Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(23) Другимн словами, либо ч.ч а (1 — !в!) 8 Оо — Оо — — у = — (случай 1), о=.У) !+„~ =3 (24) либо жч а (! — !ва) 4 Оо — Оэ — — у ~ „= — (случай 2). 24 !+ива 3 Соотношениям (24) и (25) можно придать либо вид '(25) Х а) (! — !ввй) 4 — (случай 1), )=1 ,оаа 3 (26) либо вид па аэ(! — !в)) — (случай 2); 1 — р'.Гв' (27) (сэ должно быть корнем одного из этих двух уравнений.
Уравнение (26) и!чеет порядок 2п по а и 2п различных отличных от нуля ксэрней, 6 бб. Задача Е постоанныМ полным потоком 253 1», »= сопз1(1 — а„р»)е ": »1„— ! ух» = — сопя! " е «' !+ л«и» »' = >- 1, ..., -~- »» (32) а=~1, ..., Случай 2. хв есть корень уравнения (27). В с)о — 13я = 4/3 и соотношения (19) дают 2 2«а — 3 2 1:!о= —; 73 =О =— 3 хч — 1' в» Зхч — ! этом случае (ЗЗ) Нетрудно видеть, что при таких значениях 1!о, 1уя н 12 соотношение (13) удовлетворяется тождественно, а соотйошения (13) и (14) дают а= — р и 7=0. (34) Соответственно уравнении (6) имеют (2н — 2) линейно независимых интегралов вида ! — »>» 7»»=Сопз1 е *З' !+Р»ха (»' = 1, ..., и, р = ~ 1> ° ° ° > ~ и»- 1)> уо,=о Р= 1, ..., и). (35) ') Заметим, что которые разделяются на пары й«„= — й „(а=1, ..., и).
(28) С другой стороны, хотя уравнение (27) имеет степень 2п относительно а, оно допускает только 2(н — 1) различных отличных от нуля корней, так как йа = 0 также является его корнем '). Эти (2п — 2) корня также входят парами, которые мы будем обозначать х ав, х= — ха(!>=1,...,и — 1), (29) чтобы отличить их от корней уравнения (26). Случай 1. ав есть корень уравнения (26). В этом случае гуо — 73в — — 8/3, и из соотношений (19) легко находим 2 4/»» — 3 2 2 2 †»»в Оо — — 3 ьх 1 > в — — 3(ьч !) >' О»=Зава, !. (ЗО) При таких значениях !9о, 13в и !3» формулы (13) и (14) дают — авР и 7 = — (ав — 1) р.
(31) Соответственно уравнения (6) имеют 2п линейно независимых интегралов вида 284 !"лава Х. Фелаевсаое рассеяние в аа!жасферах плане!и Лег!о проверить, что уравнения (6) имеют также решение вида г! г=I,. г=(ь(т+1«г+!«ь) (ь= 1, ..., ~п), (36) где (ь и Я вЂ” постоянные. Объединяя решения (32), (35) и (36), мы можем написать общее решение уравненич (6) в виде и-! — « аз« 7! ь= — а~«+8,+О+(1 — 1«'-) ~~ + З.—. -и!-! + Х М (1 Фр!)е ай1 (! — 1 — ) и +ьь « I«! —— -д)т+р!+!«ь — ~~Ьа М " е «=-и (!' — -ь- 1 -ь- л), (37) где Еаз(р = 1, ..., и — 1), Мх„(а = 1, ..., л), (ь и Я представляют собой 4п постоянных интегрирования.
68.2. Решение, удовлетворяющее граничным условиям. В рассматриваемой задаче граничные условия состоят в том (гл. 1, соотн. (228)1, что ни одна из интенсивностей 1; не возрастает быстрее, чем е' при т-«оо, и что нет излучения, падающего на границу т=О. Из первого условия следует, что в общем решении (37) нужно отбросить все члены с ехр(+а,т) и ехр(+лат). Отсюда будем иметь и — ! — ь « ьь ! — й(т+и +сг'+(1 — 1«з) ~ь + ~~ м (1 ь и)е й~ з= (ь=-+-1, ..., !и) и фо ! — — и ) т+ рг+ ь,1 — ~Уа М„е «) «=! (!= ь 1,..., ь-и).
