Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. что, кроме излучения, не существует никакого другого механизма для переноса тепла в атмосфере. Кроме того, предположим, что внутри атмосферы источники тепла отсутствуют. При этих условиях полный поток излучения всех длин волн должен быть постоянным: ОО са +1 хр=х ~ Р„(2) сгг = 2« ~ ~ 7,(с, 1«) 1сагйсгч = сопз1. (6) о 0 -г Этот постоянный полный интегральный поток должен поддерживаться энергией, освобождающейся в глубоких недрах звезды; однако это уже не имеет непосредственного отношения к изучению звездной атмосферы.
Выходящий поток будет равен той же величине «Р. В астрофизических задачах удобно вводить зйгфеклгивнуго тсмггералгуру Т„связанную с постоянным полным потоком соотношением аТс — — пг, (7) где а = 5,75 ° 10 в зрг/сек слгеградг — постоянная Стефана. Аналогичная связь существует между интегралом от функпии Планка В и локальной температурой Т З 77.
Метод реисеная 7.,(т.„— Р)= — 0 при т„=0, 7.,(тт Р) =о(е') при т,-+ сю. (11) Очевидно, что при произвольном законе изменения х„ с частотой эта задача может быть решена только численно методом итераций. Если изменения х., с частотой невелики, то можно получить приближенные решения, применимые ко многим задачам астрофизики. Именно этот случай и будет рассматриваться в настоящей главе. Особый интерес представляет случай, когда х,, не зависит от частоты, т. е. случай серой атмосферы, который представляет собой физическую модель, важную для интерпретации непрерывных спектров звезд. Действительно, отклонения наблюдаемого распределения интенсивности в непрерывном спектре звезды от предсказанного для серой атмосферы должны непосредственно объясняться изменением коэффициента поглощения звездного вещества с частотой.
Очевидно, что определение изменения х„ с частотой из наблюдений имеет существенное значение для выяснения и изучения причин непрерывного поглощения в звездных атмосферах. в Ту. МЕТОД РЕШЕНИЙ Как уже было указано, мы в основном будем заниматься лишь случаями, когда эффекты, связанные с отклонениями звездного вещества от серого состояния, невелики. Напишем поэтому х., = х (1 + 3„), (12) где х — некоторый средний коэффициент поглощения.
Оставим пока х неопределенным, с тем чтобы лотом иметь возможность определить его наиболее выгодным образом. Далее, пусть т= ) хрйг (13) обозначает оптическую толщу атмосферы но х действию излучения интенсивности 7„(Р); в правой части стоит величина, пропорциональная излучению того же элемента. Условие (10) означает, следовательно, что каждый элемент массы в атмосфере излучает ровно столько же энергии, сколько он поглощает. Из физических соображений очевидна эквивалентность этого последнего утверждения с условием постоянства полного интегрального потока. Сформулируем теперь основную задачу теории звездных атмосфер. Требуется решить уравнение переноса (3) в полубесконечной атмосфере, при условии лучистого равновесия, при заданном законе изменения х„ с частотой и глубиной и при граничных условиях З(О Глава Х/.
Лучистое равновесие звездной атлсосферм Уравнение переноса теперь принимает вид Р "„" = ӄ— Вч+3„ӄ— В,,). (14) Предположим, что это уравнение может быть решено методом последовательных приближений следующим путем. Сначала отбросим вовсе член, содержащий 3„, и напишем п(н) (15) Приближении более высоких порядков могут быть найдены тем же методом итерациИ. Так в а-м приближении будем иметь ((а) — — 1(а) — В"') ' 3 '1(а ') — В(а ')) Можно ожидать, что последовательные приближения будут сходиться, если 3„достаточно мало. Практическая применимость метода, повидимому, не уменьшится даже при сравнительно больших значениях 3„, порядка 2 нли 3.
Интегрируя уравнения (15) и (18) по всем частотам, получаем — )()) В(в) и(() ) (18) ач л<(з) л((1) <в — = 7(з) — В (а> + )с Г 3 — с(ч. с(ч а'ч в (19) Уравнения (18) и (19) должны быть решены при условии постоянства полного интегрального потока.
Это условие требует, чтобы в первых двух приближениях было В('> = з'(0 (20) со +1 (0 В (в) — <(з) + — Г Г 93,,—" с(з ~4)в. (21) в Выражению (21) можно также придать вид ' Г В<в> = У<э) + — Г 3 с(ч. 4) "ае '22) Решим это уравнение применительно к рассматриваемой задаче и подставим решение в член, содержащий 3„, в уравнении (14).
Следующее приближение мы получим; ре(нив уравнение (18) а 73. Распределение температуры е атмосфере звезды 311 $78. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В АТМОСФЕРЕ ЗВЕЗДЫ Согласно соотношениям (18) и (20), уравнение переноса для интегральной интенсивности в серой атмосфере имеет вид +1 3111) (», В) 1 е р. „' = 711) ('с, 11) — — ) 111) ('с, 11') с))с'. -1 (23) Это уравнение совпадает с уравнением переноса для случая кон- сервативного изотропного рассеяния, рассмотренного в главах Ш ($25), 1Ч (и. 33.2) и Ч (ф 42). Точное решение для углового распределения уходящего излучения представляется в виде [гл. 1Ч, соотн.
