Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 23
Текст из файла (страница 23)
й 45. ЗАКОН ПОТЕМНЕНИЯ К КРАЮ В ЗАЛАЧЕ С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ПОТОКОМ В СЛУЧАЕ УГЛОВОЙ ФУНКЦИИ РЕЛЕЯ Так как релеевское рассеяние консервативно, задача с постоянным полным потоком имеет смысл (см. гл. 1, 9 11). Соответствующее уравнение переноса было сформулировано в гл. 1, п. 11.2. Нам не придется, однако, обращаться к этому уравнению, чтобы определить угловое распределение уходящего излучения. Последнее можно быстрее получить из закона диффузного отражения, выведенного в предыдущем параграфе, и из принципов инвариантности.
Так, из соотношений 1см. гл. 1Ч, соотн. (12) и (17)) 1 оа Г(0Р)71Р+4ЗРРР)Р ЯРЫ~~](82) о о и ~см. (5) и (11)) оа — '~'З1Р,; „~, Т), 1= ' 99, Н1)Н ~Ц3 —.1+„~)+„Р) (33) мы получим 1 3 Р( + 3 Нс„) ~ и 720" 1 [3 — с(Р+Р')+Рр.') сгР'~ = о 1 З,~ — 3 Н( )~ Р'эЖР,)~3 — им +Р' — с] Л~ '~, (34) о Н-функции, содержащиеся в формуле (29), вычислялись Ерин и автором по методу, изложенному в гл. Ч, 9 41, Результаты вычислений представлены в табл. ХП1. Относящиеся сюда различные постоянные даны в табл.
Х1Ч, Рлиеа И. Задачи на общие законы рассеянии С другой стороны, в соответствии с соотношениями (21) и (22), гл. Ч, имеем 1 — 1 Н(1а)(3 — 9 )1аб1а= — (За — ио) = 3 г 3 о 1 = ~ 3 ( (3 — 1ао) 1ав а(1а1 ' = ~'0,3 о (35) 9+ 16 Н(1а) ~ а Н(1а')сЕи'=Н(1а) У'0,3. (36) о Используя последнее равенство в соотношении (34), получаем 1(0, 1а) 4 Р [Н(1а) к~о 3+ 16 Н(1а)(ио — сио)1. (37) Откуда, подставив вместо ио его значение (35), придем к выражению У(0, 1а) = — Р(Зиа — сао)Н(1а).
9 (38) Так как с=во/и„то (38) прииимает вид 7(0, 1а) = — Р(Зио — ио) Н(1а), 64аа или (см. сооти. (17)) (39) 1(0, 9)= 2 РН(9), 2иа (40) Р = 2 ~ 7(О, 1а) 1а бр, = 1 Р~ Н® 1а иа1а = Р. (4Ц о о Далее, так как функция У(0, 1а) пропорциональна Н(1а), можйо, скомбинировав интегралы (14) и (35), получить 1 о 1(о. и)(з иа) ли 1 1 у о,з ~1(О, р)(З вЂ” Ио) Ибр о (42) Последнее выражение представляет собой аналог соотношения Хопфа — Броиштейиа для рассматриваемой задачи.
что выражает искомый закон потемнения. Следует заметить, что соотионаеиие (40) ие содержит в себе противоречия, так как З 43. Закон потемнения к краю 145 Используя Н-функции, протабулированные в 9 44 и в гл. 6 42 (табл. Х1, случай йо — — 1), мы можем теперь сравнить точный закон потемнения, выраженный формулой (40), и соответствующий закон (гл. 1У, сооти. (52) н гл. У, соотн. (110)) для случая изотропного рассеяния. Такое сравнение проведено в табл.
ХЧ. Рассматривзя эту таблицу, мы замечаем, что решение в случае релеевской угловой функции дает большее потемнение по направлению к краю диска, чем решение при изотропном рассеянии. Точно так же, релеевская угловая функция дает ббльшую интенсивность в центре(9=1) и меньшую у края диска (Р = 0), чем изотропное рассеяние при одном и том же полном потоке.
Такое различие между двумя видами рассеяния объясняется, очевидно, вытянутостью вперед релеевской угловой функции. Таблица ХЧ Сравнение законов потемнения к краю в атмосфере с постоянным полным потоком для случаев изотропного и релеевского рассеяния l(0, н)77(0, 1) 7(о, н)7Р угловая функция Релея угловая функция Релея изотропвое рассеяние изотропное рассеяние 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 0,43301 0,49223 0,54013 0,58493 0,62802 0,67001 0,71123 0,75188 0,79210 0,83197 0,87156 0,91092 0,95009 0,98909 1,02796 1,06671 1,10535 1,14390.
