Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 29
Текст из файла (страница 29)
й 52. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ В 9 51 мы показали, как, вычитая уравнения (30) и (32) из уРавнений (29) и (31) соответственно, можно исключить производные д5/д21 и дТ/дт, и получить систему интегральных уравнений, содержащих только 8 и Т. 4 52. Лринцил взаимности Из структуры этих уравнений и свойств угловой функции относительно перестановки ]ем. гл. 1Ч, $ 31 соотн.
(29) и (31)] следует, что если 5(21; Р, /о; Ро, соо) и Т(21; Р, /о; Ро, Ро) являются решениями, то и Я(21' ]' /Р' Ро 90)=Я(21' Ро 90' 11 /Р), Т(21/1 Р /Р!1 Ро о/о) = Т(21/ Ро! мо! Р' Р) (33) также являются решениями. Так, переменив местами переменные (Р, э) и (Ро, /Ро) мы придадим, например, правой части уравнения (31) вид е '"/"Р( — Р 121 — Ро! Ро)+ 1 ок // +4в ~ ] (1! Р /Р! Р ~')Р( Р'» РО! 90) // Ч/+ о о 1 2! + — „~ ] Р( — Р ж Р' Р')8(,; Р', Р', Р ~.) —,, М'+ о о 1 2/ 1 2/ + ]бво ~ ~ ~ ~ Т(21! Р'! т! Р ! /Р')Х оооо / о ХР( — Р ! /Р ! Р ! /Р) о('1! Р ! /Р ! РО! /Ро) „/ л//Р // и//Р ! а это выражение является правой частью уравнения (32) для Я и Т (другие уравнения преобразуются при перестановке переменных подобным же образом.) С другой стороны, из уравнения (31) и соответствуюпгего уравнения для дТ]дт, полученного исключением Т из уравнений (31) и (32), следует, что если 5 = 3' и Т= Т для некоторого значения т„то и производные дЯ/дт1 и дТ]дт1 также симметричны для этого значения т,.
Например, из уравнения (30) имеем ( 11 Ро то' Р т) =р(Р' /Р' Р', мо) ехр1 — т ( — + — ]]+ о .о 1 2! + — е " 1 1 т(~' Р, /Р; Р /Ра)р(Р /Ра' Ро 200) льР + о о 1 2~ 1 с с + 4 е-'Л" ] ] р(Р, Р; — Р', ~Р') Т(211 Р'~ /о ] Ро то) / ~9 + о о Глава Лй Принципы инвариантнаети г а в ав + ~, ~ ~ ~ ~ Т((ю )ь, р, р, >р )р()ь, о, — р, >р);л, оооо Х Т(т;, р', >р'; )ьз, ~е) —, И>р' — н >Урн= д5(т;ш;и, ) дв! ' Чв, если Т= Т при т=т; (34) — 1 поэтому Я и Т продолжают оставаться симметричными для т,+ать. Таким образом, 5 и Т будут симметричны для всех значений т„ если они симметричны для какого-либо частного значения е,.
Лакее, из уравнений (29) †(32) видно, что если т, -ь О, то —,+ — „)~( ' р у! р., р)= (-, —,.~ 1 1> 1 =р(р >р! — ро >ро)~! — ехр 1 — тг ( — + — Я+0(т',) и (-,— — „, 1 ! „,) Т(тг! )ь 'р' р>0 >ро) = =р(р» р! ро> ро)[е — '4э — е 'А']+0(т,') '). (33) Очевидно, что 8 и Т симметричны относительно (р, >р) и (ро, оз) при т,-ьО.
В соответствии с нашими прежними замечаниями мы заключаем, что 5 н Т симметричны при всех значениях т,. Мы показали, таким образом, что о(тг' Р >р> )ьо 9о)~~(тг> р> 9> ро> 'Ро) 7 (тг> р>> >р> ро> ро)= 7 (т|> р> о> р>э> >ро). Другими словами, функции рассеяния и пропускания не изменятея, если переменить яесталги направления падения и выхода луча. Так формулируется принцип взаимности в применении к задаче диффузного отражения и пропускания. Особенно интересно отметить, что здесь выполнение принципа взаимности является прямым следствием справедливости этого принципа для рассеяния первого порядка, — обстоятельство, которое объясняет происхождение этого принципа.
