где Г=(Гн Г„, и), (105) а Р(!а, ар; р', ~р') обозначает матрицу, определенную в точности так же, 'иак и в гл, 1, соотн.
(220) — (224), но с вычеркнутыми последней строке!( и столбцом. Так, Р(р 'р! р', р') =- — !1(р1о)(!а !аа)+(1 „в)'а(1 „е)' Рп>(, +Рой(р, г,! р', ')1, (106) где О ! О 2 (1 — !аз) (1 — !а") + рвр,' рз 0 ~Ь> ( р. 1 О, (107) 0 0 0 4 рр' сов (ар' — Р) 0 2р. з!и (Р' — ар) Р10 (!а, ар; !а', Р') = — 0 0 0 — 2р ' ойп (аа — ао) О сов (ао' — ао) Р1В! (р, ~; р,~ аре) = ряр,' сов 2 (Р' — ') — рз соз 2 (~' — й) 1азр' в!п 2 (ар' — р) — — !а" сов 2 (е' — Р) соз 2 (' — ар) — р.' з!и 2 (е' — Р) .
(108) 4 — р!а'з в!и 2 (ар' — р) !а в!п 2 (у' — ар) р.р,' соз 2 (ар' — р) Написав теперь 1(т, р, р) = !аа (т, р)+(1 — ре)га(1 — ро)'в10! (-., р, р),'-1"! (т, р, о), (102) 268 Глава Л'. Рслеевсное рассеевав в ааслсосферах планеес где 112) нЕ Зависит От азимута, а 11') и !12) СОдЕРжат члены с сое — й только периодов 2я и и, получим три уравнения Н>>о> (,,> (2 1'> — 1>о)(2 Р) > р(о)(>2 >21)1>о)(, >вс),1)2' — 1 — — Р<о) (>2, >со) Р е-'>ы, (110) л>>1> .1-1 22 — =1>й — — „~ ) (1 — >")Р")(Р, „й',,')1"'(, й',,')>>" ';"— -1 Π— 4 24Р") Ь, 8> — йш эо) Р е ', (Ш) и Н вв Р— = 1>2> — — / ~ Р12) (й, со; >2', со')112) (т, р.', э') И>1'аЪ'— 4 Р> >(> > сво)Р > (112) 1 Написав уравнения (111) и (112) в развернутом виде, мы найдем, что различные коэффициенты в разложениях Фурье функций 1„1„и У связаны простыми соотношениями пропорциональности.
Так, если 1> и) 12), У~ "и11 ',11 '), Уо) — коэффициенты присев(эо — со) и з>п(соо — р) соответственно в разложениях Фурье по со — э величин 1>, 1, и У, то 1~" (т, й) =- йУО) (2, й); 1) "(т, й) — = — РУ' "(2, й); 121')(2, Р) = Д ')(2, >2)=0. (пз) Подобно этому коэффициенты при сов 2(сто — Р) н 2>п2(соо — 12) связаны соотношениями 12( ) 212( И 1~Уз(2 ~) (114) 11 (т, о.) = — — й 1„(т, >2) — — РУ (2, р).
>-2) 2 >-2» >-2) Эти соотношения ведут свое происхождение от следующих легко проверяемых свойств матриц Рп) и Р12): 42.~ ЯР (>,9; >2, т)сР (с '91 >во то) с о = Яро) (>2, у; — >во, ~во) 8 (1+ 2>2' ) 3 6 йй. Упроисение ураенения переноса (!с и! !ь и)ьГ (Р ~ ! — Ро, мо)но'= 4н у о =(арийка о! — Ро,о) —,6 (1+и")". (115) Следовательно, уравнения (111) и (112) допускают решения вида 16!(т, р, и) = — ОРИ! (и, е; — !со, мо)Г фн>(т, р) 1!а!(т Р 'р) = б!Р!а! Ь, и; — !со мо) Рф!а1(т, !ь), (116) где фи! и ф<а> — скаляры, зависящие только от т н р. действительно, подставив (116) в уравнение (111) и (112) и выполнив интегрирование по и', получим в каждом члене этих уравнений соответственно множители '/ЯРН!(!с, и; — Ро, ао)Г и '/ЯР!а!(Р, а; — Ро, йо)Г и пРидем к скалярным уравнениям ,~он> Р— = ф<'> — — Г (1 — р') (1+ 29' )фп! (т, н') с/и' — е-ч~' ис 8 З -с !в (Я) — = ф<з! — —, / (1+ и' ) фей (ти н') с/и — е — тв (117) — 1 для определения фи> н ф<а>.
Можно теперь проверить, что из соотношений (116) следуют тождества (113) и (114). Уравнения (103) н (117) принадлежат к одному и тому же общему виду !с — 'и =/'(т, и) — ~ Ф (и')/'(т, р')с/и' — с. '~', (118) -а где Чс(!с) — четный полнном от о,. уравнение (118) легко решить обычным приемом, заменив интегралы суммами.
