Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Консервативный случай (йо —— 1) не требует особых исследований. Мы можем получить соответствую91ие уравнения, просто положив йо — — 1 в (41) и (42). Легко видеть, что в выражении, стоящем в правой части, переменные разделяются 1 Глава 1К Принииаы инвариантновми 1Об 33.2. Закон потемнения в задаче с постоянным полным потоком. В случае консервативного изотропного рассеяния (по — — 1) уравнение (36) принимает внд 7(0, р) — — У 7(0, р ) 7р + — У Х Я Ь, й )7(0, р ) г; 7р, в в или (43) где У(0)= —,' ~7(0, р) 1р, о (44) а [см.
соотн. (41)1 г(р, р)= ",Н(р)Н(р'). Уравнение (43) переходит поэтому в следуюшее (45) а 1(0, [в) = У(0) ~! + — рН([в) ~ ~, фа']. (46) в Используя теперь интегральное уравнение, которому удовлетворяет Н(р) [т. е. уравн. (42) при По — — 1[, получим 7(0, р) =У(0) Н(р), (47) ЗЗ.З. Вывод соотношения Хопфа — Бронштейна из принципов инввриантности.
При консервативном изотропном рассеянии соотношение (17) принимает вид 1 7(0, [в)= [Рр +~— ~ ЗЬ !")[в Ф] 3 Г 1 (43) что согласуется с формой 1(0, р), найденной в гл. Ш [соотн. (61)[. Однако, чтобы достичь полного согласования, нужно проверить выполнение соотношения Хопфа — Бронштейна. В гл. Ч [й 36, соотн. (25) и (26)[ будет показано, чТо это соотношение является непосредственным следствием некоторых элементарных интегральных свойств Н-функции. Интересно, однако, установить соотношение Хопфа— Вронштейна из одних только принципов инвариантности.
Это будет сделано в следуюшем разделе. 3 Зз, Приведение интвграленого уравнения для фуннции 3 107 Интегрируя это равенство по Р, получаем следующее соотношение г (О) = 15 Г ~1 + ~ ~ 8 (Р, Р') — ае» ' сер ~. (49) в о Подобным же образом, умножая (43) на 2Р н интегрируя по Р, находим 1 1 (50) Тождественность выражений, стоящих в квадратных скобках в пра вых частях соотношений (49) и(50), следует из симметричности 8(Р, Р') относительно Р и Р'. Таким образом, .ЦО) 3 Š— — — —, или У(0) = — Р, '~~3 (51) это и есть соотношение Хопфа — Бронштейна.
Использовав последнее, можно привести (47) к обычному виду (52) Мы видим, таким образом, что из одних только принципов инвариантности можно получить полные решения для выходящего излучения в двух основных задачах и выразить эти величины через одну только Н-функцию, удовлетворяющую нелинейному интегральному уравнению.
В следующих главах будет показано, каким образом могут быть выполнены подобные преобрззования для всех задач, поставленных в гл. 1 для плоско-параллельных атмосфер. 3 34. НРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЛЯ ФУНКНИИ 8 В СЛУЧАЕ р(сов В) = вг~(1+хоев В) Для закона рассеяния с угловой функцией Во(1+хсоатг) имеет место равенство р (1е, <~; 1е', <~г) = Во (1+хРР +х(1 — Рг) е(1 — Р )'"соз (<р — <р)). (53) Эта форма угловой функции н способ ее введения в интегральное уравнение для 8 предполагает, что функция рассеяния выражается в виде 8(Р ТФ Рое ро) = =во[811(р,, Ро)+х(1 — Ра)" (1 — рв)Ь811(р,, Ро)соа(ро — 'р)) (54) где, как указывают обозначения, 81в1 и 81'1 вависят только от Р и Ра, Глава >Ь'.
