Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Параметр p параболы характеризует ее форму. Чембольше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы ýже. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы(фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболыс ее фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Эксцентриситет параболы поопределению равен единице ( e  1 ).MdПараболаMM d  FMMdMp2OyM ( x, y )p2FOddpxFp2xp2Рис. 5.6Рис. 5.5В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис. 5.6, параболаописывается каноническим уравнениемy2  2 p x .В этой системе координат уравнение директрисы x  p2p, координаты фокуса F  , 0  . Оси2канонической системы координат называются главными осями параболы.45Построение линии второго порядкаДля построения линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координатуравнением (5.1), нужно:I ) определить название линии второго порядка, составить ее каноническое уравнение;II ) найти каноническую систему координат Oxy (в которой уравнение линии имеетканонический вид);III ) построить линию в заданной системе координат Oxy .Рассмотрим алгоритмы выполнения каждого этапа.Алгоритм составления канонического уравнениялинии второго порядкаВ алгоритме применяются ортогональные инварианты – выражения, составленные изкоэффициентов уравнения (5.1), которые не изменяются при замене исходной прямоугольной системы координат другой прямоугольной системой координат.

Другой способ – алгоритм приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду, который выполняется при помощи алгебраических преобразований, рассматривается ниже (на стр. 50).Пусть в прямоугольной системе координат Oxy линия второго порядка описываетсяуравнением (5.1). Требуется определить ее название и составить каноническое уравнение.Для этого нужно выполнить следующие действия.1. Вычислить ортогональные инварианты  a11  a22 ,a11a12a12a22aaaЕсли     0 , то вычислить   11 1  22a1 a0a2a11  a12a1,a2a0a12a1a22a2a2 .a0.2. По таблице 5.2 определить название линии, а по названию – каноническое уравнениелиний второго порядка.3. Составить характеристическое уравнение 2       0 , либо используя вычисленные в п.1 коэффициенты, либо разлагая определительa a12det  A   E   11 2      .a12a22  Найти корни 1 ,  2 (с учетом кратности) характеристического уравнения.464.

Занумеровать корни 1 ,  2 характеристического уравнения в соответствии с правилами:а) если линия эллиптического типа, то 1   2 ;б) если линия гиперболического типа, то:– при   0 : 1  0 (знак 1 совпадает со знаком  );– при   0 : 1  0 ;в) если линия параболического типа, то 1  0 ,  2  0 . Корни 1 ,  2 не используютсяпри составлении канонических уравнений линий параболического типа, но применяются принахождении канонической системы координат.Т а б л и ц а 5.2. Классификация линий второго порядкаПараболический Гиперболический ЭллиптическийтиптиптипНецентральныелинииЦентральныелинииПризнаки вида0Название линии№  0эллипс1  0эллипс мнимый20пара мнимых пересекающихсяпрямых30гипербола40пара пересекающихсяпрямых50парабола6пара параллельных прямыхпара мнимых параллельныхпрямыхпара совпадающих прямых70000000895.

Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в каноническойсистеме координат Oxy :а) для линий эллиптического типа (   0 ):(1) при  0– уравнение эллипсаa 2    , b2    ;1 2 47( x) 2a2( y)2b21с коэффициентами(2) при     0 – уравнение мнимого эллипса( x) 2a2( y)2b2 1 с коэффициентамиa 2   , b2   ;1 2 (3) при   0 – уравнение пары мнимых пересекающихся прямых( x)2a2( y)2b2011, b2 ;с коэффициентами a 2 12б) для линии гиперболического типа (   0 ):(4) при0– уравнение гиперболы( x) 2a2( y)2b2 1 с коэффициентамиa 2    , b2   ;1 2 (5) при   0 – уравнение пары пересекающихся прямых( x)2a2( y)2 0 с коэффи-b2циентами a 2  1 , b 2   1 ;12в) для линии параболического типа (   0 ):(6) при   0 – уравнение параболы ( y) 2  2 p x с параметром p   ;3(7) при   0 ,   0 – уравнение пары параллельных прямых ( y)2  b 2  0 с коэффициентом b 2    ;2(8) при   0 ,   0 – уравнение пары мнимых параллельных прямых ( y)2  b 2  0с коэффициентом b 2   ;2(9) при   0 ,   0 – уравнение пары совпадающих прямых ( y) 2  0 .Алгоритм нахождения канонической системы координатлинии второго порядкаДля нахождения канонической системы координат Oxy достаточно указать величину угла поворота системы координат Oxy относительно заданной системы координат Oxy ,а также координаты x0 , y0 начала O канонической системы координат в заданной системекоординат Oxy .

