Перенос лучистой энергии Чандрасекар (1013628), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таблица П Постоянные Еп Е, и Е, Ет Ег (2у + 5) ( У + 2) Зу (бу'+ 7) !0(У+1)(2)+ !) 10(у'+1)(27+1) (2у' — 1) (2/+3) 3(2/'+ 27+ !) ГО)(у+ !) 1Оу (7+ 1) (2У-З)(у.— !) 3(брг+бу-!) !07 (21 + !) 10/(2/ + 1) ау ре У+2 2(/+ 1) 1 2/(У+1) 7 — 1 21 В И В ЛИ О ГРАФИЧЕСКИЕ 3 А МЕЧ АН И Я 1. Р ! а и с К М., (Чаппее!гак!ппд, 1е!рг!я, 1923. [Есть русский перевод.

См. Планк М., Теория теплового излучения, М.— Л., 1935.— Прим. ред.[ 2. М! !и е Е., ТйеппобУпаю1са О1 !!ус 8!апй НапбЬ, б. Аа!гоРЬУая В ГПУ, Вегйп, 1930, 8, 65 — 173, Так как угловая матрица (259) совпадает с приведенной в 9 18, не требуется дополнительных замечаний по поводу вывода соответствующего уравнения переноса. Глаза А Уравнение переноса 3. СЬапбгаэеКЬаг 5., Ап 1и!годисИоп !о йе 5!ш!у о! 5!ейаг 5!гисгиге, СЫсаяо, 1939, сЬ, Ч. [Есть русский перевод. См.

Чандрасе к арр С., Введение в учение о строении звезд, М., 1950.— Пргглс. ред.[ 4. Нор! Е., Ма!ЬегпаИсз! РгоЫешз о! ВасИаИче Ейи!ИЬгйгп, СашЬг!бйе Ма!нею. Тгас!., № 31 (1934). 5. С Ь а п 6 газе!г Ь а г 5., Тпе ТгапЫег о! Ваб!айоп 1п 5ге!!аг Аппозрйегез (Лоз!аЬ ТЧИ!агб О1ЬЬз 1.ес!ше), Вий. Агнес. Майеш. 5ос., 53 (1947), 641. 6 10. В связи с консервативным изотропным рассеянием К-интеграл впервые введен в книге: 6. Е 5 6 !п И!оп А., ТЬе !п!егпа! СопзйиИоп о1 йе 5!агз, СашЬг!бйе, 1926, р. 321. 6 11. Вывод интегрального уравнения Шварцшильда — Милна проведен по способу, которым пользовался Милн в работе: 7. М11п е Е., Моп. Хо!. Воу.

Аз!г. 5ос., 81 (1921), 361. Классическими работами по этому вопросу являются следующие: 8. 5 с 1!чч а г х зс Ь !! б К., Одп. Хасйг., (1906), 41; 5йх-Вег. й Ргепзз. АКаб., (1914), 1183. 9. 5 спиз 1е г А., Аз!горЬуз. е., 21 (1905), 1. 6 15. Исследование и представление поляризованного света в этом параграфе выполнено по способу, изложенному в работе: 10. 5 ! о К е з О., Тгапз. СашЬ.

РЫ(оэ. 5ос., 9 (1852), 399; см. также МагЬешабса! апб РЛуз1са! Рарегз о! 51г Оеогйе 5гойез, Сашпг!бйе, 1901, ч. 3, р, 233 — 251. Представление света с помощью параметров Стокса с несколько других точек зрения можно найти в следующвх работах: 11. Ьогб Вау1е18Ь, 5с!еппй!с Рарегз, СашЬг!бйе, 1899, ч. П!, р. 48; см. в особенности 6 20, стр. 140 †1. 12.

С Ь а п б г а з е К Ь а г 5., Азггорйуз. е., 105 (1946), 424. 6 16. Классические работы по этому вопросу принадлежат Релею: 13. Еогб йау1е!нЬ, 5с!епИИс Рарегз, Сашйг!бяе, 1899, ч. 1, р. 87, 104, 518. й !7. Уравнения переноса, правильно учитывающие поляризацию рассеянного излучения, были впервые сформулированы в следующих статьях: 14. С 1т ап 0 г азе КЬ а г 5., Аз!горйуз. Л., 103 (1946), 351; 104 (1946), 110; 105 Н947), 424.