Принципы инвириантновти 103 О, тФп, т=п~О (55) — сов >В (ю — Я>о) соз и (~Р— Я> ) в>~ о 1, т=п=О, мы видим, что уравнения для 5<о> и у'> разделяются и что н ( — '+ — ')5м>(Р,Р,)=1 — рро+ — 'й.~(1+ Рр")5н>(Р",Р.)Ф+ Ро о 1 1 +2 о) 5н>(Р Р)( +хрро) — „Г+ о в л и + — Но ) ~ Я(о> (Р. Р') (1 — хр'Рн) 5<о> (Рн Ро) А-Рй (56) о о ( —,„+ —,„,)оо> (Р Ро) =(1+ 4 х<"о ~ — -(1 — Р")он>(рн Ро)~Х о х)1+ 4 "о) ~ (1 — Р")УО>(Р,Рф о (57) 34.1. Приведение уравнения для функции ЯЮ. Исследование уравнения (56) показывает, что его можно привести к виду (~+ )5 ( Ро)= г 1 = (~ + 2 мо ~ ом~ (Р Ро) „,а ~ ~~ + 2 мо ) ом~ (Р> Р ),к ~— о о г г — х(Ро мо ~ Я > (Р'> Ро)и>Р"~(Р' 2 йо ~51> (Р., Р.)ар'~. (5о) о о Из этого уравнения вытекает, что 5>о>(Р, Ро) может быть представлена в виде ( + >, )~ (Р~ Ро) =Ф(Р) "~(р9) — хр(Р)ф(ро)~ (53) Г!одставляя значения р и Я (53) и (54) в интегральное уравнение для о' и используя соотношения э" УД Приведение' ингнегрального уравнения для функции 3 109 где (60) Подставив теперь выражение для 5<о> из (59) снова в соотношения (60), получим систему двух уравнений 1 1 е (р') Ф(Р)= + ~ орф(Р)~ —,г1р' — — хйорф(р) ~ — ~,еГР', (61) о о Ф(') 1 вь( ') Ф(Р)=Р— ~ ВО Ф(р) ~ ~,р'еГ, '+ — Хйо ф(Р)~ ~~,Р'йр' (62) о о Решение этих уравнений будет выполнено в гл.
Ч1, 9 46. 34.2. Выражение функции 80> через Н-функцию. Возвращаясь к уравнению (57), иы видим, что бп) (Р, Ро) может быть представлена в следующем виде: ('+ '')~п)(Р, р,)=Нсо(р)НП)(Р,), Рог 1 Нп> (р,) = 1 + 4 хйо ~ —, (1 — р' ) УП (р,, Р').
(64) о Согласно (63) н (64), Н(Р) удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению Н<0(Р)=1-] — 'хз,РНгп(р) ~(' +',) Н1)(Р') гр'. (66) о $33. ПРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Я В СЛУЧАЕ р (сов 6) = — (1+ созе 6) 3 4 Для рассеяния с угловой функцией Релея ]гл. 1, уравн. (99) и (100)] имеем 3 ]3,о „ее+Виар г ] + 4р)ь'(1 — 'ра) ' (1 — Ре ) "сов(Т' — Р)+(1 ра)(1 — р' ) соз2 (ое — ог)]. (66) и Зд.
Приведение интегрального ураененин длн функции Я 111 где Н<г>(>ь) и Н<г>(<ь) удовлетворяют интегральным уравнениям 1 Н<'>Ь)=1+ ЗРН<'>(р) 1" (1 ~ >Н<'>Ь')г<р', >ь+ Н о Н<о>(„,) 1+ 3 ьН<г>(ь) ~ <1 Н ) Н<о>(„~),< ~ Р+Р' о (74) (75) где .< / у(р) =3 — Р-~ —,', ) (3 — р") бел(р, р') — "', о г(<ь)=<ь + 16 / Р о (>ь <ь),„~ ° (78) о Подставив теперь выражение для 5<'> из (77) в формулу (78), мы получим интегральные уравнения Ф (я') Ф (>ь) = 3 — <ьв+ 1 <ьФ (<ь) ~ ~ (' ), (3 — <ь' ) '1 ' + о 1 оь (<ь') +2 ФЫ) + (3 — р')<р' о 1 г Ф(п)= о-(,',„ф(„) (' ~~'~,р"~р'-~ — 'рф(р)~ ~~'~,р" <1".
