Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Получим (см. соотн. (56)1 Функция 7„,(х), определенная формулой (67), представляет собой полином степени (а — 1) от х, принимающий значения Р (1 !)с„) )с~Я)с„' — 1) при х= 1!)с„(а = 1, ..., н). Другими словами, (1 — х')7'„(х) — х Р(х)=0 прн х=/г,, и а=1, ..., и, (69) Полипом, стоящий в левой части соотношения (69), должен поэтому делиться на )с(х), вследствие чего должно иметь место соотношение (1 — хэ) ~,„(х) — х'="'Р (х) = Я (х) Ф (х), (70) где Ф (х) есть полинам степени 3, 2, 1 и 1 соответственно при ги = — 1, О, 1 н 2.
Для более точного определения функции Ф (х) нужно рассмотреть отдельно каждый случай. Рассмотрим этот процесс на примере ас = — 1. При т = — 1 соотношение (70) принимает вид (1 — хв)У, (х) — хаР (х) = )7 (х) (Ахз+ Вхв+ Сх+ 1Э), (71) где А, В, С и ьу — некоторые подлежащие определению постоянные. Постоянные А н В получаются из сравнения коэффициентов при У" +з и х"+в в обеих частях уравнения (71). Так, а а А= и В= (~~> ау — ~ — ). (72) в=в а=.1 Далее, положив х=+1 и х= — 1 в соотношении (71), получин соответственно А+В+С+7У= — = — ( — 1)" 1в, ... р„Н„( — 1) Р(1) 17 (1) 26! 4 бб. Задача с постоянным полным потоком Эти уравнения определяют оставшиеся постоянные С и 77. В частности, = — "'= — '"'"~" !".+', И","(„'~~;д — ~~; ') (74) д«! ««г где, по аналогии с (63), введены сокращенные обозначения а = 2 [Н ( — 1)+Н„(+ 1)1 н Ь„= 2 [Н ( — 1) — Н (+ 1)!.
(75) 1 1 (79) (81) 68.5. Соотношения между постоянными !7 и с. В соответствии с выражениями (63), (75) и (80) имеем (а — Ь") (а! — Ь!) Н (+ 1! Н ( — 1) Н [+ !) Н ( — !) « (а!Ь вЂ” ~.Ь!)а (а!܄— а„Ь!)« [и„(+ И Н„( — ЦР (а!܄— а„Ь!)з (83) Из равенств (68) и (74) находим теперь, что и и '- =-Д-(Х~ — Х.— '.) (76) 1=1 ««з Вычисление величин Ео, ч! и гз проводится аналогично.
Находим а« ! Е = — — "-[-1, Е = — — ' и Е ==(1 — а„). (77) )Г2 Ьг2 г 2 Подставив (65), (76) и (77) в формулы (62), получим 1 =(са — Ь ) — о — [;«ы [« — т — 7! = а! — Я (78) у=г — а„+сЬ„=9Ь! и — Ь«+си„=да!. Ре!пая уравнения (79) относительно д и с, получим аа — Ьз а„а — Ь„Ь а!܄— а„Ь! а!܄— а Ь! ' (80) Из соотношений (78) и (79) также имеем з«1 «=! Определив а и с, мы заверя!или исключение постоянных из выражений, найденных для выходящих излучений. Имеем [см.
соотн. (54) и (59)! 1,(0, 9) = — Р и Н,(9) и 7„(0, 9) = — Р— Н„(9)(9+с). (82) 3 Ч 3 1 8 )Г2 ' " 8 )72 262 Глава Х. Релеевское рассеяние в авимоеферах алане ~ С другой стороны, из равенств [см. гл. Ч, соотн. (45)) = — 1 — — рз У Нв(е) Н,( — И 2 ~~ ез — н~ ра е — г)в 2=1 1 =1 (84) и„( ) и„(-и) следуют соотношения Н, (+ 1) Н, ( — 1) = — 2 и Отсюда 1 — се= 8 (авЬ вЂ” аеЬв)в Н, (+ 1) Н„( — 1) = 4.
(85) чав 16 (88) (ав܄— а„Ьв)в 9а= 2(1 — са). (87) Равенство (87) не зависит от порядка приближения, следовательно, онЬ представляет собой точное соотношение. Другое соотношение между постоянными в) и с, которое получается из равенства (ар — Ь~) (ае+ Ь„) Н~ (+ 1) Н„( — 1) ат܄— а„ав а~܄— а„ав имеет вид (1+ )Н () 1) Н,(+1)™М,(+1) „(- ),)Н (+1) (89) а,ь„— а„ьв Последнее соотношение между а и е является необходимым, так как из соображений симметрии требуется, чтобы выполнялось равенство У,(0, 1)= — Р ч Нв(1)=У„(0, 1)= — Р=Н„(1)(1+с). (90) 8 1Г2 8 3/Г2 68.6.
Переход к пределу и точныерешениядляв;(О, 9) ну„(0, 9). Из теории Н-функций (гл. Ч) известно, что Н-функция, рационально представленная через положительные корни характеристического уравнения ч-в о~%'(з~) 1=2 ъ ~Ы 1 — Ь'-в"-. ' ~=1 (91) должна в пределе перейти в решение интегрального уравнения (32) 1 Н Ь) = 1+ ~вН (р) ~ „+~, Н (р') Ф', в ограниченное во всей полуплоскости )с(г) ) О. Позтому из соотношений (82) следует, что точные решендя для !в(0, (в) и 1„~0, р) й 68. Задача с посжоннным полным потоком где Нт(!ь) н Н„(!>) выражены через характеристические функции 'р! (9) = — (1 — !>ч) и Чг„(! ) = '„(1 1„в) 3 3 (94) соответственно, а >у н с — две постоянные, связанные равенством 1см.