В настоящей книге дано более сжатое изложение с использованием линейного преобразования параметров Стокса, приведенного в 6 16. 6 18. Изложение общей теории рассеяния света см. в следующих книгах: 15. й а ш а и С., Мо!еси!аг О!!!гас!!оп о! Ы8Ы, Са!сина, 1922. 16. С а Ь а пи ее й, Ка ОИ!из!оп шо!сои!а!ге бе!а !шп!еге, Раг(з, 1929.

17. В Ь апач ап ! агп 5., 5сапег!пй о! 1!8Ы апб йашап Ейесг, [Ч.-Ч., 1942. Наиболее полное изложение теории рассеяния дано в статье: 18. Р1 а с х е К О., йау!е!8Ь 5!геиипй ипб Ватап ЕИейг, Магх Напб. б. Ваб!о!ой!е, Ч![2, 1934, 5. 209. $ 19. Резулыаты, сформулированные в этом параграфе, принадлежат Га. мильтонч: 19. Наги!!!оп Тэ., Азггорпуз. бн 105 (1947), 457. См. также работу Плачека [18[.

Глава 11 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ И 20. МЕТОД ЗАМЕНЫ УРАВНЕНИЙ !!ЕРЕНОСА СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В гл. 1 мы показали, что различные задачи теории переноса лучистой энергии приводят к интегро-дифференциальным уравнениям разной степени сложности. Трудно ожидать, чтобы оказалось возможным строгое и полное решение всех этих уравнений. Поэтому исследование уравнениИ переноса должно вестись в двух направлениях. Вопервых, следует развивать приближенные методы решения, достаточно гибкие для применения к любым практическим задачам, и, во-вторых,— сильные и общие методы, которые позволили бы выявить существующие интегральные соотношения и получить точные реп<ения, по крайней мере в случаях, представляющих особый интерес (как, например, в задаче об угловом распределении выходящего излучения).

Оба упомянутых направления не так далеки друг от дру<а, как может покззаться на первый взгляд. Именно, наИденные для многих задач точные соотношения вовсе не очевидны, и во многих случаях было бы крайне трудно даже примерно указать их происхождение и природу, если бы мы уже не имели некоторых оснований для предложения об их существовании, а „основания" для таких предположений часто заключаются в форме ре<ьений, полученных приблин<енг<ыь<и методами.

Развивая приближенные методы, лщжно, таким образом, придерживаться одной из двух точек зрений †разрабатыва либо методы, предназначенные исключительно для решения данной частной задачи (например, задачи об наотропном рассеянии в однородной среде), имея в виду достижение наибольшей возможной точности, либо методы, которые, не будучи столь точными, как предыдущие, в частных случаях, обладают достаточноИ общностью для обнаружения всех существушщих для рассматриваемых задач инвариантных соотнон:ений. Грубо ~оворя, первой точки зрения придерживаются физики в своих исследованиях по диффузии нейтронов. Вторая точка зрения положена в основу настоящей книги. При попытках найти систематический метод решения уравнений переноса казалось наиболее естественным начать с метода, использор шу о, рэо5 .< ш р,, <но) .!'р 1Ъ )Ш~,~„„, «, И ж И Рассеяния прн наличии альбедо [гл. 1, в 12, уравн, 1108)).

!!!варцп<ильд рассматривал толы<о консерватнанын случагй булава ГУ. Квадратурныв формулы Разделяя поле излучения на восходящий и нисходящий потоки, обозначаемые соответственно через У+ н У, Шустер н Шварцшнльд заменили уравнение (1) системой двух уравнений +2 ат + 2(++ 1 Н!е 1 — — — =l — —,(! +у ) 1 вГУ 1 2 от 2 (2) где множитель -'/я в левых частях позволяет учесть средний наклон лучей относительно внешней (внутреннеи) нормали. Такое разделение поля излучения на два потока напоминает разработанный Джоулем (1851 г.) в кинетической теории газов метод, согласно которому молекулы в прямоугольном объеме разделяются на три одинаковые пары потоков, движущиеся параллельно длине, ширине и глубине объЕма, причем потоки, принадлежащие к данной паре, движутся в противоположных направлениях.

