Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Х- и У-функции В консервативных случаях последняя формула упрощается и приво- дится к виду: Р 1 — Дат()~.~+ЕХ.гв(+ 7~ ханум(ОХ.«, аге+ыу+ь а+в) ~ Ь ('г ) 1 2 ~ ау( —.— Е~,„в) (134) Для иллюстрации предыдущих соотношений снова рассмотрим изотропное рассеяние.
В этом случае отличным от нуля будет только коэффициент 1 ао= 2 "о~ (135) и соотношение (133) переходит в следующее: Ь(т,) =[1 — 2 ао (1+Ее+ 2 вв(бге+Огв) (— 1 1 1 — ~>е 1 1 1 ае'(1 Ез+ моем 0 е) 1 йо( Еа) 2 2 (136) В частности, при йе = 1 получим 1 1 / 4 1 (2 — 2Ез — Ош — Оы). 2 (137) 60.3. Основные решения. В 9 58 мы показали, что в консервативных случаях решения уравнений (1) и (2) не являются единственными.
и образуют однопараметрическое семейство. В нашей теории имеет важное значение член этого семейства, обладающий свойством (55) и называемый основным решением. Если Х(р) и У(р) являются частными решениями уравненн(1 (1) и (2) (вконсервативном случае), то основное решение (отмеченное индексом в) может быть определено по формулам х< > ®=х(р)+др(х(й)+ у(р)), У(в)(и) — У(и) ли(Х(„) ( У(„)) (138) где д вычисляется из условия (55).
Таким образом, мы находим к +у (139) Так как приближенное решение, уточненное по методу, изложенному в п. 60.2, точно удовлетворяет условию для моментов ле+уе — — 1, то оно, очевидно, может быть использовано для построения по формулам (138) основного решения, при и, вычисленном по формуле(139). Бнблиаерафикеекие замечания 22! им ил и ог Р л Фн чис к не за меч линя кк 55 — 58. В этих параграфах изложение построено в соответствии с работой: 1. Сйапбгазекпаг 3., Аэггорйуз., Л., 107 (!943), 43 (раздел 1, Я 2 — 5 втой статьи).
0 59. Соответствие между рациональными Х- и У-функциями, входящими в решения уравнений переноса в п-ом приближении, и решениями интегральных уравнеяий, рассматриваемых в этом параграфе, было исследовано более подробно в работе [1]. По поводу непосредственного решения уравнения переноса в и-ом приближении см, работу: 2. С Ь а п бгааеКЬ а г 8и Аэ!Горйуэ., йи 108 (1947), 152 (разделы 1 и П этой статьи).
й 60. Метод решения для малых значений ти примененный в этом параграфе, принадлежит ван де Холсту. 3. чап де Н п!э! Н., Аэ!Горйуэ., 3и 107 (1948), 220. В работе [3) ван де Холст исследует задачу диффузного отражения и пропускания (при условии изотропиого рассеяния), представляя уходящие излучения через излучения, претерпевшие в атмосфере однократное, двукратное и т.
д. рассеяние; прн этом он на каждом зтане приближения полагает, что решения сохраняют форму, вытекающую из точной теории и принципов инвариаитности. Изложение этого вопроса в настоящей книге построено в соответствии со следующими статьями: 4. С11 апбгезеК 1гаг 8., Аэ!Гор!туэ., е., 108 (1948), 92; 109 (!949), 555. Функции Р)ем введенные в этом параграфе, были рассмотрены в следующих работах: 5. К ! и 8 Ки РЫ!. Тгапз. коу. Зос.
Копбоп, А, 212 (1913), 375. 6. Н ашгаа 4 А., 3 Ь а рш ап 8., РМ!. Май., 28 (1930), 99. Свойства функции Рл„, 0,е и и О и достаточно подробно исследованы ван де Холстом [3). Таблицы этих фуйкиций можно найти в работе [4). Г Л А В А !Х ДИФФУЗНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ $61. ВВЕДЕНИЕ. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ В этой главе мы возвратимся к задаче о диффузном отражении и пропускании плоско-параллельными атмосферами и покажем, как при различных предположениях об условиях рассеяния могут быть найдены точные решения этой задачи. Метод, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что мы начинаем с интегральных уравнений, выведенных из принципов инвариантности в гл.