(38) Далее, так как при т=О падающее излучение отсутствует, то 1Л ! — — Уо г=О при т=О и для г= — 1, ..., — и (39) или в соответствии с равенствами (38) и-! и (1 — р!) ~~1 + ~ М,(1+а,ь«!) — Рг+!«ь=О(!=1, ..., и) а=! 8 83. Задача е яоетоанным поЛным потоком 255 и Ма (˄— 1) — — [44+Я=О (1'=1, ..., л). (40) а=1 Мы получили 2и уравнений, определяющих 2п постоянных у.
(р = 1, ..., п — 1), М,(а =1, ..., и) и 9. Постоянная Ь остается произвольной; как мы убедимся ниже, она связана с постоянным полным потоком в атмосфере. Определив полные потоки Р, и Р„с помощью соответствующих сумм Гаусса, получим, в согласии с формулами (38), Р1=23~ — ',, +,У, 'К.,[131(хЕ) — Вз(х,)[е Š— 3 "Ч',М.й„е-' ~ в=1 «=1 Р„=26( — — 5 М„(441 — 1)О1(й„)е ":~. (41) «=1 С другой стороны, из соотношений (18), (ЗО) и (ЗЗ) следует, что ~-~1 ('"«) — ~а '2 ('"а)— 2 Фа а (42) В (хв) 0 (хе) хз [О (хЕ) ГЭ4 (хе)[ О Таким обрззом, п Р1 = 3 д(1 — АМ„(г„е «') «=1 (44) Ра= — Ь(1+ ) М„й,е аа').
а=1 Из двух последних соотношениИ вытекает постоянство полного потока, а именно, Р=Р1+Р.=33= "1 8 Мы можем теперь представить решение (38) в виде 3 8 [[ + ~ 4 [ «+( п1) .ю~а 1+4««х + за! + ~ Ма(1 — йайч) е «=1 3 — +й+9— 8 2~ 1 + и1л« «=1 (1 = -1, ..., и). (45) э" зк Зардел с ивсл ояинмс> иолам к ломовом 257 68>3. Корни характеристического уравнения и постоянные интегрирований в третьем приближении> Прежде чем двигаться дальше, укажем зяачения корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования в третьем приближении.
Онн равны (С =- 3,458589, >Ся — — 1,327570, >а = 1>046766> х, = 2,718381, хя = 1,118216, А, = — 0,1402646, Ая — — — 0,06791696, >',> = 0,705927, М, = + 0,00718392, Мя — — + 0,01861255, Мз — — — 0,0328664, (50) 68.4. Исключение постоянных и выражение 7>(0, (ь) и с„(0, Р) через Н-функции. Соотношения (40) и (49) позволяют выразить граничные условия и угловые распределения выходящих интенсивностей через функции и†> « ~>(Р) =- (1 — Рэ),~~, '„+,~, М. (1+ й,р) — Р+ О (51) з=> «=> 1 — »«З >» (а„— ц 3,Ь) = — ~; ",.а — Р+с.
Р « «-.> Отсюда имеем (52) Я> (>«>) = о>. (Р.>) = 0 (>' = 1, ..., и) (53) 7>(0, Р>)= — ГЯ>( — >»); 7„(0, >«)= — Ю,( — »). (54) 3 3 Л. (Р) =П (1 — й.р) аи» р(»)=П (1 — хай) и РЗ(р) = П (1 — хьр). (55) РП ь~~ рассматривая теперь функции 8ж(>«), мы видим, что произведение Р(1«)5>(р.) представляет собой полипом степени и по >>, обрзщающийся в нуль при Р = Р>(>'=1, ..., и). Поэтому должно иметь место ,Соотношения (53) и (54) представляют собой новые примеры взанмшости между граничными условиями и угловыми распределениями уходящии излучений, на которую мы указывали в гл.