Если учитывается поляризация поля излучения, то соответствующий принцип взаимности устанавливается подобным же образом из свойства симметрии угловой матрицы относительно перестановки. Так, положив р(р 'П р' р')=Чу(р о! р' 'р')а) (37) !) Этв выражения для 5 и Т могут быть также непосредственно получены из того соображения, что при Э-ьо следует учитывать только рассеяние первого порядка (см.
гл. Ч1, и. 47,1 и гл. !Х, 9 бЗ). в) Провсхожхеиие множителя (! связано с выбором величин ув Тм (> в качестве параметров, характеризующих поляризованный свет. Наличие ие- 6 52. Принцип взаимносви 185 где о о о 0100 0 0 2 0 (38) 0 0 0 2 получим [см. гл. 1 соотн. (220) — (225)[ У(р, ф! р', ф')-У(р, р; Ф'). (39) Напомним, что здесь ф — матрица, получающаяся из туз перестановкой строк и столбцов, а также аргументов (р, ф) и (р', р'). Соотношение (39) эквивалентно следующим соотношениям между элементами матриц: 8[', (р, ф; р', р')=Фа,(р, ф; р', р') (г, 5=1, г, У и Ь').
(40) Имеют место также соотношения АаЪ 'т[ — р' ф')=беат(р т' — )т' т') ([=й и 'т-ь ьгУ) 8ггп(р, ф; — р', ф')= — 8[щ(р, ~р; — р', ф') (ю'=у, г, Р). (41) Написав теперь 5(тт) Р % ро Ро)=143 (тг! Р~ ф) ро~ фо)1 (42) т(т,; Р 35 Р„Ро) =(ей (,; Р, У; Рш М, мы заключаем из соотношений для ф и у", аналогичных соотноше- ниям (35), что при т,-+0 эти матрицы так же симметричны относи- тельно перестановки, как луу(р, р; р, фо) и лрт( — р, <р; — )го, е ). Продолжая рассуждение, мы можем доказать (доказательство является достаточно трудоемким), что эти свойства симметрии со храняются для всех значений т,.
Так, га(тт Р 91 Ро то) — Маг(т; р, т ро, то) (1= й и 1+уатсУ), бгп(тт' о '41 Ро Ро) = — Зпг(тт! р, р; ро, сро) (г=[, г, 1'), (43) г гл( б Р т' ро то)= и ы(та[ р 'р) ро сро) (1 ге =у, г, У, И). (44) которой, асимметрии" между уг и уг, с одной стороны, и у и К с другой, обнаруживается из формы линейного преобразования 1.
(Ф) [гл. 1, соотн. (190)), которому подвергаются зти параметры при повороте осей [см. также гл. 1, соотн. [161)[. Соотношения, выраженные формулами (43) и (44) и относящиеся к обращению пути света при перемене местами направлений падения 186 Глава !Гв!. Принципы инвариантности и рассеяния, представляют собой выражение принципа взаимности в применении к задаче диффузного отражения и пропускания. Чтобы выяснить смысл соотношений (43) и (44), рассмотрим случай падения параллельного пучка света, плоско-поляризованного в напРавлении, котоРое составлнет Угол Хз с меРидиональной плоскостью, содержащей направление падения ( — !во, ае). Составляющие падающего потока равны Р! — — РсоззХо Р'„=РяпаХо Рп=Рз!п2Хо и Рг=О.
(45) Трн составляющие интенсивности 1, г и У, отраженные в направлении (!в, у), представляются в виде р вв (Ов !в 9) = — (ЗнсозаХо+Здгз!паХо+Зцтз!п 2 Хо) 4н 1„(О, !", и')= 4 (З„,сольдо+З~з!п Хо+Згпз!п2Хо) р У(О, !в, о)= — (ЗгтсозаХо+Зп,япзХо+Зппяп2Хо) (46) Р Интенсивность отраженного света в направлении, составляющем угол Х с меридиональной плоскостью, определяемой параметрами (!в, ви), может быть получена из предыдущих соотношений по формуле [см.
