Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Точка M , удовлетворяющая равенству (1.1) при t  [0;1] , принадлежит отрезку12AB , и, наоборот, для любой точки M отрезка AB , найдется такое t  [0;1] , что выполняется равенство (1.1).Координаты точки M , которая делит отрезок AB в отношенииAM (  0,MB   0 ), находятся по координатам его концов A( x A , y A , z A ) и B ( xB , y B , z B ) :  x A   xB  y A   y B  z A   z B .M ;;    (1.2)В частности, координаты середины M отрезка AB равны среднему арифметическому соответствующих координат его концов: x  xB y A  y B z A  z B .M  A;;222 (1.3)Аналогично определяются аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторовOA , OB , OC . Предполагаем, что точки A , B , C не лежат на одной прямой.Линейная комбинация  OA   OB   OC радиус-векторов OA , OB , OC называетсяаффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице:       1 .

Если, кроме того, всеее коэффициенты – неотрицательные числа, то комбинация называется выпуклой. Точка M ,удовлетворяющая равенствуOM  t OA  s OB  (1  t  s ) OC ,(1.4)принадлежит плоскости, проходящей через точки A , B , C , при всех t   , s   , и,наоборот, для любой точки M , принадлежащей плоскости, проходящей через точки A , B ,C , найдутся такие числа t   и s   , что выполняется равенство (1.4).

Если комбинация(1.4) выпуклая ( t  [0;1] , s  [0;1] ), то точка M принадлежит плоскому треугольнику ABC .Используя формулу (1.4) при t  s  1 , можно показать, что координаты точки M пе3ресечения медиан треугольника ABC равны среднему арифметическому координат еговершин x  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC  .;;M  A333(1.5)Пример 1.

Точки M и N делят соответственно диагональ АС и сторону BC паралле-лограмма ABCD в отношениях AM : MC  2 : 1 , BN : NC  2 : 3 . Разложить вектор MN повекторам a  AD и b  AB . В каком отношении диагональ BD делит отрезок AN ?Решение. Для сторон треугольника CMN имеем векторное равенство MN  NC  MC(рис.

1.17). Подставляя в это равенство разложения MC  1 AC  1 (a  b ) и NC  3 BC  3 a ,313355получаем MN  2 a  1 (a  b ) . Выражаем MN  1 (a  b )  2 a . Приводя подобные члены,5335находим искомое разложение MN   1 a  1 b .15BNEQbaAСM3Пусть E – точка пересечения диагонали BD и отрезка AN .Обозначим через  отношение   AE : AN . Тогда AE   AN .С другой стороны, поскольку точка E принадлежит отрезку BD ,то вектор AE можно представить как выпуклую комбинациюDРис. 1.17векторов AD и AB . Значит, существует такое число t  [0;1] , чтоAE  t AD  (1  t ) AB .

Таким образом, имеем равенство  AN  t AD  (1  t ) AB . Выражая всевекторы через a и b , получаем ( 2 a  b )  t a  (1  t ) b .5Приравниваем коэффициенты при одинаковых векторах в левой и правой частях равенства:0,4   t ,   1  t.Подставляя t  0,4 во второе уравнение, получаем   1  0,4 . Отсюда   5 . Значит,7AE : AN  5 : 7 . Тогда искомое отношение AE : EN  5 : 2 .Ответ: MN   1 a  1 b , AE : EN  5 : 2 .153Пример 2. В аффинной системе координат Ox1x2 x3 заданы вершины A(1,3,2) , B(3,4,1) ,C (5,2,3) , D(7,7,6) треугольной пирамиды ABCD (рис. 1.18). Найти:а) координаты вектора AB ;Dб) координаты середины L ребра AD ;CLNAKв) координаты точки M пересечения медиан треугольникаABС ;г) координаты точки N , которая делит отрезок DM в отMOBРис.

1.18ношении DN : NM  3 : 1 ;д) отношение, в котором плоскость грани ABC делит отрезок OD .Решение. а) Координаты вектора AB находим, вычитая из координат точки B коорди-наты точки A : AB  (3  1 4  3 1  2)  (2 1  1) .14б) Координаты середины L отрезка AD определяем по правилу (1.3): L(1 7 , 3 7 , 2  6 ) ,222т.е. L(4,5,4) .в) Координаты точки M пересечения медиан грани ABС вычисляем по правилу (1.5):M (13 5 , 3 4  2 , 2 13 ) , т.е. M (3, 3, 2) .333г) Координаты точки N , которая делит отрезок DM в отношении DN : NM  3 : 1 ищемпо правилу (1.2) при   1 ,   3 : 1 x  3 xM 1 y D  3 y M 1 z D  3 z MN  D,,1 31 31 3 . 1 7  3  3 1 7  3  3 1 6  3  2 ,,Подставляя координаты точек D и M , получаем N  , т.е.444N (4, 4, 3) .д) Найдем теперь отношение, в котором плоскость грани ABC делит отрезок OD .