Связи между координатами определяются формулами:48 x  x0  x cos   y sin  , y  y0  x sin   y cos  .(5.2)Пусть выполнены пп.1–5 алгоритма составления канонического уравнения линии второго порядка.6. Вычислить величину  угла поворота системы координат:если a12  0 или a11  1 , тоcos  a12(1  a11)22 a12,sin  1  a11(1  a11)22 a12;если a12  0 и a11  1 , то cos   1 , sin   0 (т.е.   0 ).Для параболы (при 1  0 ) угол  должен удовлетворять дополнительному условию, (a1 cos   a2 sin )  0 , в противном случае величину угла нужно увеличить на  (в формуле (5.2) угол  заменить на    и учесть, что cos      cos  , sin       sin  ).7.

Найти координаты x0 , y0 начала O канонической системы координат:а) для всех линий, за исключением параболы, найти любое решение x  x0 , y  y0 системы уравнений a11 x  a12 y  a1  0 , a12 x  a22 y  a2  0 ;б) для параболы найти решение x  x0 , y  y0 системы уравненийa a a aa11 x  a12 y  1 11 2 12  0 ,если a11  0a11  a22  a  a1 a22  a2 a12  x   a  a1 a12  a2 a11  y  a  0 , или a12  0 ;0 2  1a11  a22 a11  a22  a y  a2  0 ,если a11  a12  0 .либо системы уравнений  22 2 a1 x  a0  0 ,Найденные в п.

6,7 значения  , x0 , y0 подставить в (5.2) для получения формул преобразования координат.Алгоритм построения линии второго порядкаПусть определено название линии второго порядка, составлено ее каноническое уравнение (см. пп. 1–5), а также найдена каноническая система координат Oxy (пп. 6,7 алгоритма). Требуется построить линию второго порядка в заданной системе координат Oxy . Дляэтого нужно выполнить следующие действия.498. На координатной плоскости Oxy изобразить каноническую систему координат Oxy ,оси которой повернуты на угол  , вычисленный в п.6, а начало O имеет координаты x0 ,y0 , найденные в п. 7.9.

Построить линию второго порядка в канонической системе координат Oxy по каноническому уравнению, найденному в п.5. Построение центральных линий (эллипса, гиперболы, пары пересекающихся прямых) удобно начинать с изображения основного прямоугольника (см.

рис. 5.2, 5.4). При построении параболы использовать рис. 5.6. Пары параллельныхпрямых и пары совпадающих прямых строятся в канонической системе координат без труда.Мнимые линии не изображаются, за исключением пары мнимых пересекающихся прямых(в этом случае изображается только единственная точка O ).Рассмотрим другой алгоритм получения канонического уравнения линии второго порядка и нахождения канонической системы координат Oxy (первые два этапа построения линии второго порядка).Алгоритм приведения уравнения линии второго порядкак каноническому видуПусть в прямоугольной системе координат Oxy алгебраическая линия второго порядказадана уравнением (5.1):a11x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a1x  2a2 y  a0  0 .Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.1.

Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных ( a12  0 ), то делаем поворот системы координат: x  x cos   y sin  , y  x sin   y cos a aна угол  ( 0     ), удовлетворяющий равенству ctg 2  11 22 . При этом получим22a12упрощенное уравнение линии второго порядка:1( x) 2   2 ( y) 2  2a1 x  2a2 y  a0  0 .(5.3)Если a12  0 , переходим к п. 2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет упрощенный вид (5.3).2. Выполняем параллельный перенос системы координат:50а) если в уравнении (5.3) нет линейных членов ( a1  0 и a2  0 ), то переходим к п.

3;б) если в уравнении (5.3) имеются линейный и квадратичный члены с какой-либо одной неизвестной, то дополняем эти члены до полного квадрата и заменяем его квадратом новой неизвестной. Например, если в уравнении 1  0 и a1  0 , то выполняем преобразования:22222 a1   a1  a1  a1 a1a1 2221(x)  2a1 x  1 (x)  2 x     1   1 x    1   1x  1  ,     11  1  1 1 1где x  x a11.

В полученном выражении нет линейного члена с неизвестной x ;в) если одна неизвестная входит в уравнение (5.3) только в первой степени, а другая –только во второй, то нужно уничтожить свободный член уравнения, заменяя первую неизвестную. Например, в уравнении a22 ( y) 2  2a1x  a0  0 можно преобразовать неквадратичaaные члены: 2a1x  a0  2a1 x  0   2a1x , где x  x  0 .2a1 2a13. Полученное в результате преобразований (п. 2) приведенное уравнение имеет «почти»канонический вид.

Для окончательного упрощения приведенного уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:а) переименование координатных осей (зеркальное отражение в прямой y  x ):x  y , y  x ;б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс (зеркальное отражение в оси ординат): x   x , y  y ;в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;г) перенос членов из одной части уравнения в другую.Например, приведенное уравнение x 2  2 y  0 преобразуем к виду x 2  2 y .

Характеристики

Список файлов книги