Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Л., 10э (1947), !51 Я 4 втой статьи). См. также 8. Р е гг1п Р., 1. о1 сЬев. РЬуэ., 10 (1942), 415, Автору неизвестны какие-либо более ранние попытки строгого вывода прин- ципа взаимности из основных уравнений задачи, подобного выполненному в этом параграфе. Новой, повидимому, является также формулировка прин- ципа взаимности для зллнптически поляризованного света (сгр. 187). Распро- странение етого принципа на случай материальных волн можно найти в работе: 9. Р о ж ! е г В., Ргос. СащЬгИйе РЫ!сн. Яос., 25 (1929), 193.
Я 53 и 54. В этих параграфах материал изложен так же, как и в работе (1!. ГЛАВАЧН! Х- И У-ФУНКЦИИ и бб. ОПРЕ)1ЕЛЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ Х(Р) = 1+Р ~ — ', [Х(Р) Х(Р') — у(Р) 1'(и')1о1Р', (1) о 'г'(Р) = е-'~о + Р / — в) ( 3'(и) Х(р.') — Х(Р) )"(в')) оЬ', (2) о где характеристическая функция %'(Р) представляет собой четный полином относительно в, удовлетворяющий условию 1 (о') Р 2 ' о (3) а т, есть оптическая тожца атмосферы. Х- и у-функции, определяемые из интегральных уравнений (1) н (2), играют в общей теории роль, подобную роли Н-функций В тЕОрИИ ПЕрЕНОСа В ПОЛубЕСКОНЕЧНЫХ атМОСфсраХ. НужНО тОЛЬкО потребовать, чтобы выполнялись условия: Х(Р)-оН(Р) и У(м)-+О при -.
-о ос, (4) где Н(в) удовлетворяет интегральному уравнению 1 Н(Р) = 1+ Р Н(Р) ~ ~ ~"',~, Н(Р') 1Р'. о Кроме того, будет показано, что Х(Р)-о1 и У(Р)-+е ~о при о, -+О. (б) В следующих главах будет показано, что интегральные уравнения, выражающие различные случаи инвариантности в задачах о диффузном отражении и пропускании, приводятся к системам двух нли большего числа интегральных уравнений следующего типа Е Лд Различные формы основных уравнений 197 При исследовании решений уравнений (1) и (2) удобно ввести следующие сокращенные обозначения г г х =1Х(Р)Я'(Р)Р"Ф Уи= 1Г(Р)2Г(Р)Р" [Рн О о ! Х(р) рис[и а Рн = ~ у(р) рн ер (7) х„ и у„ представляют собой моменты порядка и функций Х(р) и У(Р) с весом Ч"(Р), а а„ и Рн †обычн моменты этих же фУнкций.
Укажем и некоторые другие формы основных уравнений, которые могут оказаться полезными. Написав в уравнениях (1) и (2) Р' Р' !е+ Р' Р+ Ф' легко найдем, что г 1 Ф'"(";) [Х(р)Х(р) — Г(р) У(р)[4"= о =1 — [(1 — хо)Х(р)+уо У(р)[ (О) У "; (~~,) Р (р) Х(р') — Х(р) Г(р')[ с[ ' = — в — ™'+ [уо Х(р) + (1 — хо) !'(Р)[ (10) Нмеем также 1 ~ Р"'",'[Х(р) Х(р') — У(р) У(')) !" = о =х, Х(р) — у,р(и) — и+р.[(1 — хо)Х(р)+уоУ(и)) (11) 1 ~ (~,) [у(р) Х(р') — Х(р) у(и')[с[р' = о =у,Х(р) — х, г (и) — ив — -Го+ р. [уоХ(р)+(! — хо)Г(р)[. (12) Последние соотношения легко проверить, написав Р— Р' и+И' Р+Р~' и использовав (10) и (11). Глава УГ1!. Х- и У-функции (13) (14) — У(Р) ~ — ! +у гХ(Р')~ — У(~о') ~ — — +у ! Х(Р)) !АР'! (15) откуда ! Р,— '~~~',~,[х(Р)х(Р) — У®У(Р))д,'=у, У®.
(и) дт! о Подобным же образом ! „,—,' ~ '('Р),~у()Х(Р) — Х(Р) у( )) ~Р'= о ! = ) г. (Р ) [ — У®Х(Р')+ !, Х® У(Р')~ а!Р'. о (17) $56, ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ Х(Р, т!) и У(в, т,) В уравнениях (1) и (2) величину т„О < т, с.