гл. 1 соотн. (161)! У(Х) =!, созе у+ Х„з!п Х+ — Уз1~2Х. (47) Отсюда получаем 7(0; !в, ~р, Х; !во, вро, ул) = Р 4 (Зисов~ Хо соз~ Х+Згг з!п~Хо з!и Х+Зппз!и 2Хо з!п 2Х+ +(З,„з!пЯУесоз Х+Зг!соз Хоып Х)+ + (Зв и яп 2 уз созе У. + 3 гт сова Хз яп 2Х) + +(З„пз!п 2уо япв у +Зн япа Хо зш 2Х)!. (48) ПеРеменив местами пеРеменные (9, ва) и (йз, вяз) и использУЯ фоР- мулу (43), мы замечаем, что Ф(0' р о Х' !во вро Хо)=!воу(0' !во ро — Хо' р и» вЂ” Х) (49) Изменение знаков Х и Хе пРи пеРемене напРавлений падениЯ и отРажения обусловливается тем, что эта перемена изменяет направлерие отсчета разности азимутов (ра — ви), а следовательно, также и направление отсчета Х. Для пропущенного света уравнение, аналогичное уравнению (49), имеет вид йв (тг! !в 9 Х! !во 'Ро Хо) = !во! (тв' !во 9о Хо! Р 9 Х) (60) 5 52.
Принцип взаимности 187 В случае, более общем, чем случай падения плоско-поляризованного света, формулы (43) и (44) выражают следующий принцип взаимности, Если параллельный пучок света, эллиптически поляризованный в напРавлении Хо и хаРактеРизУемый паРаметРом эллиптичности Ро, падает в напРавлении ( — Ро, во) и если свет, отРаженный в напРавлении (Рр), разлагается на две противоположно поляризованные составляющие (Х, 1з) и (Х+я/2 — Р), то интенсивность /(О! Р, ~Р, Х, Р! Ро~ 9о Хо !зс) обладает свойством симметричности: Рг(О1Р 9 Х ~~ 1"о 'Ро Хо 1о)=Рог(О1Ро 7о Хо Ро'Р т — Х 0) (51) Подобно этому для интенсивности, пропущенной в направлении ( — и, в), имеем Рз(ч' Р 9 Х Р1Ро 9о Хо Ро)=роз(тю' — Ро 9о Хо'Ро'Р 9 Х Р) (52) формулы (51) и (52) показывают, что если путь луча изменить на обратный путем перемены направлений падения и выхода, то луч, находящийся в том состоянии поляризации, в котором находился отраженный (соответственно пропущенный) луч, первоначально распространявшийся в направлении (Р, у), будет падающим в этом направлении, в то время как луч, отраженный (соответственно пропущенный) в напРавлении.
(Ро, 1в ), бУдет пРедставлЯтьсЯ в виде составляющей, имеющей эллиптичность н плоскость поляризации, которые имел раньше свет, падавший в этом направлении (см. фиг. 20). Этот принцип взаимности для падающего эллиптически поляризованного света вытекает из свойств симметрии матриц Я и 7 и из формул з(Х, Р)= У,(созвХсозвр+з!пвХв1пвр)+У„(з1пвХсозв~+созвХз!пвр)+ + — У яп 2у соз 2Р+ — 1гяп 2Р 1 1 2 2 и 1 (Х + — и, — ~) = Хг (з!»в Х созв Р + сова Х звпв Р) + 1 + У„(с~з~Хсозв(1+ 1пвХ япа(1) — — Уз!~ 2Х сов 2Р— 2 Ъ'я!в 2Р, (53) 1 1 которые представляют интенсивности луча, характеризуемого параметРами Стокса lп У„, У и )с, если он РазлагаетсЯ на две составлающие, поляризованные в противоположных направлениях. Наконец, заметим, что принцип взаимности может быть сформу лирован для полной интенсивности, если отражается или пропускается луч естественного света. Тогда (54) Глава $'П. Принципы инвирипнтн ости и полные интенсивности отраженного и пропущенного света могут быть выражены через функции рассеяния и пропускания, связанные с элементами матриц 3 и у формулами 1 еат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
