Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ьт>1 )ье сге (ьеа тй) = 2 ь'и+ ~)«+ «)+ ««)[т,; р, р; р, в)' 1 )ест.( >1 (ь> с«1 (ьо 9о) = 2 (нУн+с(У>«+нУы+пУ««)(е.. >ь р; р.„, о). Из (43) и (44) в этом случае находим ~ест. — юеот.е аоот. — Тест. (55) (бб) что, очевидно, и является формулировкой принципа взаимности. Следует, однако, подчеркнуть, что для полной интенсивности принцип Физ.
20. Принцип взаимности в случае падающего вддиптически поляризованного света. Пусть вдаиптиеески поввризованимй опредевееммй параметрами уе ()„ свет падает в нвправве. нии ( — рм т) и пусть свет, диффувно отражснимй в иапранаений (а, О), разрешен в двух состовниах противопоаожноя повиривзции (В р) н (д+ /2. — р ) . Н наоборот, пусть свет в састоании поа«ривации (Ь а) падает в напраеаеипи ( — р, т).
а свет, диффузно стрвженнмй в направвении (р„т,), разрешен в состааниах пр тивоповсжной поввразацив (уе, ре) и (>ар «,'2, — ре). Срввниваютса интенсивности в состоинии (О, ре) во втором аксперименте и в состоянии (у, р) — в первом. взаимности этого рода существует только в случае падения естественного света, ни в каких других случаях принцип взаимностй для полных интенсивностей не выполняется. Симметричность функций и матриц рассеяния и пропускания, которую мы называем „принципом взаимности", следует из теоремы геометрической оптики, принадлежащей Гельмгольцу.
Теорема эта утверждает, что, если в результате нескольких преломлений и отра>кений луча света (1) на плоских или близких к плоским поверхностях возникает (среди прочих) луч (е), интенсивность котороги равна 5 ау. Преобразование интеврахьных уравнений !89 некоторой доле у», интенсивности луча (»), то при перемене направления пути света на обратное падающий луч (е)' породит (среди других) луч (»)' с интенсивностью, являющейся долей у,» интенсивности луча (е)', причем (57) Для того чтобы была справедливой теорема Гельмгольца, поверх ности должны быть если не плоскими, то во всяком случае такими чтобы их радиус кривизны был велик по сравнению с размерами поперечного сечения пучка лучей, а последнее в свою очередь должно быть велико по сравнению с длиной волны.
Однако для задач, связанных с диффузным отражением и пропусканием, ббльшее значение имеет следующее замечание Релея: „Предположим, что з некотором направлении (») и иа некотором расстоянии г от малой поверхности (в), отражающей каким-либо образом, расположена излучающая точка (А) заданной интенсивности. Рассмотрим иитемсизиость отраженных колебаний в некоторой точке В, расположенной в направлении в и иа расстоянии г' от в. Теорема заключается в том.
что интенсивность остается той же, что и в точке А, если излучающая точка перенесена в В *. Недавно Миннаерт и ван де Холст пересмотрели идеи, положенные в основу теорем Релея и Гельмгольца, с целью сформулировать принцип, имеющий возможно более широкое применение. Изложение этих исследований вывело бы нас за пределы задач этой книги.
Для наших целей достаточно указать, что этот принцип может быть выведен в самом общем виде из интегральных уравнений, объединяющих различные принципы инвариантности, которые положены в основу решения задачи диффузного отражения и пропускания в плоско- параллельных атмосферах. 9 58. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (29) — (82) В СЛУЧАЕ, КОГДА УГЛОВАЯ ФУНКЦИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА В ВИДЕ РЯДА ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА Мы покажем теперь, как можно привести интегральные уравнения (29) — (32) к основной системе уравнений для функций от одной переменной, если угловая функция задана в виде к к р(Р, ч»; Р', Т') = ~~", (2 — 8,„) ( ~~'.~ вб»юР~»'(р,)Р» (Р')) созт(Р' — »в) (58) ю=в » =1В (см. гл.
И, ф 48). Уравнения (29) — (32) показывают, что, если угловая функция имеет форму (58), то функции рассеяния и пропускания предста- Глава РП. Принцииы инвариантнасти вляются аналогичными разложениями К 5('"'1~ Р~ 9! РО 9О) = Е 5' '("П р ро) 'о' т(9О м) т=о Т(с,; 9, т; 9О, сре) = ~и~в Т<~)(тг; ~а, ре) сов т(эв — т), (69) т=« где, как показывают обозначения, 5<"'> и Т<"'~ зависят только от ты и 9О. Подставляя зги выражения 5 и Т в уравнения (29) — (32), мы находим, что уравнения для различных составляющих ряда Фурье разделяются. Так, уравнение (29) приводит к системе уравнений ««5(«О (а .
