Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(133) Уравнение (109), определяющее числа Е, сводится в этом случае, т=О, к В частности (так как во=1), Ео — — 1у Ед 0 Ев — — — —, Ев= и т. д. (135) Характеристическое уравнение, определяющее а, имеет внд 2 Х1+н1Ф (Х ~~( ) г(сз)1' (136) 48.7. Решение в случае угловой функции 1+а,Р,(сов(4)+ + йвРв(совй). Как иллюстрацию общей теории, мы рассмотрим консервативный случай р(сов 1э) = 1+а,Рг(совчт)+чзвРв(сов й).
(137) При такой угловой функции решение представляется в виде 1(ч, р, р) =1Ю>(с, р)+10>(т, р)сов(ее — р)+ + 11в1 (т, 1ь) сов 2 (ео — ~). (138) Рассмотрев сначала 1Ю1(т, р), получим характеристическое урав- нение (139) или, в несколько другом виде, а 4 'Х( 3 гз) з'=г (140) — а ~ 1е = 4 Р( ~ 1 ' Л ~ ~Л~4~ $Ег(йы) Рг (ре)~+(1 — — ы$)т+1гс+1н 1, (132) з И. Уравнение переноса в случае угловой функции 171 + г 1«г о е-,Ф,~ (1 -в 1 1 и) (141) 74+а, «1 И<«1(НО) И<'>( — И,) Рассматривая, далее, 1111(*, 11), имеем 1 1 3 — а1 11=1 и 1,= — —.
й (142) Характеристическое уравнение (113) принимает вид ~ а;(1 — ФГ1, а,(З вЂ” а1) г1 Соответствующая функция 1110 будет иметь форму (143) 1 +и 1 а 7, =-аГ(1 — Ю а(1 — „.) -~ ~ ~~1 — -~+ О1 1 ;.,1 к й. ' Г а,(З вЂ” а,) нв1 4 1 !+и А~ ~ й11 «=-и а и (ио) н ( во),...,(з- 1) (1'= ~1, ..., и), (144) и, наконец, 111'~ будет определяться выражением 1+рМ„" 1+М1ао (1' = - 1, - и) (145) при характеристическом уравнении 3 Ч,Ч ау (1 — В,')' (146) В основных задачах о переносе в полубесконечных плоско-параллельных атмосферах постоянные в решениях (141), (144) и (145) могут быть исключены, и угловое распределение уходящего получения может быть представлено в замкнутой форме. Интегральные Уравнение (140) имеет только (и — 1) различных, отличных от нуля корней 7гв.
В соответствии с зтим мы должны использовать интеграл (117) прн написании общего решения 1('~. Таким образом, получаем о 70 а ум=116 Р~( за,"' "4 Х „" +1о('+111)+1'"+ а= — и+1 1 ' Глава Л. Задачи на общие законы рассеяния 172 48.8. Точные решения основных задач о переносе в полубесконечных атмосферах в случае Р(сов се) = 1+ й Р, (сов (4) + йаРю(сов тз). Решая интегральные уравнения, выведенные из принципов инвариант- ности, мы находим, что закон диффузного отражения может быть представлен в виде 7(0 <ю р' ро тю) = 4 (ию + и) ( 4 + й ( 4 а 7 Ы ф (Ро) + Ф Ь) Ф (<ею) ) + + (й<6 (<л) 6 Ью) — Звва (<с) а (<сю)) (1 — <юа) ь (1 — ©" соз (рю — в) + + — йз (1 — <юе) (1 — р,') Н<и (<ю) Н<е1 (ре) соз 2 (рю — юр)~, (147) 3 где =Н<" ®( 3- ' — ср) ~(р)=<79Н 6® = Н«1 ®(1 — Тр), а (<с) = х<сН<<) (р), ню1(р), н«>(<с) и на(р) выражаются соответственно через характеристические функции — — рв), — (1 — <са) (в +в (3 — в ) <юа) Зйю /4+йе т 1 - (1,а)ю 3 16 (149) Постоянные с, <7, 7 и х определяются по формулам а<и в.