(52)) 7< ) (О, Р) = ,' РН(, ), ТГЗ (24) где Н(Р) соответствует характеристической функции %'()с) = 1/ . Закон потемнения к краю, выражаемый формулой (24), был протабулирован для ряда случаев [гл. Ч1, табл. ХЧ). Из свойства [гл. Ч, соотн. (25)) Н-функции 1 ~ Н(Р)»1 = 2, е (25) входящей в выражение (24), мы заключаем, что л'1') (О) = — г (26) Выразив 7~ (О) и й через граничную температуру Та и эффек- (1) и) тинную температуру Т„, в соответствии с соотношениями (7) и (8) получим (Те ) 4 Те нлн Те = 0,8112Т». (27) Для решения уравнения (23) в и-м приближении мы имеем [см.
гл. П!, ф 25, соотн. (40)1 — 10 -к„» 1»1) 3 ~ 7., е ",)+ + ) ( -+-1 ., -1-п), (28) л ° 1 + )»ск» »=1 Таким образом, во втором приближении интегральная интенсивность Планка В отличается от средней интенсивности л' на величину, зависящую от непостоянства монохроматических потоков Г„ в серой 11) атмосфере. 312 Глава Хг'. Лучистое равновесие звездной аиглгосферм где и постоянных д.„'(и=1, ..., и) и Я01 определяются из уравнений [гл. 111, соотн.
(17)[ и-1 03 +<;Х11 — Р,=О (1=1, ..., и), (29) а ге„(и=1, ..., и — 1) — положительные отличные от нуля корни о,го олб ет [г! 0,10 О,об 0 0 2 а е а Ю 12 и=ьт/втг Фиг. 29. Распределение по частотам полного потока излу- чения на разных глубинах в серой атмосфере. По оси абсцисс отловгсны частоты (в единицах Лт~а1, по ссн срдинат— поток (в сдниицах постоанпого полного инта ральиого потоки). Кривые относвтси к глубинам т 0; о,а; Ьо и 2,0. характеристического уравнения [см. соотн, (7) гл. Ш[.
В этом приближении решение для з'[1> имеет вид [гл. И1, соотн. (44) †(46)[ и-1 з'111= — Г [с+ ау(т)) = — Р(с+ Я[и+ ~ 7.~0е ' ). (30) Соответствующий закон распределения температуры имеет вид [см. соотн. (20)] (Т ) = — Т,. [с+17(т)). (31) Функция гу(т) во втором, третьем и четвертом приближениях протабулирована в гл. 11! (табл. Х). По найденному распределению температуры (31) поле излучения в атмосфере определяется с помощью 6 78.
Распределение телспературы в атиоефере звезды формулы 7!'1 (т, !е) = / В„(Тс с1) е О ™ ~~ = (О й !с ( 1) = — ~ В„(Тс! 1) е !с '1сн — ( — 1 ( р ( О), (32) о где В,(Тс ) — функция Планка для температуры, вычисляемой по фор!с) муле (3 1 ) при оптической толще С. Ив решения (32) получаем (см . гл . 1, соотн . (9 1 ) и (96)) +с СО 1„' (т, !с) !сес7!с = ) В„(Тс ) ЕС+с(» — т) сСС+ -с +( — 1)С ) В. (Тс!и) Е„.,(т — 1) М. (33) о В частности, Е„(с) =2 / В„(Тс )Ее(С вЂ” т) с77 — 2 ~ В,(Тс01)Е (т — С)ж. (34) Таблица 54онохроматнческне потоки Р'„"(т) в единицах Р ХХЧ! 1 ( 2 1О О О,! 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,0854 0,0?84 0,0719 0,0663 0,0615 0,0571 0,0532 0,0498 0,0466 0,0439 0,0413 0,0370 0,0335 0,0305 0,0280 0,0259 0,1837 0,1732 0,1640 0,1556 0,1480 0,1407 0,1342 0,1282 0,1225 0,1174 0,1128 0,1042 0,0968 0,0906 0,0850 0,0803 0,2074 0,2027 0,1981 0,1933 0,1886 0,1835 0,1789 0,1745 0,1699 0,1656 0,161 6 0,1540 0,1470 0,1406 0,1349 0,1295 0,1772 0,179! О,!80! 0,1804 0,1802 0,1793 0,1783 0,1772 0,1755 0,1740 0,1724 0,1688 0,1651 0,1614 0,1578 0,1543 0,0856 0,09!! 0,0961 0,1005 0,1044 0,1078 0,11!0 0,1138 0,1163 0,1186 0,1207 0,1240 0,1268 О,! 289 0,1306 0,1319 0,0314 0,0346 0,0376 0,0406 0,0435 0,0462 0,0489 0,0515 0,0539 0,0563 0,0586 0,0628 0,0667 0,0702 0,0735 0,0764 0,01013 0,01 135 0,01261 0,01 390 0,01521 0,01652 0,01785 0,01918 0,02050 0,021 82 0,02314 0,02572 0,02824 0,03069 0,03306 0,03534 0,00305 0,00345 0,00388 0,00434 0,00482 0,00532 0,00584 0,00638 0,00693 0,00749 0,00807 0,00925 0,01046 0,01169 0,01293 0,01417 3Ы Глава ХА Лучистое равновесие звездной атмосферы Монохроматические потоки, вычисленные по формуле (34) для различных значений а=аз(а?; и т, приведены в табл.
ХХЧ! и на фиг. 29. Особенно интересно проследить перераспределение частот, которое имеет место при погружении в атмосферу. Производные монохроматических потоков а(г„ /с(т, которые также оказываются 0) полезными [см. соотн, (22)], даны в табл, ХХЧП. Таблица ХХЧП Производные монохроматических потоков с(р~~)/с(2 в единицах о 1О 12 $79. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В АТМОСФЕРЕ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩЕЙСЯ ОТ СЕРОЙ Для атмосферы, которая лишь слегка отличается от серой, приближенная форма уравнения переноса такова (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