( — + — )5<"'>(тг; р., ро)+ = (2 — ЬО, т),~~ ( — 1) ~ йггтРг (9) Рь (ро)+ лви + 2 ~лайв Рв (1 ) у Рв (9 )5 (тг' Р' ге) + в=и в Ю г лн/ +,~~~ в в (ъе)) ( р р) в Ь), + в=и О К 1 г + ~~~ ( — 1! ыг ~ ~ 5 (т1', р., р)Рв (р)Рг(9)Х О, «1 В=и О О для т=О, 1 и т. д.
Правая часть последнего уравнения может быть представлена как сумма произведений вида НО 3 1 1)~и+в Х~Рв (9)+2(2 ь ) ~ 5 (~!', 9, г')Рг Ь) „~ ~Х О, «и), 1)тьв 1 Х~Рв ЬО)+2(2 з ) ~ Рви(9«)5"'(т,; р", 9О) — „~. (61) О, т « 6 бд. Преобразование инжегральных уравнений 191 Подобным же образом, из уравнений (30) — (32) получаем д8а' (г!) )в,)!О) (2 3 ) ~, ( 1)иво( в!Х дг 0,1и ! Х[е ч"РГЫ+2 2, ) ~ Т(")(тг< р, ')РГ(й') х ~Х ! Х[в Р! ()го)+2(2 — О ) ~ Р! (Р. ) ™(т!', р, ро) — а~, (62) о 1 Т( )(, „)+дТ ('!) р" ио) )г дг, М ! 1)и!+! гбг! =(2 — до в) ) ич~Р! (р)+ ~ б' (г,; р р)Р! ()г) г~ Х <=!в о ! У~е " Р! (йо)+2(2 в ) ) Р! (р.
) Т (т„' )г, <го) — „1, (63) О,ю о — Т (т!', )гг >го+ д =(2 — 3о ги) ~~го! Х < > дт<">(.6 н„р,) с~ <го ~! ! Х [е ' 'Р! Ь)+2 2 з )( Т<">(т,; р, р')РГ()г') — ", Х о ! Х[Р< (йо)+2(2 о ) ~ РГ(<в)Б~ ~(тП )г )го) — „„~ (64) О"' о Если теперь мы положим, что ( 1)!и+ ! ! г ! бр/ фГ(тг; й)=РГ()в)+ 1 Я(~~(тг~ р, )г)Р<Г(<г) д, (65) и ! У~ (т,; р)=е ""РГ(р)+ ', ~Т'"'(т,; р, р')РГ(р')"~„(66) 0 ги) о то, учтя принцип взаимности (Я 52), сможем переписать уравнения (61) — (64) в виде (гв) 1') Е( )(,. „„)+д8(м)( !) И, Но) (во / <г дв! =(2 — а, „) '5', ( — 1) +'аГ(;"(;; р))Г(.,; р,), (6Т) Глава >р!!. Принципы инаариантноппи У = (2 — 3,> щ) У ( — 1) + в! ф ! (т!1 'р,) ф! (т;>ао),(63) 1 Т ! и> ( . ) + д тон> (т!' >! Р о> — Т тг> 1а, 1$0 д' =(2 — йо, ) )~~ й! )! (т!' Р) ф! ( г> Ро) (69) 1 Т1в>( .
) ( д!' (тйи Ы но д., =(2 — Зо ),~' й! ф, (т,; р)Ь (тг; Ро). (70) Последним соотношениям можно придать и другой вид ( — „,,+ вЂ”Ц ~'"'( ' р ро)= :(2 — до, в),~„( — 1) "й! И!" (т,; р))!" (т!' ро)— — ф! (тг; р)ф!" (тг> ро> (71) ( — — — )Т (т; р, ро)= =(2 — йо, в),~„й! (ф! (т>' Р) Ъ" (т>1 >'о) — )!>м (т,> Р) ф!" (т!1 Ро)) >=в д5'в'('!' Р» но) (2 д ) У' ( — 1)" е'ввф (т р~ фт(т >! ) 'С! (72) (73) 1 1~д71в>(т>, >в, >во> (---! " ' ' ' = м-,--,! П' =(2 — Во, ) ~~>' й! [ — )! (т,; р) ф>'(т>; ре) — ф! (тг>ро) ф!"(т!', >ь) ~.
