Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(96) (+ /а Мы будем пользоваться полиномами Со (и) и С, (!ь), удовлетворяющими соотношению (96), которые (см. приложение !1, соотн. (25) и (26)] имеют вид П П (';+'.,) !=с вь=с с=в,в-а, ... Со(о,) =- а~ ! в — с И ( ! с о ) с=с ьв=с В" С ввевов в-с Хп(!+~ч!) П 1, (1 ась 9) ! с=с ьм=с вьв (97) ! с а ' ' вада П (вы+ ь ) йй йй (а с=с ~=с ьь- с ХД(1+Дв,р) П Л,„(! — Д. Р) с=с ьв=с так как величина, стоящая в левой части, представляет собой полипом от !» степени 2н, обращающийся в нуль при !ь=- ь-1//с„(а = 1, ..., л), Далее, можно показать (доказательство дано в приложении !!), что соотношение (91) определяет з(9) и !(!ь) с точностью до двух произвольных постоянных с/о и с/с и что эти функннн можно представить в анде 9 Ж Рациональные еыуажении Х- и У-функчий 213 где гы ..., ге и зы ..., е„ , — последовательности из 1 и и†1 различных целых чисел, содержащихся в последовательности (1, 2, ..., и) для целых чисел вида и — 4т для целых чисел вида и — 4т — 2 в остальных случаях и, Р( — 1)й«) Л„=е «'," (а=-+-1, ..., -н).
(99) Очевидно, что в силу (96) полиномы Со(р) и С,(и) должны, подобно е(р) и г(р), удовлетворять тождеству вида (94). поэтому можно написать Со Ь) Со ( — р) — С (9) С, ( —, ) = (С";(О) — С,'(О)1 ж'(,,), (100) так как Ж'(О) = 1. Обращаясь теперь к формулам (9о), мы можем определить постоянные ~То и ры используя для этого равенства (88). Так е(йо) =ОоСоЬо)+Ч1С1 (Ро) = Р( Ро) Г( Ро)=ЧоС1( Ро)+Ч1Со( Ро) =е ч~~'РЬо) (10Ц Решая этн уравнения относительно до и а, н используя (100), по- лучаем 1 [Р( — ро) Со( — Ро) — е-'Л" РЬо) С,(йо)1 (С' (О) — С~~ (О)) В'(Но) 1 (е "~" Р (ро) Со (ро) — Р ( — ро) С1 ( — Ро)) (102) [с, '(О) — с', (О)1 1з'(и ) Если е(а) и 1(й) представлены формулами (101), то выражения (86) для Я® и Т(Я принимают вид Я (р) и а ',, -'(" " (досо(р)-~д,С, ®), иа...
а,", 5'(р) йо — и Т(р) =, ', ' ('"' "' (а,со(и)-)-пос,(и)). (108) "и' ~'Ы эо+е. Подставив этн значения о (9) и Т(р) в (80), мы получим после некоторой перестановки членов следующие выражения для отраженной +1 <о1 а1 = — 1 0 +1 о)~ = — 1 0 в остальных случаях (98) для целых чисел вида п — 4т — 1 для целых чисел вида и — 4т — 3 214 Глава Луд Х- и у-функции и пропущенной интенсивностей У(0, р) = — о [дуо ( Р ( — р) Со ( — р) — е — д ЯР(р,) Сд (р,))— 4 рад ... ра, %" [р) — ду (е -Е Р(р) Со(!д) — Р( — р) Сд ( р))[ у(т,— р)= — ем [дуд [Р( — р)Со( — р) — е-ьувР(р)С,(р))— 4 рвд ... ра, %'(р) — дуо [е — н'еР(р) Со(р) — Р( — !д) С, ( — р))[ в .
(104) ро — р Подставив сюда выражения (102) для дуо и ду„получим У(0,!.) ',"~, в ', ' '" Х 4 на... рв [Со(О) — Са (О)] %'(р) К' [р~) р, + р~ Х[[Р( — р) С,( — р) — е-"УаР(р) С,(р))Х Х [Р( ро) Со( ро) е "а'Р(ро) Сд (ро))— — [е — 'УвР(р) Со(р) — Р[ — !д) Сд ( — р)) Х Х [е-™Р(ро) Со(ро) — Р( — ро) Сд( — ро)) [, у( „— р) вдое ! ! ра Х 4 ра ° ° ра [Се[О) — Сд[ОЦ К'Од)!Р(ро) р — рв Х [(е-ьУвР(р) Со(р) — Р( — р) С, ( — р)) Х Х [Р( — ро) Со( — ро) — е '"М'(ро) Сд(ро))— — (Р( — р) Со( — р,) — е- У Р(р)С,(р)) Х Х (е- У~ Р(ро) Со(ро) — Р( — ро) С ( — [до)[) (105) Положим теперь Х ® р, ...