1,18238 1,22078 1,25912 0,41876 0,48028 0,52961 0,57562 0,61981 0,66282 0,70501 0,74660 0,78771 0,82846 0,86891 0,90912 0,94912 0,98896 1,02864 1,06820 1,10764 1,14698 1,18624 1,22543 1,26455 0,34390 0.39094 0,42897 0,46455 0,49878 0,53213 0,56486 0,59715 0,62909 0,66075 0,69220 0,72346 0,75456 0,78554 0,81641 0,84719 0,87788 0,90850 0,93905 0,96955 1,00000 0,33116 0,37981 0,41881 0,45520 0,49014 0,52416 0,55752 0,59041 0,62292 0,65514 0,68791 0,71893 0,75056 0,78206 0,81345 0,84473 0,87592 0,90703 0,93808 0,96906 1,00000 146 Глава КА Задачи на общие законы расдеяния где (~ [ 1 ) Уо> (>г, >г ) =ф(Р)ф>(р ) — х Р(>г) 7>(>го), (44) ( — '+ — ') З» (р, Ро) =Н< >®Н«>(р,), 1 д е Ф Ь) = 1+ 2 о [ З"> Ь Р') ф о г ф(Р) 1 2 оХ о а НР>(>г) есть Н-функция, выражевиая через характеристическую функцию % 0> (и) = — х Во (1 — >га). (48) (45) (46) 46.1.
Форма решения для фуикции У'>(Р, Ро). Исключение ЗФ> из уравнений (46) и (47) с помощью соотношения (44) приводит к системе двух интегральных уравнений относительно г) и ф, именно, к уравиеииям (61) и (62) гл. !Ч. Как и в 9 44, ре>пая эту систему уравиеиий, мы руководствуемся формой решения, полученного при непосредственном приближенном решении уравнения переноса по Иетоду, изложенному в гл.
П1. В настоящем случае предполагаемая форма решения имеет зид ') ( — + — ) ЗФ> (Р Ро) = >'о =Н(>г)Н(ро)[1 — с(>г+ио) х(1 Фо)>гро[, (49) где с — постоянная, а Н(и) — решение (ограиичеииое в полуплоскости )г(е) ) О) уравнения 1 Н(>г) = 1+ — Фо>гН(>г) ~ + — о О" Н(>г ) гу>г (50) о г) См. СЬ а и йг а з еК >г а г 3., Амгорвув. 1., 163 (1946), 165 [сооги. (108В $46. ЗАКОН ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ РАССЕЯНИЯ С УГЛОВОЙ ФУНКЦИЕЙ Фе(1+х сов О) Как было уже показано в гл. )Ч, 9 34, закон диффузного отражеиия в случае рассеяния с угловой фуикцией Фо(1+хсозВ) может быть представлен в форме 7(0 г о) в Г[с(о>(Р Р )+ +х(1 — >г ) "(1 — р«~~) '50>(Р >го)соз(гро Е)[, (43) з еб.
Закон диффузного бтраасентия '147 з1г([г) = 2 Йо [1+ х(1 — Йо) ра[, 1 (51) мы имеем [гл. Ч, теорема 3, соотн. (28) и (29)[ 1 2 г ао = 1+ — Йо [ао+х (1 — Йо) а,[ 4 (52) 1 Н(г') !1+х(1 — Й )[гч [ Н( ) Ф' = г+ 1"' о Н (о) — 1 — х (1 Йо) (аз рво) (53) — ЙоВН (В) 2 Рассматривая сначала ф, получаем 1 Н( ') Ч(р) — 1+--орНЬ)~ [1 — сЬ+9) — х(1 — -.) рр [Ф— о =1+ — ЙооН(р) НЬ') 1 Г, Г!+х(1 — Йо)яг — с — х (1 — Йо) [г1 г[[г'= о = 1+ ~Н(р) — 1 — 2 хйо(1 Йо) (а! [гао) [гН(р)1— 1 1 — 2 о>оиН(и) [с+х(1 — Йо) И ао = 1 = Н ([г) — 2 ЙорН([А) [сао+ х (1 Йо) а,[; (54) при преобразованиях было использовано соотношение (53). Таким образом, ф(р) представляется в виде ф(р) =Н(р)(1 — рр) (55) 46.2. Проверка решения и выражение постоянной с через моменты функции Н(р).