Н!1, приводим их к стандартной системе интегральных уравнений х(Р) =1-~-в~ !' ', !Х(м) х(Р') — у(, ) у(Р')) 1Р' о У!~ ) =а-ЧЛ-'+!А ~ Ч !Н) !У(! )Х(Р ) — Х(М) У(Д>ав' <2) и, наконец, связываем единообразным способом входящие в решения постоянные с моментами Х- и у-функций, соответствующих рассматриваемой задаче. Таким образом, для этого случая теория подобна в главных чертах развитой в гл. Н! теории диффузного отражения в полубесконечных атмосферах.
Имеется, однако, важный пункт, в котором рассматриваемая здесь теория отличается от теории переноса в полубесконечных атмосферах. Дело в том, что во всех консервативных случаях интегральных уравнений, выведенных из принципов инвариантности, недостаточно для однозначного определения физического решения. Как мы убедимся ниже, общие решения соответствующих уравнений содержат некоторый произвольный параметр.
Природа такой неединственности решений неясна, но мы увидим, что во всех случаях неоднозначность может быть устранена путем обращения к К-интегралу (гл. 1, $ 10), который всегда допускают консервативные задачи. Вопрос о единственности решений привлекает наше внимание к обстоятельству, которое мы до сих пор игнорировали и которое заключается в том, что нет никаких оснований для предположения, что принципы инвариантности могут сами по себе привести к 'определенным решениям различных задач.
Принципы инвариантноети и 4 62. Законы диффузного отражения и нроиугкиния $62. ЗАКОНЫ ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ ПРИ ИЗОТРОПНОМ РАССЕЯНИИ Основные уравнения задачи о диффузном отражении и пропускании изотропно рассеивающей атмосферой при альбедо йо~(1 были уже получены в гл. Ч!1; 6 54. Эти уравнения имеют вид 7[0 Р)=- — ~[п' Р~ Ро); 1[т1 — Р)= Т[тб Р~ Ро) Р Р ( — + ) ~ [тг! Р Ро) = озо [Х[Р) Х[Ро) — 1'[Р) 1 [Ро)[ эо [З) [4) ( — — — ) Т[т,; Р Ро)=~о[1'[Р)ХЬо) — Х[Р) у[Ро)[, 1 1 эо д5 от Ь) ~ Ьо) ( )=~ 1 1тдг Г! 1 — — — [ — = йо~ — ХЫ ~'Ьо) — — У[Р) ХЬо)~. эо э) д'з !во и [6) [7) уравнения, к которым онн приводят, представляют собой лишь необзсодизгые условия, и ниоткуда не следует, что они являются также дослгашочнызги.
Поэтому удивительным является как раз то, что принципы инвариантности оказываются в столь многих случаях достаточными для однозначного определения решений. Так, в теории переноса в полубесконечных атмосферах доказывается, что выведенных из принципов инвариантности уравнений достаточно для полного определения физических решений. Обратно, из единственности математического решения можно заключить, что физическая формулировка задачи была в этом случае полной. Такое положение вещей является в физике несколько новым. Обычно физическая задача формулируется с помощью уравнений и граничных условий, причем, вообще говоря, предполагается, что правильно поставленная физическая задача имеет единственное решение, т, е. часто единственность математического решения выводят из полноты физической формулировки.
