Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 37
Текст из файла (страница 37)
— рв) = О, (93) откуда [(а, + р<) (е, + ся) — (а — Ц] [(а, — р<) (с, — с ) — (ая+ ря)[ = О. (94) Очевидно, что один из двух множителей в выражении (94) должен обращаться в О. Однако, оставаясь в рамках уравнений, которым удовлетворяют ф, ф, у и ь, невозмон<но решить, какой именно множитель обращается в 0; причем в любом случае мы будем иметь только одно соотношение между двумя постоянными с, и сз..Таким образом, в решении задачи остается элемент неопределенности'и произвольности.
Ниже мы покажем, как от этого можно избавиться. Р(0)=роР(1 7<)1 Р(т<)=роР(е '"'" 7<)< (96) К(0)4 [ ор(ро+Тя) 64.3. Освобождение от неопределенности и произвольности в решении. Так как рассеяние с угловой функцией Релея консервативно, то задача допускает интеграл потока и К-интеграл. Значения <и и К на границах должны поэтому быть выражены уравнениями вида [см. соотн. (31) — (34)[. 6 Ое. 11иффузное отражение и аропуанание 239 1 К(тд) = ,1 [до Р ( [до е ' 7дтд + уя) (96) Н1 (0, ) = — Ро Р ( — — [Х(Ро) Х(Р) — (Ро) У(Р))— - 16 Х ([до) [(с, — [д) Х ([д) + с Г ([д)1 - 16 г (~ о) [сяХ ([д) + (сд + 1д) 1 (р)) ~ 3 3 и р~д(тдд р) = 3 [до Р)16 — [г ([до) Х(р) — Х(ддо) У([д)] + 16 ддо — дд + — Х(йо) [с, Х([д)+(с + р) 1'([д)1+ +16 1'([до) [(с, — [д) Х([д)+ сд У([д)[) .
(97) Если Рд(0, [д) и 1Н1(т„— [д) представлены формулами (97), то интегралы, определяющие Р(0) и т. д., могут быть вычислены весьма просто с помощью соотношений, выведенных в гл. Н!11 (теорема 8); нужно только помнить, что в настоящем случае 3 3 хд = — (За, — аз) и у, = — (Зр — ра). В результате получим Р(0) = ро Р (1 — — 6Х(ро) (сдад+сА — ая) — — У(ро)(сдЯд+сяад+Ц) [ Р (тд) = [до Р )е '"" — 16 Х([до) (ад[од + ся"д + ря)— 3 — 16 у>о)(с,а, +;~, — а,)~, 3 К(0) = [до Р ( ро — Х([ро),(сдав+ сяРа Зад)— 16 — — У([до) (с,на+ свая + Зрд)~ 3 (99) И К ('д) = ро Р '[ — [до е — гид+16 Х([до) (сд Ц+ сяая+ Зрд)+ 3 + — У(р:,о)(с а +с [1, — Зад)~.
(100) где 7 и 7я — постоянные. Очевидно, что в формулы для Р и К входят только не зависящие от азимута члены в выражении интенсивности. Мы должны поэтому вычислить Р(0) и т. д. для выходящих интенсивностей [см. соотн. (74), (75) и (81)1; будем иметь 240 Глава !Х. Диффузное отражение и нролуенание Сравнивая выражеиия отраженных и пропущенных потоков, определяемых соотношениями (99) и (95), находим, что Т, =яХ([до)(е а,+сарг — а )+16 У(ро)(е ~, +саа, +~~), (101) а также, что 3 3 Т, = — Х(ро)(с~, +сан, + ~~)+ 161 ()до) (еа, + с~~, — а ). (102) Нужно, следовательно, потребовать, чтобы выполнялось равенство еда, + саЗ, — аа = сдрд + саа, + ра, (а, — рд) (с, — са) — (аз+ ра) = 0; или (103) Далее, из соотношений (96) и (100) находим, что 3 3 Та = — 16Х(ио) (с,ссз+ еадза — За,) — 6 У([до) (едРа+ еаза+ Зяд) (105) 3 Тдтд + Тз — + Х([до) (сдра+ езая+ Згд) + +16 УЬо) (е аз+вара — За,).