(3 — й ) (а<<0 — а<0) а<е 1 4 — йг <аю< ~ — а<з 1) (150) 2 4 (3 — й<) За<<с) ' 3 4 — в (а<0 а<а<>) где «<'> и ао> — моменты и-го порядка функций н<ю (р) и н<0 (<к) соответственно. Подобным же образом закон потемнения к краю в задаче с постоянным полным потоком выражается формулой з'(О, И = — „Н<ю> (0). Р 2а1ю< уравнения, выведенные нз принципов инвариантности для угловой функции (137), могут быть решены и полученные решения выражены через Н-функции. Эти решения приводится ниже. Библиографические замечания 173 По поводу приведенных выше решений следует сделать следующие замечания: 1) члены, не зависящие от азимута, не содержат в какой-либо форне величину Ф,; 2) в случае 0,=3 член с соз(Ф вЂ” гу ) в законе диффузного отражения становится независимым от Иэ; 3) в случае й, =0 и Иэ —— г/г решения приводятся к виду, указанному в 9 44 и 45 для случая релеевской угловой функции.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 00 44 и 45. Задачи на лучистый перенос в полубесконечных плоско-параллельных атмосферах с учетом анизотропии рассеянного излучения в соответствии с угловой функцией Релея рассматривзются в следующих статьях: 1. СЬа пбга зе К Ь аг Б., Азггорпуз 1., 100 (1944), 1!7. 2. С Ьапбгаз е К Ь аг Б., Азггорпуз. Л., 108 (1946), 165 (раздел П втой статьи). 3.
СЬап6 газе КЬаг Б., Азггорйуз. 1., 105 (1947), 164 (раздел Ч этой статьи). 4. С Ь а и б г а з е К Ь а г Б., В г е е и Р., Аь!горйуз. Л., 105 (1947), 435 (раздел 1 втой статьи). В работах [!] и [2] рассматриваются типичные задачи с постоянным полным потоком и диффузным отражением.
Применяется приближенный метод решения, изложенный в гл. ПЬ В работе [2) выполнено исключение постоянных и выражено в замкнутой форме угловое распределение выходящего излучения. Точное решение этих задач можно найти в работе [3]. )т'-функции, протабулированные в 9 45, взяты из работы ]4]. 6 46. Закон диффузного отражения с угловой функцией Еа(1+х сов В) рассматривается в следующих статьях: 5. А м б а р ц у м я н В. А., Л. о! РЬуз.
ПББД, 8 (!944), 65. 6. СЬ а пб г а э еК Ь аг Б., Аз!горЬуз. Ю., 103 (!9461, 165 (раздел 1 этой статьи). 7. С Ь а и б г а з е К Ь а г Б., Аз!горЬуз. Л., 105 (1946), 164 (раздел ! Ч втой статьи). 8. С Ь ап 0 та ее КЬ а г Б., Вгееп Р., Азггорпуз. Л., 107 (!948), 216.
В работе [6) задача рассматривается в п.м приближении. Производится также исключение постоянных. В работе [7] решения интегральных уравнений, выведенных из принципов иивариантности, выражаются через ет'-функции. Наконец, в рзботе [8] протабулированы ут-функции, содержащиеся в решении втой задачи. Работа [5] представляет исторический интерес.
Мы уже упоминали о ией в библиографических замечаниях к гл. 1Ч. $47. Рассуждения, подобные проведенным в этом параграфе, можно найти в работе: 9. Чап бе Н и! з ! Н., ТЬе АгпюзрЬегез о1 !Ье Еагйг апд Р!апе!э (Ебйеб Ьу Сг, Ки!рег, СЬ. 1Ч). [Есть русский перевоэь См. Атмосферы Земли и планет, сборник статей под редакцией Д. Койпера, М.,!951. — Прим.
ред.] 0 48. Доказательствз, проведенные в этом параграфе, в основном взяты из работы: 1О. С Ь а и 4га сеК Ь аг Б., Аэ!горЬуз. 1., 104 (1946), 191. ГЛАВА НП ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) $49. ВВЕДЕНИЯ В гл. 111 — Н1 мы рассматривали задачи о переносе лучистой энергии в полубесконечных плоско-параллельных атмосферах и показали, что во всех случаях уравнение переноса может быть решено приближенным методом, позволяющим получить решение с любой ззданной степенью точности. Однако самым замечательным результатом развитой теории является выяснение роли, которую играют в наших исследованиях принципы инвариаитности, приведенные в гл.
