Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 36
Текст из файла (страница 36)
') В связи с этим интересно заметить, что, выразив отраженную и пропущенную интенсивности з виде (16) (при йо=1), мы легко можем показать, что интеграл потока и К-интеграл эквивалентны условиям аз+до=2 и ['о прн этом можно проверить, что если решения для Х и г даны з виде (73), то последнее условие выполнаетсв в силу первого. Если основные решения в свою очередь выводятся из других решений Х(р) и 1'()е) в соответствии с гл. ЧШ соотн. (188) и (189), то интересующие нас решения могут быть выражены через эти последние в виде [см.
гл. ЧШ соотн. (54)[ Ха ®=Х(Р,)-[-(()+Л) Р[Х®-[- У(9)[ 234 Глава IХ. Диффузное отражение и ироиускание и 64. ДИФФУЗНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ В СЛУЧАЕ УГЛОВОЙ ФУНКЦИИ РЕЛЕЯ Мы показали в гл. Н!1, й 63, как можно привести интегральные уравнения, опрелеляющие угловые распределения отраженного и пропущенного излучения в атмосфере, которая рассеивает с угловой функцией общего вида, представимой в виде ряда по полиномам Лежандра, к независимой системе уравнений от только одной переменной.
В случае рассеяния в соответствии с релеевской угловой функцией мы можем представить функции рассеяния и пропускания в виде [см. гл. !1> соотн. (67)[ ~(т>! Р 9;Ро, Фо) = 3 Ф" Ь |~о) — 4рйо(! — >с )" (1 — Ро)" Х Х 5~ > (Р, Ро) соз (Фо — 1о)+(! — м ) (1 — [со) 5! > (Р, >со) соз 2 (Фо — о)! (74) и Т(т,; Р Р! [со~ Ро) = — [Т~ > (>с мо)+4Р>со(1 — Р )'(1 — Ро) "Х ХТ ~(>с [со) сов(~оо — Ф)+(1 — >с ) (1 — ио) Т! >(>с, [со) соз 2(ро — р)[, (75) где функции разных порядков (различаемые по инлексам) удовлетворяют независимым системам уравнений.
Две из зтих систем, относящиеся к функциям порядка 1 и 2, непосредственно привогятся к Х- и >с-функциям. Так [см. гл. !Ч, соотн. (72) и (73)[, ( — '+ -1-'[ян> Ы [,) =Хи> Ы Х<'> Ь,) — ун> Ь) ун> (Р,) >ео >с) и — — — ) Т!О (>с ро) = ['!'> (а) Х1*> (Ро) — ХН> ([с) У П> (ио) (> = 1* 2) (76) (- -) ' 1 1> ,[ где Х!'>, УН> и Х<з>, г'>з>, определяются, соответственно, через характеристические функции Ра(1 Рз) и (1 Рз)з.
3 3 8 32 Обращаясь к функциям оф> (>с, >со) и Тф>(>с, >со) порялка О, мы находим, что эти функции должны быть представимы в виде [см. гл. !Ч, соотн. (77) и (78)[ (... ' — „+ — „)~"'Ь Ро)= 3 [Ф(ь)ФЬо) — ХЫХЬо)[+ о + 3 [ф®~ (>о) Ы (78) (,. и — — — „) Т!о>(Р Ро) = — [ХЫФ(Ро) — Ф(Р) Х( )[+ о + — [~ Ы ф (>ч>) — ф (Р) ~ (>ч>) [ й бо.
диффузное отражение и ироиуснание 235 где е ф (в) =- 3 — ро+ — ) (3 — в' ) Уо! (в, в') ре о 1 ф(р,) — „а [ 3 ~,~еуо>(„ о г е К(в) =(3 — ро) е-'т+ б ) (3 — р.'о) Т(М(р, р.') —, 16 р о др/ й(р,) = вое — ='("+ — ) р.'о Т(й(р., в') —,, о (79) Далее, должны также выполняться равенства до(0) 1 8 д, = 8 К(р) К(ро)+ 3 г.
(9) ~(ро) ( ! 1ндг(е« 1 Г1 8 — ) — = — ~ — Ф (в) К (йо) + — ф (Р) С (Ро) ~— р) д., =р,'(3 3 (89) — —,„~ З К (9) Ф (ро) + 3 б (9) ф (! )). 1 Г! 8 64.1. Вид решений для о(о> (р, ро) н Т('>(р, ро). Подставив б(о> и Т("1, выраженные из равенств (78), в соотношения (79), мы полу- чим систему интегральных уравнений четвертого порядка для функ- ций ф, ф, К и б. При решении систем уравнений этого типа мы будем руководствоваться, как и в случае решения подобных систем для полубесконечных атмосфер, видом решений, полученных при непосред- ственном решении уравнений переноса, и соответствием, указанным в гл. Ч1П, 9 59, между Х- н У-функциями, входящими в этн решения, и точными функциями, определенными из интегральных уравнений.
В рассматриваемом случае представляется вероятным, что решения для о(о>(9, ро) и Т(о!(в, ро) должны иметь знд ( — -[- — ) Я(о«(р, ро) = Х(р) Х(ро) [3 — с (р+ ро)+ рва[в 1 1 — У(р) «'(ро) [3+ с, (р. + ро)+ рро[— — со (9+ [ео) [Х(в) У(во)+ «'(р) Х(ро)[, (. )' 1 15 о — — — ) Т("(р ро) = «'(р)Х(ро) [3+с (р — р ) — рро[— ро + со(р — ро) [Х(р) Х(ро)+ У(р) У(ро)[, (81) 236 Глава !Х.