3 (106) Подставив теперь значения (104) и (105) для Т, и Тв в соотиоше- иие (106), получим [(ад + рд) (с, + са) — (аа — р ) [ тд —— — 2 [(аз + [да) (с, + еа) — 3 (сс,— рд) [ или, разрешив последнее относительно (с, +за), найдем, что с, за= + а (,д+3,).с+2(.,+3,) Так как мы уже показали, что [см. сооти. (103)[ (107) ив+ Зв с д се и (1оз) решеиие задачи оказывается доведенным до конпа. ио зто и есть один из множителей соотношения (94). Обращение к интегралу потока позволило, таким образом, устранить иеопределевиость и решить, какой из двух множителей в соотношении (94) должен обрапдаться в нуль. Имея в виду соотношение (133), мы можем из (101) и (102) получить Т, = 3 2 [(е, + с~) (а, + ~~) — (аа — ро)[ [Х(ро)+ у([до)[.
(104) 4 6<<. дифоа>узное отражение и нронуенанне 241 64.4. Закон диффузного отражения и нропускания. Соединяя результаты предыдущих параграфов, мы получаем следующие выражения для отраженной и пропущенной интенсивности 3 [1 У(0 Р' 9 ие 90) 32 [>а+ ) [ 3 [Ф ([а> Ф([ае) Х ([а) Х (ио)[+ -[- — [ф (и) ф (ио) — ~ (и) "-(ио)1 — 4[ай >(1 — иа)" (1 — ио) [Х<'>(р)Х<д>(ио)— — ур> (р) У<д> (ие)[ соз (ио — ар) + (1 — ив) (1 — и',-') [х<и (и) х<и (р, ) — У<е>(и) Г<д> (рр)! сов 2('ро ар)~ >ао Ре> 32(и — <ае> [3 [д[([а) д(~ о) ф(' ) Р(<ао)[+ 3 <1 + — [С (>а) ф (йо) — ф ([а) ~ ([ о)[+ 4р ро (1 — и')"(1 — ио) "[ У<д>(р)Х< >(ио)— — Лтд>([а) У">(ио)! соа (ро — ~р)+ (1 — уа) (1 — >аа)! >Чд>(й) Х<е>(ро)— — Х<д>(>а) У<д>(рд>) [ соз 2 (ро — <р) д >ао Р'а где ф (р) = (3 — сд>а) Х(р) — се[ад'([а), 1[([а) =(3+.ед>а) аа' ([а)+ саи Х(и), ф ([а) = [а [<рдХ(>а) — Оа 1'([а)[а ь (>а) = и [<реХ([а) — <рд У(и)[, а Х и [е представляют собой решения для характеристической функции — (3 — рв).
3 16 Постоянные е„с, дд и <[ связаны с соотношениями с + С = ["а рд) 'д+ б (", — рд) [ад+ рд) та+2 (ад + ра) ' моментами Х- н У-функций "д+ [>д с — с = ад — [> ' 3 3 <рд= — (Зад — сдав — саре) и да= — (Зрд+едрд+свае). Х<д>, У<И и ХИ>, У<И выражаются соответственно через характеристические функции 32( 3 3 Глава >х.