со, следует, конечно, рассматривать как некоторую известйую постоянную. Тем не менее в некоторых случаях бывает полезно явно выразить зависимость решений Хи 1'от ", Тогда мы будем писать Х(Р, т,) и У(Р, т,) вместо Х(,!) и У(Р). Х н У как функции т, удовлетворяют некоторым интегродифференциальным уравнениям, имеющим большое значение. Мы сформулируем это в форме следующей теоремы. Теорема 1. Если Х(Р,т!) и У(Р, т,) представляют собой решения уравнений (1) и (2) для частного значения т„то решения для других значений т, могут быть получены из интегро-дифференциальных уравнений ! ги! ! дт (~' !)„1 р.' о =У- ( !) У(Р ) ! дУ(Р, !)+У(!' !)=Х(, т) ('4"'ор(„!)У(„.
) о =у (т,)Х(Р, г,). Доказательство. В соответствии с (13) и (14) имеем ! Р д ~ ~(')(Х®Х(Р') — у® у(Р'))а!Р'= т! о ! = Р ~ — '""',(у-,Х(Р) У(~")+у-,Х(Р') Ӯ— о 199 б,Ы. Онгиееро-дифференциальные ураенения 1 —',;,+ — „'. =Г,— "",",,(У®х(р) — х(р) (р)1~'+ о г +р —,~ к ~~ ~[у(р)х(ру) — х(р) у(р')) Ф' о Из соотношений (16), (18), (19) и (20) следует, что если Х(р,, т,) и 1'(р, т,) представляют собой решения уравнений (1) и (2) для частного значения т„ то х(„...)+у,У(р, -.,) 1., (21) 1'(р., т,)+~ — ~' ' +у Х(р, т,) ~ест, являются решениями этих же уравнений для бесконечно близкого' зна- чения т, именно, т, +ат,. Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Ха(р, т,) — Кв(р, т)=Нв(р) — — ~ Уз(р., 1)Ж. (23) 2 Р Показательство. Исключив у, из уравнений (13) и (14), получим х — =у — +— дХ дд'г' Уо дог дог н (24) нли д Интегрируя (25) и помня, что Х(р, т,)-оН(р) и У(р., т,)-+0 при т,-+со, мы находим искомое соотношение. (25) (26) Яы имеем поэтому 1 ~~("),(у(й)Х(р') — Х(и) у(р')1 1р'+ о г + р — ) " ',11'® х(р) — х(р) у(р,')) 1р' = у-,хЬ). (13) о С другой стороны, если Х и Г являются решениями уравнений (1) и (2), то должны иметь место соотношения 1 ~~= ~,~ ) н ( ) ~Х(~)Х(~') — Г(~) 1'(~')) а~' (19) о 20! Е а7. Интегральные свойства Х- и у-функций следовательно, 1 (Х(!ь) + Г (!ь)! %7 (!ь) г1!ь = 1. о Следствие 2.
В случае, когда г ) %" (!") Ф > —, о (32) (33) 1 ~ У (!ь) %' (!ь) аг!ь = ~2 ~ %" (!ь) гу!ь — 1~ . (34) о о При с ~ то величина, стоящая в правой части равенства (34), становится комплексной, что и доказывает следствие 2. Теорема 3. 1 (1 — х,) хо+уоуо+ 2 (хг — уг) = ~% Ь) !ь'аг!ь (35) о Показательство. Умножая уравнение (1) на Ч'(!ь)йо и интегрируя по !ь в пределах (О, 1), получаем 1 х = ) Ч'(!ь) !ьас!!ь+ о ! г +11,— ",,Р()~О")(Х(.)ХЬ) — У(.) У( ))й р = о о 1 = ~ 'с" Ь) !ьяФ+ о г 1 + — ~ ~(!ьо — вру+!ьео)%~(!ь)г)г(!ьг)1Х(!ь)Х(!ь') — 1е(!ь))е(!ьг))аг!ьг2!ь'= о о = / г4г (!ь) !ь~ аг!ь+ хохо — уоуо — — (хг — уг), ! е о (36) что эквивалентно равенству (35). существует критическое значение тд, назовем его то, такое, что для тг) т* решения становятся комплексными. Так как у(!ь)не-.йо при т„-+О и Г(!ь)-+О (О (!ь (1) прн тд-ь оо, то очевидно, что должно существовать такое значение т, =к*, что Глава Уг!!.
Х- и У-функции Следствие. В консервативном случае д Уо( я+Уз)+ 2 ( д дд) .1 о (37) (а+Ь[до) ) ~, [Х([д) Х([д') — У([д) У([д')! = о = — [Х(Р) — 1! — Ь [(«д — Р«о) Х(9) — (Рд — $~Ро) У Ы! (41) 1 и (а+ Ь[дз) [ ~, [У([д)Х(1") — Х([д) У([д)! = о = — [У([д) — е — '!о! — Ь [([1 + [дро) Х([д) — (ад+ [дао) У([д)!. (42) Доказательство. Чтобы доказать равенство (40), проинтегрируем по [д обе части уравнения, которому удовлетворяет функция Х([д). Получим д д ао —— 1 + ~ / ~, [Х([д) Х([д) — У([д) У[[в )! д[9 !!р' = о о д 1 = 1 + — [Г [Г (а+ Ь[д[д) [Х ([д) Х([д) — У ([д) У ([д) ! ду[д ф[д' = о о = 1 + — [а (а' — Я) + Ь (аз — Ьа) !. 1 (43) Соотношение (42) может быть доказано следующим образом: 1 а ) ~,[1'(р.) Х([д') — Х([д) У(р,')! = о Это следует из соотношения (35) и из следствия 1 теоремы 2, согласно которому л,1+ у,д — 1.