(8О) о о решения этих уравнении будут даны в гл. Ч1, $44. Возврап<аясь к уравнению (68), мы видим, что оно может быть представлено в виде 1 ( + ) 6~ > (<ь <ьо) = 3 )(3 — ря+я ~ (3 — р' )о<о>(<ь,>ь') — "'~ '>г' о 1 л>ьн> Х(3 <ьо+16 ~ (3 — <ьл )5<о>(>ь", р ) ~или>+ о 1 1 + 3 (~ + Г6.) 1 (<ьг <ь) г((>го+16 ) <ь о<>(<ь г>ьо) — г,~.
(76) о о Из (76) следует, что Я<'>(<ь, <ьо) можно представить в виде ( — + —,)~ел(р ро)= 3 ФЫФ(р)+ 3 ФЫ<а(ро) (77) глава гй. 77ринцииы инварианнонэввил и 36. ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ ПРИ УЧЕТЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Мы уже видели в гл. ! !$17, особенно уравн. (212) и (231)), что если принимается во внимание поляризация поля излучения, то уравнение переноса переходит в векторное уравнение относительнО вектора ! (составляющими которого служат параметры Стокса); в этом уравнении угловая матрица Р (Р, Т; Р', э') играет в точности ту же роль, что и угловая функция р (Р, оо; р', оо') в обычных задачах. Все соотношения, полученные в $ 29, 30 и 32, остаются справедливыми и прн учете поляризации, если рассматривать 7 как вектор, а р и 8 как матрицы.
Таким образом, интегральное уравнение для матрицы рассеяния 8 (Р, оо; Ро, Ео) (см. гл. 1, соотн. (230)) совпадает по форме с уравнением (23), только 5 и р должны быть заменены матрицами 8 и Р. Аналогично, интегральное уравнение, определяющее закон потемнения к краю в задаче с постоянным полным потоком, и матрица рассеяния, определяющая закон диффузного отражения, могут быть написаны в форме, совершенно аналогичной форме уравнения (36).
Например, в случае релеевского рассеяния соответствующее Уравнение будет иметь вид (см. гл. 1, соотн. (221) и (227)! !(О, Р)= — ( Р<о1(Р, Р") !(О, Р")о(Ро+ о + — ~ ) 860(р р ) Р<о>(Р, Р') 1(0, Р ) —,~!Р > (81) о о (82) где а 8<о>(Р, Р') — матрица, состоящая из двух строк и столбцов и представляющая собой не зависящую от азимута часть матрицы рассеяния. Приведение интегрального уравнения относительно функции 8 к независимым системам уравнений относительно функций от одной переменной, которое было выполнено в двух частных случаях (отличных от случая изотропного рассеяния), можно провести в достаточно общем виде путем разложения угловой функции по сферическим функциям.
Мы не будем заниматься здесь этим приведением для общего случая, так как аналогичное приведение для гораздо более трудной задачи диффузного отражения и пропускания атмосферами, обладающими конечной оптической толщей, будет рассмотрено в гл. Ч!1, й 53. Библиографические замечания ВНЯЛИ ОГРА ФИЧЕСКИН ЗАМЕЧАНИЯ Введением принципов инварнзнтности в задачи о переносе лучистой ввергни мы обязаны В. А. Амбарцумяну. См. его работы; 1, А и б а р ц У м Я н В. А., ЛАН СССР, 38 (1943), 257.
2, Амбар цУмян В. А., Астр. Журн., 19 (1942), 1. 3. А м б а р ц у м я н В. А., 1. о1 РЬуз. ОББВ, 8 (1944), 65. Интегральное уравнение для функции рассеяния (6 30) выведено Амбарцумнном в работах [2[ и [3). (Амбарцумян выводит зто уравнение способом, несколько отличным от использованного в настоящей книге.) формулировку принципов инвариантности и их систематическое использование в общей теории переноса можно найти в следующей работе: 4. СЬ апбгазеЬЬ аг Б., АшгорЬуз. Л., 105 (1947), !64, 441. Ыаетоящая глава основана преимущественно на работе [4[. Принцип инвариантности, вытекающий из асимптотического поведения решейвя на бесконечности в консервативных случаях (пп. 29.3 и ЗЗ,З), рассматривается здесь впервые. Этот принцип был сформулирован впервые в дискуссии между Чандрасекаром и Хеньеи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