Метод Шустера и Шварцшильда сыграл столь же положительную роль в ранних исследованиях изучаемой нами проблемы. Решение уравнений (2) при обычных граничных условиях (например, 7 = 0 прн ". = О) может быть, конечно, немедленно получено; оно представляет собою „первое" приближение к решению задачи, сформулированной в гл. 1, и. 11.1. Очевидно, однако, что деление поля излучения на два потока слишком грубо для того, чтобы с его помощью можно было выявить эффекты анизотропного рассеяния или поляризации, представляющие для нас наиболыпий интерес.

Тем не менее наглядность основной идеи метода Шустера н Шварцшильда навела нас на мысль сохранить эту идею, уточнив ее, т. е. разделив поле излучения на большее число потоков. При этом мы можем сохранить основное преимущество метода †представлен поля излучения с помощью некоторого числа дискретных потоков. Возможность такого представления особенно ценна потому, что позволяет сформулировать граничные условия (такне, например, как обращение интенсивности в нуль для направлений, заключенных внутри полусферы) с наглядностью и отчетливостью, недостижимыми прв других методах решения.

В основном этим и объясняется, почему метод, представляющий собой развитие первоначального метода Шустера и Шварцшильда, оказался, как видно будет ниже, столь плодотворным для выявления основных соотношений проблемы в приближениях всех порядков. Разделив поле излучения на 2л потоков в направлениях вв(1= ~1,..., - и и в в — — †(в,), мы можем заменить уравнение переноса (1), решения простейшего уравнения переноса (гл. 1, п. 11.1, уравн. (88) и (89)1. +1 9 ' =/(т, в) — — ~ г'(т, (ь')а'1в'. ыг(ъ н) 1 (1) -1 й 20, Замена уравнений переноса сисгаемой уравиелий' 63 например, системой 2л линейных уравнений = е'(-., й!) — —, ~ а е'(т, ив) (! = 1,..., л), (3) ! где аеЦ= 1,..., п) — веса в квадратурной формуле, основанной на деленйи интервала ( — 1,+1) точками (р!) (см. ниже, 3 21).

(В уравнении (3) суммирование по ) должно быть распространено на все положительные и отрицательные значения у за исключением значения / = Гь) Соотношения (3) представля!от собой систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, прн решении которых (или других уравнений такого типа) вряд ли могут возникнуть какие-либо принципиальные трудности. Можно было бы пытаться доказать, что, деля интервал 1 — 1, + 1) на все более и более мелкие части, мы в пределе придем к точному решению уравнения переноса.

Прагселичесмаа эффективность метода определяется, однако, главным образом тем, насколько хорошо представляют истинное решение низкие порядки приближения (л = 3,4). В соответствии с этим при выборе способа разделения поля излучения на отдельные потоки, мы должны руководствоваться точностью, с которой интегралы по 1! могут быть заменены средними взвешенными от интенсивностей в точках деления. Задача, с которой мы здесь сталкиваемся, по существу совпадает с той, которую исследовал в 1814 г. Гаусс при выводе своей формулы численного интегрирования. Для того чтобы вывести формулу Гаусса, интервал ( — 1, + 1) делят точками 1ву), представляющими собой нули полинома Лежандра Рм1в).

Интеграл от функции у'!й) в интервале ( — 1,+1) заменяется суммой следующего нида ;! !Н Г (р.) !11! ~~' а Г (й ), '!4) ! где веса а определится формулой ь! 1 Г Ри,(и) Причина, по которой формуле Гаусса следует отдать предпочтение по сравнению с другими формулами механических квадратур на интервале ( — 1, + 1), заключается в том, что при заданном гл она дает точное значение интеграла для всех полиномов порядка, меньшего 2т, а пе просто т. другими словами, формула Гаусса дает точность, почти вдвое большую той, которой можно было бы ожидать от формулы, используюпгей лишь и значений функции в интервале интегрирования.

Представляется поэтому целесообразным при замене уравнений переноса системой линейных уравнений вида (3) делить интервал ( — 1, + 1) так же, кзк прн выводе формулы! аусса, Глава РЕ 77вадратуряые формулы и приближенно вычислять различные интегралы по Р, входящие в ура- внения переноса при помощи сумм, соответствующих формуле интегри- рования Гаусса. В этом состоит один из основных наших методов. Имея в виду важную роль формулы Гаусса в последующем изложении, полезно дать вывод этой формулы, тем более что вместе с тем мы сможем получить и другие квадратурные формулы, которые найдут применение в дальнейшем изложении.

Характеристики

Список файлов книги