(зв) Т е о р е м а 4. Если характеристическая функция ду (р) задана в виде %'([д) = а+ Ь[дз, (39) где сс и Ь две постоянные, то имеют место следующие соотношения: ао — 1+ 2 [а(ао — Ро)+Ь(а~ — Д~)! (40) ф Ж Неединссивенноств решения в консервативном случае 203 = ~ "+ ", [У(Р) Х(Р') — Х(Р) У(Р.')[ИР,'+ о 1 -[-Ь ~(Р+Р' — ",) [У(и)х(Р') — х([) У(Р')! [Р = а = — [У(Р) — с-'ж[+Ь [(а, + [вао) У(! ) — (Р1+ Р[чо)Х(Р)1 1 — ЬР [ н', [У(Р) Х(Р') — Х(и) У(Р')1. в (44) Соотношение (41) доказывается подобным же образом.
ф 58. НБЕДИНСТВБННОСТЬ РЕШЕНИЯ В КОНСЕРВАТИВНОМ СЛУЧАЕ. ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ Теорема б. В консервативном случае, когда ® Р 2' о (45) решения уравнений (1) и (2) не являются единственными. Именно, если Х(Р) и 1'(Р) являются решениями, то выражения ха+Э~ [ХЫ+ УЫ[ УЫ вЂ” Ф!ХЫ+ У(Р)! (46) Г ® = Х(Р) + ьЬ[с [Х® + У ®! ОЫ= ГЫ вЂ” Еь[ХЫ+ 1'Ы[, (47) находим, что р ® р(Р') — а ® О (Р') = х ® х([с') — г ® г (Р') + +д(Р+, ') [Х®+ У(Р)1 [Х(Р')+ У(Р')1, а (, ) Г ([г') — р ® О (Р ) = г ® Х(Р') — Х® г (Р')— — с)(Р— Р') [х(Р)+ У(Р)1 [х(Р')+ У(Р')1 (48) также представляют собой решения; здесь [~ — произвольная постоянная. Доказательство. Положив Глава УШ. Х- и У-функции Отсюда [в ~ ~— [ — ) [Р®Р(р ) — а®0([в')[Ф[в = и+и о 1 = й ~ Т [ ), [Х Ь) Х Ь') — К Ь) У Ь')1 Ф'+ о 1 +9в[Х(й)+ У(р)! ~ [Х([в~)+ У(р')! Ч~ [[в) 4в'.
[49) о Из уравнения (1) и следствия (1) теоремы (2) [соотн. (32)! получаем г +~,, [Г Ь) Р Ь) — О Ь) 0 Ь)! Ф' = о =хЫ вЂ” 1+с)й[хЬ)+ УЫ[= =РЬ) — 1 (50) Аналогично, р ~ —, [О (и) Г ([в') — Г ([в) 0([в')! в[[в' = о = 1'(р) — е-ь/о — О[в [Х([в)+ у([в)! = 0(р) — е — ' 1". (51) Таким образом, Г ([в) и 0([в) удовлетворяют тем же уравнениям, что и Х([в) и У([в). Следствие. Решения, получаемые из заданного решения, в соответствии с формулами (47), образуют однопараметрическое семейство, которое может быть воспроизведено по любому из своих членов. Доказательство. Пусть )а (и) Г([в)+Щ [Г ([в)+ 0(р)! о, ® = а ® — д„й [Р ®+ а ®', (52) где О, — произвольная постоянная. Согласно теореме 5, Г1 и О, также представляют собой решения уравнений (1) и (2).
С другой стороны, так как [см. соотн. (47)! р'®+ а ® = х®+ у®, (53) можно также выразить Р, и О, в виде )",(9) =х®+(О+а,) р[х®+ У(й)[, О,®= (,) — %+Я,)9[ХА)+у(Р)!. (54) Другими словами, функции Р,[[в) и 0,([в) могут быть непосредственно выражены через Х([в) и 1'(9). Ю до'. Неедсснешвенносись решения в канеервашивнон случае 205 Повидимому, в заданном консервзтивном случае все решения уравнений (1) и (2), ограниченные в интервале (0~(р~(1), входят в одно и только одно семейство функций. С другой стороны, можно думать, что для неконсервативных задач решения, ограниченные в полуплоскости сс(з) ) О, являются единственными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