1Н: они дают возможность получить точное решение задачи об угловом распределении выходящего излучения, а в отдельных случаях даже позволяют обойтись без явного использования уравнений переноса (см. гл. Ч1, Э 4б). Использование интегральных уравнений, выведенных из принципов инвариантности, не ограничивается, однадо, задачами переноса в полу- бесконечных атмосферах. Принципы инварнантности могут быть сформулированы также и для переноса излучения в атмосферах, обладающих конечной оптической толщей, и именно при решении этих задач они приносят наибольшую пользу. Только с их помощью оказалось возможным впервые точно решить обширный класс задач, которые в течение долгого времени считались неразрешимыми.
В этой главе мы сформулируем эти общие принципы и выведем их непосредствецные следствия. Мы рассмотрим также некоторые смежные вопросы, такие, например, как принцип взаимности. й 50. ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНПСТИ Пусть параллельный пучок излучения с полным потоком кРв на единицу площади, перпендикулярной к направлению пучка, падает на плоско-параллельную атмосферу оптической толщи т, в направлении ( — Рв, Тв).
Обозначим интенсивность, диффузно отраженную в направлении (Рч), через!(О, Р, Р)(0 (Р(1), а интенсивность; диффУзно пРопУщеннУю в напРавлении ( — РВ) под повеРхность т=тм чеРев 1(тп — Р, Т). Мы можем выРазить отРаженнУю и пРопУщеннУю интенсивности чеРез фУнкцию РассеЯнии 5(;,; Р, Р; Рв, РЧ) и З Лг. Принципы инвариантноегпи функцию пропускания Т(г,; рч р; йщ оо) в виде (см. гл. 1, соотн. (120)1 Р 1(Ог Ь 9)= 4 о(тг Рз Ф) Рог ро)в Р 1(тм — 1в' ~Г) 4 Т(тг Р'> р) Ро 9о) Заметим, что мы явно ввели т, как параметр в определение функций '8 и Т с тем, чтобы подчеркнуть их зависимость от оптической толщи атмосферы.
Далее, рассматривая поле излучения в такой атмосфере, мы будем различать ослабленный падающий поток в направлении( — ро, оо), равный кре — яв, (2) и диффузное поле излучения, характеризуемое интенсивностыо 1(т, р, и). Кроме того, чтобы отличить восходящее излучение (О (р (1) от нисходящего ( — 1 (р( 0), мы будем писать 1(т, +р, ср) (О (и ( 1), (3) 1(т, — и, р) (0(1в (1).
(4) Введя такие определения, мы можем сформулировать четыре следующих принципа. 1. Интенсивность восходящего излучения 1(т, +р, р) на некотором уровне т складывается из отраженной части ослабленного т-о г=о т=т, Фиг. 1З. падающего потока кре-авв и падающего на поверхность т диффузного излучения 1(т, — 1в', р')(О ( р' (1) слоя агпмосферы оптической толщи (т,— т), расположенного ниже т. Математическое выражение этого принципа очевидно (см. фиг. 13): 1(т, +р, ~) = — е ч~ 5(т,— г; р, р; мо, ро)+ Р 1 гв + — ) ) Ю(т,— т; р,, р; й', 4~')1(т, — р', <р')ф.'с(~'. (5) о о Глава 211. Принципы инеариантности 176 И. Интенсивность нисходящего излучения 1(т, — й, о) на некотором уровне ч состоит из пропущенной слоем оптической толщи т, расположенным над поверхностью т, часгии падающего потока и отраженной этой же поверхностью части диффузного излучения 1(т, + ч', 1~') (О ( 11' (1), приходящего снизу.
Математическое выражение этого принципа имеет вид (см. фиг. 14) Р 1('1, — 12, Ф) = — Т(т; й, 1р; 12, 9~)+ 411 1 2 + 4 ~ ~ Я (т; й, 18; а~, ~1~) 1(т, + 61, р~) йй~ до~. (6) о о Ш. Диффузное отражение падающего света всей атмосферой в целом эквивалентно отражению частью атмосферы оптической толщи т, расположенной над уровнем т, и пропусконию этой же частью атмосферы диффузного излучения 1(т, + й', 1у') (О ( и' ( 1), приходящего к поверхности т снизу. Математическое выражение этого принципа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