(7'1) Ро Подставив, наконец, выражения (71) и (72) для 51в>(т; р., р') и Т>т>(т>1 >!, >а') снова в уравнения (65) и (66), мы получим следую- 193 6 ов. Интегральные уравнения щую основную систему уравнений фд~ (т„' Р) = Рд" (и) + фй" (тд; Р) фдо(тд1Р)) (75) фд" (тд; Р)=е-'~Рд"'(Р)+ -т 4" Рд (н') + — Р ~~~ йд, ~, [фй(тд, дд) фй'(тд,'Р')— а- о — он (т,; н) ф» (г,; Р')) (и = 0,1,...). (76) и 54. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИЗОТРОПНОГО РАССЕЯНИЯ В случае изотропного рассеяния йо Ф 0 и ад=о (7=1„..), н уравнения предыдущего параграфа принимадот вид (77) Х(Р) — Фо(ты Р) — 1+ — ~ 8 ( „, Р ) —, (78) У(дд)=фо(тд,'1д)=е '"~+ 2 ) Т(гд; Р, р,') —,, (79) о ( — + — ) о (тд; 1дв Ро) = йо (Х(Р) Х(ро) — 1'(р) У(ро))! (80) = и'о» (Р) 1 (Ро) (82) 1 ) оТ(тддн ддо) - ( 1 Х(,)1( ) 1 у(„)Х(„)1 (88) 1 ) ЮТ(т;,н,го) ( — — — ) Т(ддвР ддо)=йдо!1 (Р)Х(ро) — Х(Р) У(яо)) (81) ддо и Глава РТА Принципа инвариантнаети 194 Х(р) = 1-]- ! й р ~ ~~,[Х(р)Х(р.') — У(р) У(р')], (84) о 1 у(р) в — ™+ 2 бор ] ',[у(р)Х(р.') — Х(р)у(р')].
(85) о Сравнивая последние уравнения с соответствующими уравненнямя для задачи диффузного отражения в ~олубесконечной атмосфере [гл. 1Ч, 9 33.1, ур. (41) и (42)], можно заключить, что система уравнений 1 Х(р) = 1+ р ~, [Х(р) Х(р') — У(р) у(и')] фв', (86) о 1 1'(р) = е-'М-]- р ] ~, [У(р) Х(р') — Х(р) г'(р')[ тр', (87) о где оаг(р) — некоторая характеристическая функция, играет ту же основную роль в теории лучистого переноса в атмосферах конечной оптической толщи, что и уравнение 1 О(р) =1+ рН(р) ~,~ ~"' ~Н(р') Ур' о (88) в теории полубесконечных атмосфер. Мы увидим в дальнейшем, что зто так и есть. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАЙ И Я З 50.
Сформулированные в атом параграфе различные принципы инвариант- ности впервые встречаются в работе; 1. СЬаи бтаЗЕКЬат 8., Аагтарнуэ. йа 105 (1947), 441 (раэдЕЛ 11,огай статьи). Для изотропного рассеяния Амбарцумян еще раньше исследовал инвариант- ность законов диффузного отражения и пропускания по отношению к добавлению слоя произвольной оптической толщи к атмосфере на уровне о = 0 и к одновременному отнятию такого же слоя у основания атмосферы а = он (Этот ппоцесс дает только половину требуемого числа уравнений.) 2.
Амбарцумян В. А., ДАН СССР, 38 (1943), 229. 5 51. Выведенные в этом параграфе ннтегрзльные уравнения содержатся в работе [1). 5 52. Принцип взаимности впервые был введен в следующих работах: 3. Не!хи Ьо!1г Н., Теог!е бег %агще, Вб. 1, 3, 6 42. 4. 1огб йа у!е! 8Ь, Зс!епййс Рарега, т. 1Ч, Сащзг!бпе, 1903, р. 430; см. также Ьогб кау!е!8Ь, ТЬеогу о1 8оппд, т. 1, 6 107 — 111, Ьопбоп, 1396. [Есть русский перевод. См. Репей Д.
В., Теория звука, М.— Л., 1940. — Прим. рвд.) Библиографические замечания 195 Гельмгольц сформулировал принцип взаимности как теорему геоиегрической оптики. В связи с диффузиыи отражением зтот принцип был установлен впервые, повидимому, Релеем. Более новые исследования принципа взаим- ности принадлежат Миннаерту и ван де Холсту. 5. М1п и а е г! М., Аэггорпуз. Л., 98 (1941), 403, 6. чап бе Н и!з! Н., Неопубликованная работа. формулировку принципа взаимности через матрицы рассеяния и пропускаиия (при учете поляризации) можно найти в следующих работах: 7. СЬапдгаэей Ь а г 8., Аэггориуэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