Ч1, 9 43. ГЬВажем теперь, как можно получить точные выражения функциИ .5> и о не определяя постоянных интегрировзния, Прежде всего >введем фрикции в 7~(Р).=Д (1 — й„р); 253 Глаза Х. Релеевсхое рагссяш!е з атмосферах ллалсгн соотношение вида Яз(Р) = !7а! ... *а! ( — 1)в — ' = !У!г! ...
й, и, ... иаН!( — и) !), (56) Р (и) ! ''' в а() — ! и! а ! где гу — постоянная, Р(и) =П(и — и!) и Нг(и) выражены через корни характеристического уравнеьья (27) (см. гл. Ч, соотн. (3)). рассматривая, далее, 5„(1!), мы видим, что должна иметь место пропорциональность гг (и) Я„(р) Р (р) (и — с), где с — постоянная, а величина, стоящая в левой части, является полиномом степени (и + 1) по и и имеет корни р = рг(! = 1, ..., и). Постоянная пропорциональности может быть определена путем сравнения коэффициентов при высших степенях (ь в обеих частях равенства.
Таким образом, получим, что = — !з, ... )г„р, ... и,аН„( — и)(р — с), (57) где Н„(и) выражена через корни характеристического уравнения (26). Используя соотиоп!ение (58) ') Мы ввели множитель й!...., йв з соотношение (56), имея в виду дальнейшие преобразования. з) Это соотношение легко получить нз характеристического уравнения, прелставлеииого в виде (см.
гл, Ц1, и. 25.3) и ~Р.„,Д.Ч=О, 3.— о где р,,у — коэффициенты прп рзх в полиноме Лежандра Рва (и) и аг(1 Мяч -'- Х г=! 1 — а.,за' Величина а, олрезглгннзя таким образом, удовлетворяет рекурреитнсй формуле 1 Р 2 азУ ! а"э'-з хз(, 4Р— 1 Р Из характеристического уравнения (26) следует, что ар = '(з и Ьз = 213 Лэ. Согласно рекурреитной формуле, мы получаем поэтому, что выражение Ьн, начинается с члена 2/3 азч. Уравнение для Ф должно, таким образом, иметь вид 4 2 — р,аз + ... +--рм,=б, 3 огкудз 25!1 6 бгг. Задача с посл оянным полным по!попом связывающее корни уравнения (26), мы можем придать выражениям (56) и (57) вид бг (9) = — Н, ( — [г) и 8„([г) = — — Н„( — 9) (и — с). (59) ч 1 г г'2 Для определения постоянных !7 и с поступим следующим образом. Положив 9=+1 и соответственно р= — 1 в формуле (51), получим [см. соотн.
(59)[ Я 5~(-[- 1) = ~~ М„(1+ И,) — 1-[- О= ч Н ( — 1) а —. ! о! ( — 1) = ~~я М„(1 — /г„) + 1 + г',г = ~ Н,( [- 1). (60) Ес2 Далее, подставив и = 0 в соотношение (52), получим [см. соотн. (59)[ 5„(0) = д — ~~~" М„(('„-' — Ц = — '.
'г' 2 (61) Объединив соответствующим образом выражения (60) и (61), полу- чим соотношения (65) а=! где Р (1/а,) й',н Е,.=( — 1)ад, ...1„У г у„(1!Ф,) (Фг — 1) (66) Ьгк. ==а! — Ц; АМ,Ф, = — 5!+1 'Е! 2 и и ~~г М„й„= =(!7аг — с). (62) гс2 «=.! Здесь использованы сокращенные обозначения аг — — — [Н,( — 1)+ Н,(+ 1)[ и д! = фН! ( — 1) — Н,(+ 1)]. (63) 1 1 С помощью формул (52) и (57) получим следующее выражение для М,; М„= ( 1)п гг 7г ") ( — — с) (а = 1,..., и).
(64) "г7„(1[а.) [л.'— 1) .,~, Можно поэтому написать .~~ М„/гн' = Е„,, — сЕ„„ Глава Х. Релеевсхае рассеанае в атлсасферах лланелв 260 Чтобы выполнить сум ирование в правой части формулы (66), введем функцию 7;„(х) = ~ "," 77„(х) (т= — 1, О, 1, 2) (67) (1)ди) да а(! в)( а и выразим через нее Ет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
