Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Й 1 (55) а1 " аа ь ь н а з откуда следует справедливость равенств (43). Решение уравнения (32) должно, таким образом, иметь вид П( +ы 1 «=з (56) " " '" П(' = '«) ' ьь И(р) =1+ро(р),'5',",' ';"О(р,), ~=ь (57) где а з Ц = 1, ..., л, а = а у) и раз.(у = 1ь ..., п, р у —— — ру) — веса и точки деления, соответствующие рассматриваемой квадратурной формуле ') в интервале ( — 1, +1). Единственное регулярное ь) Понятно, что здесь иет необходимости ограничиваться квадратуркой формулой Гаусса, так как при доказательстве мы не используем частиые свойства гауссовых делений. Если мы требуем, чтобы решение было регулярным и отличным от нуля для всех р) О, то'очевидно, что в (56) всегда нужно выбирать множитель (1+ й„р).
Итак, мы доказали следующую теорему. Теорема 4. Рассмотрим уравнение Глава У. О-фуннции 124 и отличное от нуля при (а )~ 0 решение этого уравнения имеет вид (58) а=1 где (22(а = 1, ..., и) — неотРицательные коРни соответствУющего характеристического уравнения 1 = 2 ~~~а~ — 21 а=1 л2 2' (59) Из теоремы (4) следует, что точное решение интегрального уравнения (1) можно получить как предел при увеличении количества точек, делящих интервал. Во всяком случае теорема подсказывает простой практический метод для численного определения Н-функций.
Так, начав с приближенного решения для Н(р) (например, в третьем приближении), мы можем определить точную Н-функцию методом итераций, применяемым к интегральному уравнению, которому она должна удовлетворять. Этот метод будет изложен более подробно в 9 41. 39.1. Представление решения уравнения (32) в виде комплексного интеграла. Исходя из тождества (60) можно получить представление Н(а) в виде комплексного интеграла.
Для этой цели рассмотрим интеграл К(а) = —. ) 1и Т(ге) (61) 2— . ~ 1п(1+ — ) 2 2 — — 2!п(1+ — ), (62) взятый вдоль всей мнимой оси. При таком определении функции К(а) видно, что она регулярна при )с(а) ) О. Вычислив вычет в правом полюсе, получим З 40. Точное решение интегрального уравнения для Н(Р) 125 2 1,~ 1п(1 ) г — г 21л(1+ — ), (63) -гсо снова при условии, что 1т(з) ) О, 4чс(а) ) О. Отсюда (64) Используя этот результат, получаем К(я) —. ~ ( )~~1п (1 — сэ-чоз) — ~~1 1п (1 — —,)~ -гсо и г = — '~'„1п(1+А, )+'~',1п(1+ — ')= 1и Н (з).
(66) Следовательно, 1и Н(л) = —. ~ 1и Т(ш) (66) что и дает искомое представление решения. В й 40 мы убедимся, что решение интегрального уравнения (1), ограниченное в интервале 0 (Р (1, также представляется интегралом вида (66), в котором функция Т(е) выражена не формулой (60), а соотношением Т(л) = 1 — 2зв ) (67) о я 40. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ Н(я) Следующее общее исследование интегрального уравнения, которому удовлетворяет функция Н(Р), принадлежит Краму.
Перейдя на плоскость комплексного переменного л, запишем уравнение (1) в виде ,',) — — 1 — ),+,Н(Р)Чг(Р) Ф о Характеристические функции, встречающиеся в астрофизических приложениях, четны, действительны, неотрицательны, ограничены если 1т(л) ~ О, 4ч'(а) ) О. Подобным же образом, вычислив вычет в левом полюсе,, будем иметь Есо Глава К Н-функции 126 в интервале 0<)о <1 и удовлетворяют условиям ! о ~ ~Чг(9)~о(9 < —, ~ ~Ч'(р) )Ир,-+0 прн 8-+О. (69) о о Нас интересуют только решения, ограниченные в интервале 0 ()о < 1! ( Н (и) ( < М (О < р, < 1).
(70) Пусть Н(а) — решение уравнения (68), удовлетворяющее условиям (69) и (70). Тогда функция 1/Н(г) будет аналитична во всей полосе плоскости а между — 1 н О. Позтому, применив несколько раз уравнение (68) (см. 9 39 уравн. (44)), мы получим везде, кроме — 1 < а < 1, ! ! — —, Н ()о) Ч' ® Н (р') Ч (1о') г()о (о' о о Следовательно, ! 1 , г 9 (н) Н( ) ( ) — — — 1 — 2ав ), о !71! = 7'(л).
о (72) Все еще исключая случаи — 1 < а . 1, можно, подставив вместо 1)Н(а) его выражение по формуле (72), придать уравнению (68) вид ! ! ! Н( — а)~1 — ~ — ~'а!)о — ~ — г'а!)!~=1 — ~ ~ Н(1о)г)1о (73) о о о =~ ~Н®Ч (р)Н(и')Р(и') ',( —,' -)- —,',) (ргр,'= о о ! ! — Н(~) Р(„);~' "+',Н(р) Р(„;)+ о о ! ! + ~,— ""',Н(р)Ч (~")р'~„— "',,Н(р)97(р)= о о ! ! ) ~ ~~~Н()о) (~ — 1 ~!г)о+ ) ~~' ~,Н(р')(1— о о ! ! 1 — — +1— 1 1 г !Р(в) г Ч!(з!) Н (х) Н( — 2) а+ Н а — оу — г ) — г(1о — л ~, г(р,'. (71) о о й 40. Точное решение интегрального уравнения для Н(н) 127 1и Н(г) = — ~ 1и Т(ш) о, е]чв. 1 г г (76) В консервативных случаях это — единственное ограниченное в интервале 0~(г~(1 решение.