„[Са [О) — С,'(Оиьэ й7[р) Х [Р( — р) Со[ — р) — е-ьу Р(р) С,(!д)[, (106) [ — 1)" 1 1 р„[С',[О) — ' С, '[О)[ч* [Р[д.) Х[е-чдаР(р)Со(р) — Р( — р)Сд( — р)[ (107) С помощью этих функций выражениям (105) для отраженной и рассеянной интенсивностей можно придать вид У(0, !д) = — вдоР Ро [Х(р)Х(ро) — К(р) У(ро)[, (108) ) дддоР Ро [К([д) Х(ро) — Х(р) У(ро)) (109) ! 4 р — рв 215 6 бО. Решения для ееалыя значений ч~ Сравнивая <108) и <109) с выражениями функций рассеяния и пропускания, полученными из принципов ннвариантности [гл. У!1, 9 54, соотн.
<80) и <81)], мы видим, что Х- и 1'-функции, определенные по формулам <106) и <107), замещают решения интегральных уравнений <1) и (2) в случае <Р(Р) =шо/2 <см. гл. ЧИ, соотн. <84) и <85)]. В общем случае можно сделать вывод, что Х- и У-функции, определенные из соотношений <97), <106) и <107), но выраженные через л различных положительных корней характеристического уравнения оказываются в пределе связанными с решениями интегральных уравнений <1) н (2).
Исключение составляют консервативные задачи, для которых решения уравнений <1) и <2) становятся неоднозначными и составляют однопараыетрнческое семейство и когда, кроме того, ураннения, определяющие Х и У в л-и приближении, становятся неопределенными из-за того, что два корня характеристического уравнения, сближаются и стремятся к нулю. Однзко и при этих обстоятельствах мы можем все-таки определить Х- и 1'-функции в приближении конечного порядка, выразив их через уменьшенное число отличных от нуля положительных характеристических корней. Можно также показать, что эти функции в пределе оказываются связанными с основными решениями соответствующих интегральных уравнений.
$60. РЕШЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ чг Как и в случае Н-функций, мы можем пытаться определить Х- н У-функции, решая уравнения (1) и <2) методом последовательных приближений по схеме 1 Х«1]Р) =1 ] Р ~ ~""'~,]Х<.>®Х< ]~9') — У<Ю(Р) У<н](Р')] ~Р',(111) в+ Р' о 1 Г<н+П(Р)=Е Ч<О+<е ] ';ЕС, Г «е <им о Х ]У<Ю Ь)Х<">(Ре) — Х<">Ы У<"> Ь)]Л<<е (112) Успех такого итерационного процесса в большой степени определяется выбором первых „пробных" функций Х<0 и Г<ц.
В качестве таких функций можно использовать полученные в $59 рациональные представления Х- н У-функций в третьем или четвертом приближениях. Для вычислительных целей этого, рззумеется, вполне достаточно. Однако во многих случаях, особенно для малых значений ты оказы- Глава Ы!/. Х- и У-функции 216 Преимущество этих функций определяется тем обстоятельством, что с их помощью мы снова приходим к формулам для отраженного н пропущенного света, претерпевшего однократное рассеяние в атмосфере. Итерируя функции (113) по формулам (111) и (112), получаем Хй>(1) =1+[о ) — ~,~1 — ехр ~ — г,( — + —,)~«ото', (114) о Усй ([о) =- е — '1о + и ) ' ',[е-'1о — е-чйа) в[1У. о Пусть (115) %' ([о) = ~',, авР.в (116) (на самом деле в правой части могут содержаться только четные степени и, так как характеристическая функция является четным поли- номом от [о), Если Ч'([в) представлена формулой (116), то Х61 и У61 принимают вид Х1 ([о) — 1 + ~~пасто~ (ты [о) 1по1 ([о) = Е-ЧЕЕ [1+,О'„, и РГ,, (т„[о)[, (117) где в о Функции Р~+ (с, [о) (у = О, 1, ...), выраженные формулой (118), совпадают с функциями Р.+,(т„[о) = [ евгоЕв,,(Г)Ш, о (119) исследованными Кингом, Хэммедом и Чепмэном, а также ван де Холстом.
Доказательство тождественности выражений (118) и (119) н исследование свойств функций Р~~,(т, [о) мы проведем в приложении 1. Таблицы этих функций были опубликованы Чандрасекаром и Брин. $60.1. Моменты функций Х<о1([о) и У1Ю(р). Моменты а„, [3н, х„и у„ [см. соотн, (7)[ Х- и У-функций используются для многих целей.
Во вается более удобным применение, пробных' функций вида Х1о1 (1,,) = 1 и У[г1 ® = е — ьго. (118) Э б0. Решения для жалах значений и 217 „втором приближении" зсе эти моменты можно выразить через функции 1 0 (тг) = ) Е (т) )о) )о ,„а)г о г 0„,,„(т ) = ~ е — ч(эЕо (т, (о) )он' —, о (120) , +~,ае0е+ь н.о(то). (о) и+ Ь =ЕнОО(Ч)+.~4а40Е+ЬВОО(т(), (о) х,, = д —.— ~ — -+ д г„а(аь0(+(, а+о+о(т,), й У+«+1 йА я уое = ХЕ аЕЕ7~н, О (т)) +,~~ Н~~~) аеаа01О), я+и )а (т)).