соотн. (87)) >Уа = 2 (1 — св). (95) Другое соотношение между постоянными !у и с, до конца определяющее решение, может быть получено нз интеграла потока Г = 2 ~ [У!(О> 9)+У„(0, !«)! !> л>!>. о (96) Таким образом, нз решеннл (93) для У, и Уг мы получим 3 4 тг2 (>уо + Аа + сА ) =- 1, где ав и Ан — моменты порядка и функций Н,(!ь) и Н„(!ь) соответственно.
Мы могли бы также использовать соотношение ~уН, (1) = (1 + с) Н„(1), (98) (97) получающееся из условия симметрии. Применяя интегральные свойства функций Н,(!>) и уу,(!>), можно показать, что (см. ниже, п. 70.2) 4 (А1 + 2~ч) — 3 (А«а! + ««А>) 3 (А1+ 2«ч) 8 (А> — «~) + 3 (2«1«о А1А«! с— (99) 3 (А~+ 2«вг) представляют собой единственные решения для >у и с. 68.7. Точные законы потемнения к краю для двух состояний поляризации, Степень поляризации выходящего излучения.
Функции Н!(9) и Н„(й) были вычислены Брин н автором по методу, описанному в гл. Ч, 8 41. решения представлены в табл. ХХ!1, Относящиеся сюда постоянные даны в табл. ХХД!. Интенсивности У,(0, )ь) и Уг(0, Р) и Степень полЯРизацан у„(о, в)-й(о, н) (100 =У„(о, «)-!-У!(0, 8) 0) должны быть представимы в форме У,(0, !>)= — Р=-Н,(9) и У„(0, !>)= — -' Г Н (!,)(!, ( с) (93) 3 о 8 г'2 ' " 8 )>"2 264 Глава Х. Релеевсное ууассенние в атмосферах планет выходящего излучения, полученные с помощью протабулированных функций и постоянных, даны в табл. ХХ1Ч. Законы потемнения к краю для двух состояний поляризации даны ка фиг. 23.
О,б о,г 1,О О,В О,б 0.4 О,г О ггтиг. 23. Законы потемнения к краю для двух состояний поляризации прв рассеянии на свободных электронах. ! означает составлвюшую, пошривованную Ык, что влектрический вектор расположен в меридиональной плоскссти; г означает составлвююую с электрическим вектором, расположеннмм под праммм углом к меридиональной плоскости, Согласно данным табл. ХХ1Ч, выходящие интенсивности для двух состояний поляризации, равные между собой в центре (1ь = 1), различаются примерно на 25огго у края ()ь = 0), Соответственно степень Таблица ХХП Функции Н1(р) и Н,(р), полученные как решение точных интегральных уравнений Нт(р) Н! (р) и, (р) Н (р) 0 0,05 О,!0 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1,0000 1,1814 1,3255 1,4596 1,5884 1,7137 1,8367 1,9579 2,0778 2,1966 2,3146 1,00000 1,05737 1,09113 1,11703 1,!3816 1,15594 1,17128 1,18468 1,19654 1,20713 1,21668 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 2,4319 2,5486 2,6649 2,7807 2,8962 3,0113 3,1262 3,2408 3,3552 3,4695 1,225 вк 1,23320 1,24042 1,24705 1,25318 1,25886 1,26414 1,26906 1,27366 1,27797 э 68.
Задача с постоянным полным поклоном 265 Таблица ХХ!П Постоянные, полученные ий точных выражений функций 771!и! и О~!р) ао = 2 29767 А1 = 0 61733 Ан = 1 19736 д = 0 68989 а~ = 1,34864 с = 0,87294 поляризации изменяется от нуля в центре до 11,7о1о у края. Можно ожидать, что в атмосферах звезд раннего типа !спектральнмй тип ВО н более ранние), в которых главную роль в переносе излучения играет, Т а 6 л и ц а ХХ!Ч Точные законы потемнения к краю для двух состояний поляризации в случае, когда рассеивающая атмосфера состоит из электронов.
Степень поляризации выходящего излучения Закон потемнения в состоянии поляризации Степень поляри- зации 7,/Р 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,ОО 0,18294 0,21613 0,24247 0,26702 0,29057 0,31350 0,33599 0,35817 0,38010 0,40184 0,42343 0,44489 0,46624 0,48750 0,50869 0,52981 0,55087 0,57189 0,59286 0,61379 0,63469 0,23147 0,25877 0,28150 0,30299 0,32381 0,34420 0,36429 0,38417 0,40388 0,42346 0,44294 0,46233 0,48165 0,50092 0,52013 0,53930 0,55844 0,57754 0,59661 0,61566 0,63469 0,4144! 0,47490 0,52397 0,57001 0,61439 0,65770 0,70029 0,74234 0,78398 0,82530 0,86Я7 0,90722 0,94789 0,98842 1,02882 1,06911 1,10931 1,14943 1,18947 1,22945 1,26938 0,28823 0,34053 0,38203 0,42070 0,45782 0,49394 0,52939 0,56432 0,59888 0,63313 0,66714 0,70095 0,73459 0,76809 0,80147 0,83475 0,86794 0,90105 0,93409 0,96707 1,00000 0,36470 0,40771 0,44352 0,47739 0,51019 0,54231 0,57397 0,60529 О,Я634 0,66719 0,69788 0,72844 0,75888 0,78924 0,81950 0,84971 0,87986 0,90996 0,94001 0,97002 1,00000 0,11713 0,08979 0,07448 О,ОЯ11 0,05410 0,04667 0,04041 0,03502 0,03033 0,02619 0,02252 0,01923 0,01627 0,01358 0,01 1123 0,008880 0,006818 0,004919 0,003155 0,001522 О 286 Гласа Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