Однако в неконсервативных случаях возможно и другое решение, также ограниченное при 0~(г(1, но имеющее полюс на действительной оси для некоторого значения г > 1. Мы установим позже связь между этим решением и решением (72). Функция Т(г) четна и регулярна в полосе от — 1 до +1.
В частности, положив го= и+]о, получим е г Т(г) = 1 — 2 ~ Ч' (9) еф. — 2 ~ ~ ~ е]]о сю о о 1 г — 1 2 ~ Цо(]о)ф]в — 2 ~ ( 1,), ]вой~(]о)ф.. о о (77) Из этого соотношения следует, что мнимая часть Т(г) может обратиться в нуль только в том случае, когда гв действительно. Нули Т(г), если они существуют, должны поэтому лежать либо на действительной или мнимой осях, либо в бесконечности. Если и= О, то формула (77) принимает вид 1 1 Т(г) =1 — 2 ~ %'(9)аГр; — 2 ~ ~ ~ е]]е о о (го = и — вещественное число).
(78) Выражение, стоящее в правой части, монотонно возрастает при «(О и и) 1. Отсюда следует, что в консервативных случаях един- или, после небольшой перегруппировки членов, 1 г Н( — «)~1 — ~ ' е1и~ = 1 + ~ ~™ [Н( — г) — Н(9)]И]е. (74) о о Введя в это уравнение г вместо — г, получим 1 1 Н(г) ~1 — ~ ~ = 1 + ~ — ]Н(г) — Н(]о)] Нй. (75) о о Так как обе части этого уравнения аналитичиы при 77(г) ) О, то оно справедливо также и при 0 < г а, 1, Обратно, соотношения (72) и (75) вместе взятые показывают, что Н(]е) есть решение уравнения (68). Покажем теперь, что при условиях (69) и (70) единственное аналитическое в полуплоскости ег'(г) ) 0 решение представляется формулой (см.
$39 уравн. (66)] 0 бд. Тонное решение интеараланосо ураенеяия для Н(в) 129 Если г переходит из четвертого квадранта в третий, то мы преобразуем контур так, как указано иа фиг. 9, б, и получим тот же результат (84). Следователь- ) ио, К(г) определяется единствеииым образом для всех г и т (лоос ~ В( ). (Ва) Пусть теперь Н(г) =К(г)(1+ г)", (86) т тогда будем иметь 1 — — Т (г), (87) и б т. е, Н(г) удовлетворяет Фие р йефориярованные кои(уры ляя ана- авиеиию (72).
яитнческого продолжения функции К(г) уравнению ( ). (соотн. (83)) за мнимую ось. Далее, используярезультат, выраженный соотиошеиием (64) (см, сооти.(82) и (86)), получаем (оэ 1и Н(г) = — ) (1и Т(чо) + и!п(1 — чоа)) е(то+ и (и (1+ г) = — (со = — '. ~ (п Т(ш) а', 7о. (88) Остается доказать, что определенная таким образом функция Н(г) удовлетворяет уравнению (75); тем самым будет доказано, что Н(г) является решением уравнения (68). Если теперь мы положим х+(у=ге(а, то из определеиия К(г) для х) 0 будем иметь ! и К(г) = 0 ( ~ а =0( ) „', *)= (о=го,) 2 =0(1)+О ~ ~ „'"„'.„~=. г )+ ( д ~о1 — а(па)+созе) а =0(1)+0( ) ' ~= (па=о) — з(пй) а = 0(1)+ 0((п зес 0). (89) Глаза У.
Н-функции Другими словами, существуют такие постоянные а и Л, что [1п [К(«) [ [ ([!и К(«) [ ( а+Л [и вес О, или К(«) = О (зес 0)ч и 1/К(«) = О (зес О)". Отсюда при достаточно больших ч [см. соотн. (86)[ имеем Н(«) = О [ (1+ г") зес" 0[ (90) (98) (94) Из этого соотношения получим, использовав равенство (87), 1 ф( — «) = Н( — «) < Т(г)+ ) — %'([о)И[о ~— « -[- и 1 — 1 — [ — [Н( — «) — Н (и)[ 1Р ([о) фо = « «-[-в о — = О (зес" О).
1 И [г) (91) Таким образом, если г-+О при [0[(в)4, то К(«)-+1. Действительно, 1и К(«) О ~ [ [1и В ([о)[ о =О~ [ [[иВ([о)[ о «~+О~ [ о о =о ( [ о, ~+О(г ~ — о)= = о (1) + О [ з ) = о (1), (92) если выбрать сначала 8, а затем и г достаточно малыми. Отсюда Н(«)-о1 при г-+О ([0[( — в). Положим теперь [см. уразн. (75)[ 1 1 ф(«)=Н(«) (1 — ~ ~ о[[о~ — 1 — ~ ~ [Н(«) — Н(р)[ф:. о о 6 еО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