л<аффузнае отра>нелле а «ронуенлнае $65. ЛИФФУЗНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ В СЛУЧАЕ РАССЕЯНИЯ С УГЛОВОЙ ФУНКЦИЕЙ мо (1+хоев 6) Т(т» р» в> ро >ро) = = Фо [Т<> Ь <"о) + х(1 — >>о)">(1 — и'-')" То>(р, ро) сов (Ео >р)]> (109) где ( — „, + — „) ~">Ь,] о) =ФЬ)фЬо) — кЫКЬо)— о — х[ФЫФ(ро) — ~Ь) ~Ьо)] ( — — — ] Тел Ь <'о) = у Ы ф Ьо) — Ф Ы у (ро) + о +х[~Ь) ФЬо) — ФЫ~(ио)]> (110) — + — ) 5<'>(р.> ио) = Х<'>(р)Х<0 (ро) — УО>(и) У<0(ио), ( —,'. (='- — ' (111) — — — ) Т<» (и, ио) = У<» (и) Х<0 (р о) — Х<п (и) )' <» (ио), Ро >>.,» 1+-, мо ~ б< >(и, р) — „ о 1 Ф Ь) =, — ~ о ~ б<"> Ь Р') е]р'> о (112) 1 у (р) = е ' "'+ — Фо е] Т<'> (р, и') А о 1 ЬЫ> Ре — ™+ — Фо / Т"'Ь и')е<р о а Хы~> и У<„> выражены через характеристическую функцию хв> (1 — ро)/4.
Функции первого порядка не требуют более подробного исследования, так как они непосредственно приводятся к Х- и убфункциям. В соответствии с формулами (110) и (112) функции ф, Ф, )( и ч В случае рассеяния с угловой функцией о>о(1+хсоз<т) мы можем выразить функции рассеяния и пропускания в виде ]ем.
гл. 1»', соотн. (54) — (60) и гл. >>1, соотн. (48) — (48)] б(т 'Р Е] Ро Ро)= о ]б<"> Ь Ро) + х (1 — и')"(1 — Р'„-)"б<'> Ь ро) соз (Ео — >р)] и 6 ай Лиффузное отражение и яронуснлнис 243 порядка нуль удовлетворяют системе интегральных уравнений четвертого порядка. Мы покажем вкратце, как можно решить эти уравнения. 65.1. Форма решений для 5тог и Тгог. Судя по форме решений, полученных при непосредственном рассмотрении уравнения переноса в и-м приближении, можно предположить, что функции рассеяния и пропускания должны иметь вид ') (— + ) 5агГ(р ро) Х(р) Х(р, ) [1 — с,(р+ро) — х(1 — йо) рро! 1 1 ре — У(р) У(ро) [1+с, (р+р ) — х(1 — йо) рро!— — св (р+ ро) ! Х(р) У(ро)+ У(р) Х(ро)! — — — ') ТРЛ(р,ро)= К(р)Х(рго)[1+сг(р — ро)+х(1 — йо) рро!— ( — ' ре р — Х(рг) ! (ро) [1 сг(р ро)+х(1 — йо) рро)+ + се(р. — ро) [Х(р) Х(ро) + [г(р) К(ро)), (113) где Х и У выражены через характеристическую функцию гР (Р) = 2 то [1+ х (1 — то) Р'[г (114) а с, и св — две постоянные.
где Чо= 2 йо[сгио+с~Ро+х(1 — йо) иг! 1 Ро = то [сггно+ сяио х (1 '"о) [ег)г 1 рг = 2 [йо (с,и, +сф,)+(2 — йо"о)! ') См. С й апг! га ее и й а г 8., АзГгоряуе. 1, 106 (1947), 152 [сооти. (276) и (П7)[, ' 65.2. Вывод решения и выражение постоянных с, и с, через моменты функций Х(р) и г ([ь). Как и в 9 64, можно проверить, что Ю> и Тнэ действительно имеют вид (113). Вычислим сначала ф, ф и т. д. по формулам (112) при 5Ш и ТШ, выраженных формулами (113), используя прн этом интегральные свойства Х-и У-функций, соответ- ствующих характеристической функции (114). Получим ф (р) = (1 — г7о р) Х(р) — ро р. г'(рг), )( (р) = (1+ (го р) У (р) + Ро р Х(р) ф(р) = р [г7 Х(р)+ргГ(р)! и ч(р) = р [р,Х(р)+гугр(р)[, (115) 244 Гааеа гх.