ПустьK – точка пересечения прямой OD и плоскости грани ABC . Тогда из коллинеарности векторов OD и OK следует, что OK   OD , где   OK : OD . Кроме того, поскольку точкаK принадлежит плоскости ABC , то, согласно (1.4), существуют такие числа t и s , чтоOK  t OA  s OB  (1  t  s ) OC . Таким образом, имеем векторное равенствоt OA  s OB  (1  t  s ) OC   OD .Запишем его в координатной форме, заменяя векторы координатными столбцами1  357     t  3   s  4   (1  t  s )  2     7  . 2 1 36     Приравнивая координаты, получаем систему уравнений t  3s  5(1  t  s )  7 ,3t  4 s  2(1  t  s )  7 , 2t  s  3(1  t  s )  6 4t  2 s  7  5 , t  2 s  7   2 , t  2 s  6  3 .Складываем последние два уравнения: 13  5 .

Отсюда   5 . Значит, OK : OD  5 : 13 . То13гда искомое отношение OK : KD  5 : 8 .Ответ: а) AB  (2 1  1) ; б) L(4,5,4) ; в) M (3, 3, 2) ; г) N (4, 4, 3) ; д) 5 : 8 .152. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВСкалярное произведение векторовСкалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произ-ведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определен, а скалярное произведение считается равнымнулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначается(a , b )  a  b  cos  ,(2.1)где  – величина угла между векторами a и b . Скалярное произведение (a , a )  a2назы-вается скалярным квадратом.Алгебраические свойства скалярного произведенияДля любых векторов a , b , c и любого действительного числа  :1. (a , b )  (b , a ) ;(коммутативность)2. (a  b , c )  (a , c )  (b , c ) ;(аддитивность по первому множителю)3.

( a , b )   (a , b ) ;(однородность по первому множителю)4. (a , a )  0 , причем из равенства (a , a )  0 следует, что a  o .(неотрицательность)Формула вычисления скалярного произведения. В ортонормированном базисе ска-лярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:если векторы a и b относительно ортонормированного базиса на плоскости имеюткоординаты a  ( xaya ) и b  ( xbyb ) , то скалярное произведение этих векторов вычис-ляется по формуле:(a , b )  xa xb  ya yb ;(2.2)если векторы a и b относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты a  ( xayaza ) и b  ( xbybzb ) , то скалярное произведение этих век-торов вычисляется по формуле:(a , b )  xa xb  ya yb  za zb .(2.3)Координаты вектора a  xai  ya j  za k в ортонормированном базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:xa  (a , i ) , ya  (a , j ) , za  (a , k ) .16(2.4)Векторное произведение векторовВектор c называется векторным произведением неколлинеарных векторов a и b , если:1) его длина равна произведению длин векторов a и bc  [a , b ]на синус угла между ними: c  a  b  sin  (рис.

2.1);b2) вектор c ортогонален векторам a и b ;a3) векторы a , b , c (в указанном порядке) образуют пра-Рис. 2.1вую тройку.Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один измножителей – нулевой вектор) считается равным нулевому вектору. Векторное произведениеобозначается c  [a , b ] (или a  b ).Алгебраические свойства векторного произведенияДля любых векторов a , b , c и любого действительного числа  :1.

[a , b ]   [b , a ] ;(антикоммутативность)2. [a  b , c ]  [a , c ]  [b , c ] ;(аддитивность по первому множителю)3. [ a , b ]   [a , b ] .(однородность по первому множителю)Векторные произведения векторов i , j , k правого ортонормированного (стандартного)базиса находятся по определению:[i , j ]  k ; [ j , k ]  i ; [k , i ]  j ; [ j , i ]   k ; [k , j ]   i ; [i , k ]   j ;[i , i ]  [ j , j ]  [k , k ]  o .Формула вычисления векторного произведения. Если векторы a и b в правом ор-тонормированном базисе i , j , k имеют координаты a  ( xayaza ) и b  ( xbybzb ) ,то векторное произведение этих векторов находится по формуле:i[a , b ]  xaxbjyaybkyza  i aybzbzaxj azbxb17zaxk azbxbya.yb(2.5)Смешанное произведение векторовСмешанным произведением векторов a , b , c называется число ( a , [b , c ] ) , равное ска-лярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c .

Смешанноепроизведение обозначается (a , b , c ) .Алгебраические свойства смешанного произведения1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на про-тивоположный:(a , b , c )   (b , a , c ) ,( a , b , c )   (с , b , a ) ,(a , b , c )   (a , c , b ) ;при циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:(a , b , c )  (b , с , a )  (c , a , b ) .2.

Характеристики

Список файлов книги