Как н в 9 44.2, для того чтобы удостовериться в том, что Уо> имеет форму (49), нужно прежде всего вычислить ф и ф из соотношений (46) и (47), затем нужно потребовать, чтобы в результате подстановки полученных выражений для ф и Р в уравнение (44) мы получили предполагаемую форму решения, и, наконец, нужно показать, что на основании етого решения могут быть установлены требуемые соотношения. Вычисление ф и ф из соотношений (46), (47) и (49) не представит труда, если должным образом использовать интегральные свойства Н-функций. Так как Н(р) теперь выражается через характеристическую функцию Глава И. Задача яа общие законы раесеяиис[ [48 где 1 р= — йо[сао+х(1 — соо! ас!. (56) ф (а), следовательно, имеет вид ф([) =УРН®, (58) где 1 с[ = 2 [йоса,+(2 — йо'о)[ (59) Подставив, далее, выражения (55) и (58) в (44), получим ( [ ) о<о> (а [во) = Н(а) Н(ро) [1 — р(а+ ао) (х4са — ро) аао!.
(60) 1 1ч о Сравнивая (49) и (60), мы видим, что должны иметь место равенства 1 Р=с= 2 во[сао+х(1 во) "с! (6! ) хсзв — РЯ = хс!в — св = х (1 — йо). ($2) Из (61) находим, что с =хв (1 — во) 2 — йоао (63) При этом значении с постоянная с[, представленная соотнон:ением (59), принимает вид д = [хйо(1 — й ) сс', +(2 — й ао)Я! = 2 (2 — йово) о о = 2[2 ) [4 — 4йоа +во[ив+х(1 — йо)сс',[!. (64) Осзрапсаясь теперь к ф(а), получаем 1 1 ф(9) =а — — йо И([с)~ ~, [1 — с(р.+а') — х(1 — во)[ва [с!а~= н+' о 1 =- а — — воаН(а) 1 Н(а) [[1 + х (1 — йо) аа! (1— 2 ' ' .с с+с" ) о — а' [с + х (1 — йо) [с[~ с[а' = =а+ —, воаН(а) [[с+х(1 — йо)а! а,— [1+х(1 — йо) [с~! ссо) + +9 (Н([) — 1 — 2 хйо(1 — йо)[ас — [ ссо)аН([в)1= = [сН(а) [ — йосас — — воао+ 1) .
с'1 1 (57) 4 4б. Закон диффузного отразкенан 149 Это последнее выражение может быть упрощено с помощью формулы (52). Находим, что [4 4й "О+4йо(ао !)[ 1 2 (2 — йааа) 0 0 илв 2 (1 йа) 2 — ва'а (65) (2 — йаеа)г [4 (1 — й ) — хйо(1 в ) 0[[. х (1 — й,) 0 0 (66) Согласно (52), имеем 1 гд — хйа(1 — й ) аг =4й [1 — а + — й аа!. 0 О[ 0 4 0 /' (67) Подставив последнее соотношение в (66), получим хчя — са =, (4 — 4й а + вааа) = х (1 — й ), (68) х(1 йа) - -2 а (2 — йааа)а 0 0 0 ' откуда следует, что о и с подчиняются требуемому условию. При д и с, представленных формулами (63) и (65), функции 4г ([г) = Н(9) (1 — с[а) и ф ([г) = д~гН(9) [69) дают решение интегральных уравнений (61) и (62) гл.
1Ч. Наконец, комбинируя соотношения (43), (45) и (49), мы можем выразить закон диффузного отражения в форме 7(0, [и, р) = — ор [ Н ([а) Н Ьо) [1 — с ([и+ 90) — х (1 — 0) р["0[ + 1 -[-х(1 — [а) '(1 — йаг) 'НЬ!(и)Н(П([ьо)соз(во в)[ а (70) где Н([г) и,Н(п (9) определяются с помощью характеристических функций — йо [1+ х(1 во) 90] и — хйо(1 [ая) ! ! (71) Г = Х (1 ва) во- за (72) алась ао и а — моменты нулевого и первого порядка функций'Н([), Остается показать, что д и с, представленные выражениями (63) и (65), удовлетворяют соотношению (62). Чтобы проверить это, вычислим хгтв — сз по формулам (63) и (65).