Положение, с которым мы сталкиваемся, решая задачу об 1тловом распределении уходящего излучения при помощи интегральных уравнений, выведенных из некоторых непосредственно очевидных „кинематических" условий, налагаемых на решение, противоположно обычному; приступая к решению, мы не имеем уверенности в том, что уравнения содержат в себе все физические условия задачи. Тем не менее, если показано, что они обладают единственным математическим решением, как это имеет место во всех случаях, кроме случая чистого рассеяния в конечных атмосферах, мы делаем вывод, что постановка соответствующей физической задачи была полной. 224 Гааза IХ. Диффузное отражение и пропуенание череа величины о и Т по Далее, Х- и Р-функции выражаются формулам г 2 о 1 уЬ) =е ™+ 2 ) р(т;, 1 г о лн' (8) а1вя (9) В силу уравнений (4), (5), (8) и (9) мы имеем 1 Л1еl Х(9) = 1+ 2 йо1е ~, (Х(9) Х(р.') — 1'(9) У(9')1, о (19) У(1е)=е-чы+ 2 йон ~ ',11'(9)Х(9) — Х(9) 1'(1е)5 111) о Таким ооразом, Х и 1' удовлетворяют интегральным уравнениям аида (1) н (2) при характеристической функции 1 'К (9) = —.
то — сопз1. (12) При рассмотрении предыдущих соотношений интересно установить, действительно ли эквивалентны уравнения (6) и (7) интегро-дифференциальным уравнениям теоремы 1 (гл. ЧП1, 9 56). Так, дифференцируя уравнение (8) по т, и используя соотношение (6), получаем (13) Подобным же образом, дифференцируя уравнение (9) и используя соотношение (7), находим 1 — = — — е ':В+ — йо ) ~,! ~; Х(1е) У(1е') — 1'(ре) Х(9')~..(14) дее 9 2 Н вЂ” Н' ьв' о Объединяя последнее равенство с соотношением (11), приходим к уравнению 1 д~/ д + — = —, оХЫ ~ — ", уЬ').
(15) о Очевидно, что уравнения (13) и (15) согласуются с уравнениями (13) и (14) гл. ЧШ, 9 56. Наконец, заметим, что, согласно соотношениям (3) — (5), можно представить рассеянную и пропущенную Е д2. Законы диффузного оиграгкения и ироиуенания 225 интенсивности в виде г (О1 9) <оои + (Х(9) Х((ео) 1'(9) у(9 )] '(' И= 4 "ор; — '„,(уЬ)ХМ) — Х(~) у((о)). (16) нлн 1 (огр (О, йч ~р)=2 ~ З(т1', 9, 9) — '~ (18) о Аналогично, интенсивность света, пропущенного диффузно в направлении ( — 9, чг) под УРовень ты Равна 1 (19) о С другой стороны, интенсивность падающего поля излучения в направлении (р, у) составляет . (О, Ь гр)= — „-.
(20) А интенсивность непосредственно пропущенного света в направлении ( — 9, а) на уровне т, определяется выражением (21) Отсюда ! 7,„(О, +н,т)+7 (О, +н,т) (О + т) поп. о и ~прои. (тг Р о) + е гид. (О' Н т) — е 'Л' г (О,— и,т) = 1'Ь). + 2 ~ Т(т119,9) — / —— (23) 62.1. Смысл Х- и У-функций. Соотношения (8) и (9) позволяют следующим образом интерпретировать Х- н 1'-функции.
Пусть на границу атмосферы падзет по всем направлениям излучение с угло- вым распределением 7,. (О, Р', у') = — ", ( — 1 < ° <+1) (17) Тогда интенсивность света, диффузии отраженного в направлении (у,, о), выразится формулами (см. гл. 1, соотн. (122)) 1 г Уо„(О .,)=4' ~ ~З(т..,., „),,(,. ~„, о о 226 Глаза /Х. Диффузное отражение и пропускание Другими словами, Х- и У-функции определяют относительные изменения интенсивности соответственно в направлении (р, <р) при т=О и в направлении ( — р<у) при с=т, е основном поле излучения У„„(0, <ь', <у) = Уз! р' ~-<, обусловленном наличием атмосферы ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