Очевидно, что процесс решения будет в точности подобен методу исследования уравнения +! 9 ' =/(т, !ь) — 2 ~о ) /(т, Р)с!р — 4 ссе-'е., (119) лт -1 данному в гл. И1, 9 26, н гл. Ч!!1, $59, с той лишь несущественной разницей, что в качестве характеристического уравнения, соответствующего решению уравнения (118), вместо уравнения (84) гл. 1П мы 270 Глава Х.
релеевееве рассеяние в атмосферах илантн будем иметь уравнен. е аЭ%' (Р.у) (120) в 1 — Лене ' Угловое распределение 7' на границах атмосферы может поэтому быть приведено к Н-фун>синям (полубесконечная атмосфера) или к Х- и 1'-функциям (конечная атмосфера). Из указанных в гл. Ч и ЧШ соответствий между Н-функциями и Х- и К-функциями, выраженными рационально через корни характеристических уравнений, и этими же функциями, определенными из интегральных уравнений, мы ааключаем, что точные решения для Г при т = 0 и т =- т, (в случае конечной атмосферы) должны иметь вид Г(0, Р) = (Х(и) Х(Ро) 1'(Р) 1'(Ро)1 о и+ Ро 7" (т,, — и) =11 (и)Х(Ро) — Х(Р) У(йо)! ~~ (121) Р— Ро' где Х и 1' определяются как решения интегральных уравнений типа, рассмотренного в гл. ЧШ.
Возвращаясь к уравнениям (116) и (117), мы видим теперь, что такое преобразование решений для 10> и 1<а> означает, что если мы представим матрицы рассеяния и пропускания в виде 3 (сс> Рэ 91 Роз Ро> "с ~ 4 3 (тв> Рв Ро)+ Г 3 <о> +(1 — не) '(1 — йо) >8' (т,, 'Р, 9; Ро Ро)+6 (т~; Р, 9' Ро, Ро)~ н т(т„Р, сР, Ро, Р ) — Са — т (с,, Р, Р )+ Г 3 <о> -~- (1 — Р ) "(1 — оо) 'Т (с~', Р 9; оо, 9о) >-Т (т,; Р, 9> Ро 'ро)~, (122) то будут выполняться равенства — + — ) 8П> = Р>0 (Рэ о; — Ро Ро)!Хн> (в) ХИ> (Ро) — г'Н> (Р) Уй> (ро)) ( —,' Ро и ( — ' — вЂ Ч т«> = = Рп> ( — Р~ т' Ро оо) (у«> (й) Х>0 (Ро) ХН> (Р) У>в> (Ро)) (1=1, 2), (123) где Хп>, г 0> и Х>а>, у>я> выражаются соответственно через характеристические функции >Рн> (Р) = — (1 — Ря) (1+ 2ио) и %'>а> (Р) = —. (1+но)о.
(124) 271 э уд. Зенон диффузного отралееннн В случае полубесконечной атмосферы соответствующие выражения для 801 и 8<а! имеют вид — — ) = '., 1.а ш, — + — !Зйа = РН1(р Р' — ра1 Ра)Нсб(р)НН1(ра) (1=1, 2), (125) ра р/ где Нео н Нбо выражены через те же характеристические функции (124). Аналогично, согласно уравнениям (102) н (103), закон диффузного отражения и прапускания для параметра Стокса Г может быть также приведен к Х- и г-функциям и представлен через функции рассеяния я пропускання в виде (р ,) — + — )5~ = 2 ( — Рра!Х„(Р)Х„(Ра) Уа(Р) 1 (Ра))+ 1 !ь 3 ра +(1 — р ) "(1 — ра! ' !Х (р) Х (ра) — у,(р) у„(ра)! сов(Фа — Е) ) и — — ) Тт = ~ (рра!г.а(р)Х (ра) — Х,(р) г'„(!ка)!+ (,. 1 !ь 3 +(1 — р, ) "" (1 — ра)" ! Уг (р) Х (ра) — Х.
(Р) уе (ра)) соз (ара — 'р)), (128) где Х„, 1'„и Х„1'„определяются соответственно через характеристические функпин 1Ра = — р.а и 1Р„(и) = — (1 — ра). 3 3 (127) В случае полубесконечной атмосферы соответствующее выражение для ог будет иметь вид (р 1 1 3 —,+ — ~Ь = — 2! — рр Н.< )Н.(ра)-~- ра +(1 — р) '(1 — ра) 'Н„(р)Н (ра)соз(Ра — Ф)! (128) где Н„и Н„выражаются через те же характеристические функции (127). Явные решения, которые мы нашли для всех элеиентов матриц рассеяния и пропускания, за исключением не зависящих от азимута элементов 7, и !„, могут быть также получены из интегральных уравнений для величин 8 н Т. Это, однако, потребует исследований более трудоемких, чем те, которые мы провели, исходя непосредственно из уравнения переноса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