(о) %~ ь (121) 60.2. Уточнение приближенных решений. В $57 мм показали, что Х- и 1'-функции удовлетворяют нескольким интегральным соотношениям. Наиболее важным из них является равенство (соотн. (27)) 1 х = 1 — ~ 1 — 2 ~ %г (р) г40 + уо ~ о (122) которому можно прида)ь н другую форму г (хо+уз)111 — (хо — уо)! = 1 — 2 ~ )1г()о) (7)' (123) о Приближенные решения (113) и строго уравнению (123). Покажем, нее для уточнения приближенных обозначения (117), конечно, не удовлетворяют как можно использовать послед- решений. Для этой цели введем Х ()о) = Х(") ((о) + (1 (тг) (о (1 — е ч«"), (124) 'г'((о) = Г( ) (р)+ 5 (тд) р(1 — е-'(э) и определим Ь(;,) из условия, что хо и уо, вычисленные для функций (124), должны строго удовлетворять соотношению (123).
также исследованные ван де Холстом. Таблицы этих функций (симметричные относительно индексов л и т) для ш= 1, 2, 3, 4, 5, 6 и лг)~н были также опубликованы Чандрасекаром и Брин. Можно, очевидно, написать Глава ЛП. Х- и У-<рункции 2!8 Этот прием, заключающийся в добавлении к Х и г' поправочного члена вида Ь(т,)<в(1 — е-ч<э), можно в некотором смысле считать эквивалентным предположению о равномерном распределении источников, порождающих излучение, испытавшее в атмосфере рассеяние более высокого порядка, чем и-кратное "). Если Х и г' определены по формуле (124), то мы имеем хо = х<в"1+ и (т<)) <л (<ь) <ь (1 е вв) и<р о 1 Ув=яэ<и1+3( ) ) Ч" Ыр(1 — ™) 4р, в (125) где через х<и< и ув<н1 обозначены величиям, аналогичные ха, у, вычи- сленные по функциям Х<н> и У<и<.
Подставив (125) в (123), получим после некоторых преобразований 1 — 2 Г Ч' (<") в<э 2 (<Р(<,)Э(1 е- М)<Г,, ! э а в (126) Следует заметить, что если функция <л (<в) имеет вид (116), то < ) <л(<ь)< (1 — е ч<э)в<<в = ~~~~аут( . — Е+з(т,) ~. (127) о В консервативных случаях соотношение (126) приводится к равенству 1 — (х<н1 + <">) ~( ) — ( в +Ув! (128) 2 ( 1Р(И)и(1 — Е в<Э)Л< о Для иллюстрации изложенного способа уточнения решений Х<и1 и г <и1 (и=1 и 2) рассмотрим изотропный случай (когда Ч(р)=юе<'2) <) Это замечание не следует понимать слишком буквально, так какдаже в простейшем случае нзотропиого рассеяния полученные методом последовательных приближений решения уравнений, определяющих Хн У, не находятся точно в отношении 1:1 к решениям, полученным прн последовательном переходе к рассеянию все более высоких порядков (см.
гл. 1Х, 6 63). Кроме того, внесение поправок с помощью соотношения(123) не вполне эквивалентно предположению о равномерном распределении в атмосфере источников Расеяния высших порядков, 219 6 60. Решения для малых значений тт и поправку к первому приближению (113). В этом случае х(с) = — ыо и уз('1 = — ыоЕг(тт) 1 с 1 (129) и а(тт) = с 1 (1 — 2 йо(1+ Ег (ст)) — 1 йо~ 2 — Ез(т,)] — 2 йс (1 — Ег (тт)) (130) При йо = 1, в частности, получим 1 — Ег (тт) 1 — 2Еа(тг) ' (131) Фактическое численное сравнение показывает, что первое приближение, исправленное таким способом, дает ошибку, меныпую 1с/о для с, ( 0,2 "). Поэтому можно предположить, что второе приближение, уточненное таким же путем, даст удовлетворительную точность при тт (0,6.
Для функций Х(г> (р) и )'сг1 (р), выраженных формулами (117), моменты х(4 и у(г) будут (см. соотн. (121)1 х„г = ~~ —.1 -~~- ~ ~~~~ аз аз Оу„т нег, тчт ~и у+ ' л'и Уг = ~~ауЕ,, + ~~.'с~ а азОу+т а„г. об ~" . у у и (132) Окончательное выражение для Ь(т,) имеет вид Ь (т,) = = ~1 — ~ ф ау ( —.-+ Еу, г ) + ~~~Ь„ауан (Оу+ т „+ г + От + гзм н+г)т 1 1 — 2 ( %'(р) с(р о ~ — ( ~,;(. 1 — л„.)+ У2',,н<ссеье,.— а,'„„г) : 2 [ ~~аз()+2 — Еу+з )~ (133) г) Например, при йг 1 и р = 1 уточненное первое приближение дает для Х значения 1,16 н 1,26 при с, =0,1 и 0,2 соответственно. Точные значении в атом жс случае равны 1,159 и 1,263, Глава 701.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