ГГолучим хг)я — сз = „.[4(1 — йа) — хйа(1 — ва) а,"[= х (2 — йааа)а Таблица ХЧ! Функции уу(р), полученные нз точных интегральных уравнений (случай л = 1) ва — — 0,5 ва = 0,6 во=01 йо= 02 в =04 й =оз Т а б л и ц а ХЧ1 (Продолжение) йа=О 925 йа = 0,8 ве = 0,7 йе=0,9 йо = 0,95 йе=О 975.' 1,0000 1,! 096 1,19! 7 1,2645 1,3313 1,3936 1,4523 1,5079 1,5608 1,0000 1,1153 1 2029 1,2814 1,3539 1,4222 1,4869 1,5487 1,6078 1,0000 1,1045 1,1819 1,2500 1,3120 1,3695 1,4233 1,4740 1,5220 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 1,0000 1,0735 1,1244 1,1673 1,2049 1,2387 1,2693 1,2973 1,3233 1,0000 1,0876 1,1501 1,2038 1,2516 1,2951 1,3351 1,3722 1,4068 1,0000 1,1223 1,2169 1,3027 1,3830 1,4593 1,5323 1,6026 1,6706 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,0000 1,0089 1,0145 1,0188 1,0224 1,0254 1,0280 1,0303 1,0324 1,0343 1,0359 1,0375 1,0389 1,0401 1,0413 1,0424 1,0434 1,0444 1,0453 1,0461 1,0469 1,0000 1,0183 1,0297 1,0388 1,0463 1,0528 1,0584 1,0634 1,0678 1,0719 1,0755 1,0788 1,08!9 1,0847 1,0873 1,0897 1,0919 1,0940 1,0960 1,0978 1,0995 1,0000 1,0280 1,0459 1,0602 1,0722 1,0825 1,0916 1,0996 1,1069 1,1135 1,1194 1,1249 1,!300 1,1346 1,1389 1,1429 1,1467 1,1502 1,1535 1,1566 1,1595 1,0000 1,0383 1,0632 1,0832 1,1003 1,1151 1,1281 1,! 398 1,1504 1,1600 1,1688 1,1769 1,1844 1,1913 1,1978 1,2038 1,2094 1,2147 1,2196 1,2243 1,2287 1,0000 1,0492 1,0817 1,1084 1,1311 1,1511 1,1689 1,1850 1,1996 1,2129 1,2252 1,2365 1,2470 1,2568 1,2659 1,2745 1,2825 1,2900 1,2972 1,3039 1,3103 1,0000 1,0608 1,1020 1,1361 1,1656 1,1918 1,2153 1,2366 1,2562 1,2742 1,2908 1 3063 !,3207 1,3342 1,3468 1,3587 1,3699 1,3805 1,3905 ! 4000 1,4090 Таблица ХЧ1 (Продолжение) йо= 0,7 йо=0,8 йо=09 йо — — 0,925 йо = 0,95 йо=О 975 1,6647 1,7195 1,7724 1,8235 1,8730 1,9210 1,9675 2,0127 2,0567 2,0994 2,1409 2,1814 Таблица ХЧП Моменты ао и к, и постоянные д и с йо 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,3473 1,3697 1,3907 1,4103 1,4288 1,4462 1,4627 1,4783 1,4931 1,5072 1,5206 1,5334 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,925 0,950 0,975 1,4392 1,4697 1,4985 1,5257 1,5515 1,5760 1,5993 1,6216 1,6428 1,6631 1,6825 1,7011 1,032729 1,068832 1,109034 1,154378 1,206366 1,267352 1,341368 1,436535 1,574492 1,623024 1,683484 1,767379 1,5677 1,6112 1,6528 1,6926 1,7308 1,7674 ,1,8027 1,8367 1,8694 1,9010 1,9315 1,9610 0,519588 0,541348 0,565767 0,593541 0,625686 0,663798 0,710639 0,771792 0,862276 0,894620 0,935277 0,992380 1,6114 1,6598 1,7063 1,7510 1,7941 1,8356 1,8757 1,9144 1,9519 1,9882 2,0233 2,0574 0,949003 0,895740 0,839686 0,780108 0,715914 0,645375 0,565482 0,470161 0,343079 0,300780 0,249569 0,180632 0,024654 0,048491 0,071260 0,092605 0,111984 0,128520 0,140649 0,145147 0,133123 0,124451 0,1! 0873 О 087387 1,7365 1,8005 1,8627 1,9234 1,9826 2,0403 2,0967 2,1519 2,Мбв 2,2586 2,3103 2,3609 сь з !! о о 44 о ,3 ! !! 'з сч О О з !1: Фо з 1! о з 'З О о з о а з сс а Ф Ф Ф Ю 4Ь 44 И й 4С О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