Диффузное отраесеенае и лроауснание и 1. Р1 — 2 шо [гср1+ Сои, +ро[. (116) Подставив выражения (115) в соотношение (110), получим Сравнивая это выражение для 5(о> с предполагаемым [см. (113)[, мы видим, что должны выполняться условия 170 С12 РО С2 (118) и х(суг — Р1) — (с«о — Ро) = х (1 — во) (119) Аналогичные преобразования, выполненные для фушсции Т(о«, приводят к тем же условиям. В соответствии с равенствами (116) и (118) 1 С1 = 2 йо [С1110+ Со[20 + Х (1 — шо) 21[ со= 2 йо [ссноо+соао — х(1 — ео) 81[.
1 (120) Разрешив зги уравнения относительно с, и с, получим (2 — воао«21 — йонас с =с«о=хйо(1 — о'о) (2 — йо о«2 — йово Ся — — Ро — — х йо(1 — йо) 2 2, ° (121) — (2 — воао) Р1 + йоооас (2 — шоао) — йод Подставив зти значения с, и св в выражения 171 и Р, [соотн. (116)[ и использовав равенство ао 1 + 4 СОО [ао еоо+Х(1 ШО) (а1 е1)[ 1 2 2 2 2 (122) полученное в гл. ЧШ (теорема 4) для характеристической функции (114), найдем 2 (1 — йо) (2 — шоао) 2 (1 — ео) йоРО с(1 = 2,, > Р1 = - 2 - 2 ° (123) (2 шоао) його (2 — сйоао« вЂ” воРО ( — '+ — '[Я<>(йч[0) = = ХЬ) Х(оо) [1 — с«о (9+ йо) + [с[о — Ро — х (с)1 — Р1)) [2«со[— — «'(«с) «(Ро) [1+ 1[0(й+ Ро)+ [с«о — Ро — х(с«1 — Р1)) ййо[— — РоЬ+ йо) [Х(й) «'Ьо)+ г'(Р) Х(ро)[.
(117) 6 бб. гтримеры законов диффузного огнрамееник 245 Теперь можно показать, что при до, ро, о, и р„выраженных формулами (121) и (123), соотношение (119) выполняется тождественно вследствие равенства (122). 66.6. Закон диффузного отражения и пропускания. Соединяя результаты предыдущих параграфов, мы получаем следуюшие выражения для отраженной и пропущенной интенсивностей: Х(0, р Р; ро. Ро) = =4( + ) (ф(р)т(ро) )((р) й(ро) х(Р(р) РЬо) — ~(р) С (р.)!+ х(1 — р')" (1 — ре)" Х Х 1Х~ ~(р) Х~ ~(ро) У~ ~(р) «'~ ~(ро)! сов(Ро — 'р)) рор и г(1. — р Р' ро 'ро)= =4(,„' „) (у(р) ф(ро) — Ф(р) Х(ро)+х(С(р) ф(ро)— — ф(р) Г (ро)1+ х(1 — р')"е (1 — ре)" Х Х1Уг'(р) Хгй (ро) — Хо'(р) У'и (ро)1 соз (Ро — Р)) роР, где ф(р) = (1 — сгр) Х(р) — сярУ(р), у(р) = (1+сир) 1'(р)+с РХ(р), ф®=р(6,Х(р)-(-Р,У(р)1, С(р)=р(Р,Х®+6,У(р)1, а (Х, У) и (Х~ ~, У!0) выражены через характеристические функции 1 1 — Зе(1+х(1 — Зо) ра! и — хйо(1 — р') 2 4 соответственно.
Постоянные ем о„о, и р, связаны с моментами Х- и г-функций условиями с = хоо(1 — Зо) (2 — йоев) ег — ЗевРвРг (2 — Зо'е) ' — "оРо еа =- х"о (1 — о) — (2 — Зо"о) Рг + ЗоРоиг (2 — Звие) ' — "оРо 2 (! — Зо) Фвао рг — — е -вв ' (2 — Зе«в) — ЗвР~ 6 66. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ Фиг. 21 и 22 иллюстрируют законы диффузного отражения и про. пускания при условии, что рассеяние изотропно, и при альбедо за=1 и 0,9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