Диффузное отражение и аронуенание где е, и ев — некоторые постоянные, пока еще не определенные, а Х й г' — основные решения уравнений Х(() 1+ — р ~ (Х(()Х(( ) — У(() У(р)1 (й о У() ) = е- ( + 18 ( ~ 3 " 1)'(И Х() ') — Х® 1'(( ')) е(р' (82) о для которых выполняются равенства (3 — ( в) Х(9) (р — (зао —.,) 3 г 3 е ~(3 — н) У(()(й=(38о — 8,)=О ). е (83) г) См. С 11 апйгаееип ее 5., Аз~гарпун Л., 106 (1947), !52.
[свози. (221) и (222)1. 64.2. Вывод решения и связь между постоянными е, и ее. Для того чтобы проверить, имеют ли на самом деле решения вид (81), мы вычислим ф, 7), у и ч по формулам (79) и потребуем затем, чтобы прн подстановке результирующих выражений для ф, ф и т. д. в соотношения (78) решения имели предполагаемый вид. В общем случае такой процесс приводит к некоторым условиям, которым должны удовлетворять содержащиеся в решении постоянные (такие как с, и е в рассматриваемом случае). Мы увидим, что в исследуемом частном случае условия, полученные указанным способом, окажутся недостаточными для полного однозначного определения е, и ею Это еще один пример неедннственности решения в консервативных случаях интегральных уравнений, выражающих инзариантность задачи. г(о, как и в случае консервативного изотропного рассеяния, обращение к интегралам задачи устраняет неопределенность и' произвольность.
Первый наш шаг, таким образом, состоит в вычислении ф, 7), у и ч по формулам (79), при о(е) и Т(е), взятых из соотношений (81). Вычисление интегралов, определяющих ф, ф и т. д., осуществляется в высшей степени просто, если соответствующим образом используются различные интегральные свойства выражений (82). Заметим, что в дополнение к формулам (83) следует использовать соотноше- $64.
диффузное олзрозкение и лронуснание нин [см. теорему 4 гл. ИП, соотн. (40) — (42)1 а.=1+,—,[3(«,— рз) — (а,— р,)1, 3 а а з з з (3 — рз) ) — "',, [Х(р) Х(р') — У(р) У(р')1= з 3 +( ~ р о) ® (ез рео) Ы Х(р.) — 1 16 и 1 е[р/ (3 — р ) ~,"~", [У(р) Х(р') — ХЫ У(р')1 = о +А+Во)ХЫ вЂ” (а,+р. о) У(р) 16 Вычислив ф, ф и т. д. указанным способом, находим, что 6 (р) = (3 — сзр) Х(р) — сару(р), у(р) =(3+с,р) 1'(р.)+сз«Х(р), ФЫ = р [ч Х(р) — чау(р)] и 6(р) = р [6 Х(р) — 6Г[р)1 где С, = 1 (За — с,аз — СзР ) (84) (85) (86) Оз =16(Зр, +сз[за+ са«з). (87) Использовав выражения (86), вычислим затем 5<о1 и Т[о1 по формулам (78).
Получим ( ( )уз)(„ ио = Х(р) Х(ро) 13 — с, (р + ро) + 3 ( сз — со+ 8 (Чз — Чз) ) рр о1— — У(р) У(ро) [3+ сз (р+ ро)+ 3 (сз — са + 8 (6з — 6з) рро[— са Ь+ ро) [ХЫ 1 (ро)+ 1 (р) Х(ро)! и ( ) 1 1т — — — ) 7чз1(р, р,о) = ро р) = 1 (р) Х(ро) [3+сз(р — ро) — — ( сз — со+8(4аз оаа) ) рро1 — Х(р) У(ро) [3 — с,(р.— ро) — — (сз — с, + 8(д,— дзз) ) рро)+ 1 з а з + сз (1" — Ро) [ХЫ Х(Ро) + У Ы У (Ро)1 (88) 238 Глава IХ, диффузное отражение и нроиуекйние Сравнение соотношений (81) и (88) показывает теперь, что постоянные с„са, <7< и <7 должны быть связаны соотношением [ел<.
гл. Ч1, соотн. (24)] с', — св+ 8 (<7< — <7в) = 3. (89) Подставив значения (87) для <7, и <]в в (89), получим 32 (се< — св) + 9 [(е, + сэ) (ая+ [<з) — 3 (а< — Р<)] Х )~ [(с, — г ) (ае — ~ ) — 3 (а, + ~<)] — 96 = О. (90) В результате некоторых преобразований последнее соотношение может быть приведено к виду [32+ 9 (ав — рв)] (с< — се) — 27 (а, + [В<) (аз+ []я) (с, + се)— — 27(а, — Р<)(аэ — рэ)(с, — ся)+ 81(а< — [В[<) — 96 = О.
(91) С другой стороны, в соответствии с формулами (83) и (84) 32+ 9 (ав — ре) = 32+ (9ао — 16) — 81[]в = = 288 (1 — ао) + 81 (ав — ~о) = 27 (а< — Я). (92) Соотношение (91) принимает теперь вид (а', — р<) (с< — с ) — (о, + р<)(ае+ рз) (е, + се)— — (а< — р<) (ае — [<а) (е, — ге) + (а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
