Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Находим векторное произведение векторов m  AB  (2  2 2  2  1  1)  (0 4  2) и p  BC :38ij k[m , p ]  0 4  2  12 i  18 j  36 k ,9 4 1а затем искомое расстояние AH 122  182  362222(9)  4  142983 2.д) Сначала составим общее уравнение прямой AH , представляя ее как линию пересечения плоскости треугольника ABC и плоскости  , проходящей через вершину A и перпендикулярную прямой BC . Учитывая, что вектор BC является нормальным для этой плоскости, получаем:  9( x  2)  4( y  2)  1  ( z  1)  0  9 x  4 y  z  25  0 . Записывая это уравнение вместе с (4.7), приходим к общему уравнению прямой AH : 9 x  4 y  z  25  0 , 2 x  3 y  6 z  4  0.(4.8)Чтобы составить каноническое уравнение этой прямой, достаточно найти ее направляющийвекторq.Дляэтогоможноиспользоватьвекторноепроизведениенормалейn  (9  4  1) и n ABC  (2 3 6) плоскостей в уравнении (4.8):ijk 4 19 19 4q  [n , n ABC ]  9  4  1  ijk 21i  38 j  35 k .362 62 32 36Теперь записываем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A с направляющим вектором q :x  2 y  2 z 1. 21  3835е) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки O , A , B :xyz2 2 1 0 2 2 1По формуле (4.2) находим cos  но,   arccos4 y  8z  0  y  2z  0 .2  0  3 1  6  222  32  62 02  12  22157 53 5.

Следователь73 5.7ж) Вектор OA  (2  2 1) является направляющим для прямой OA , которая имеетy z . По формуле (4.6) вычисляемуравнение x 22139sin  2  2  2  3  1 622  (2) 2  1222  32  6210.21Следовательно, искомая величина угла   arcsin 10 .21з) Чтобы найти проекцию O1 вершины O на плоскость основания ABC нужно составить параметрическое уравнение прямой OO1 , которая проходит через начало координат иперпендикулярна плоскости ABC . Нормаль n ABC  (2 3 6) к этой плоскости являетсянаправляющим вектором для прямой OO1 , поэтом ее уравнение имеет вид: x  2t , y  3t , z  6t ,(4.9)где t   . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости ABC , определяем значение параметра t для точки O1 пересечения прямой и плоскости:2(2t )  3(3t )  6(6t )  4  049 t  4t4.49Подставляя в (4.9), определяем координаты точки O1( 8 , 12 , 24 ) .49 49 49и) Находим координаты точки M , согласно правилу (1.5) 2  2  7  2  2  6 11 0 M;; , т.е.

M (1; 2; 0) .333 Учитывая, что вектор OM  ( 1 2 0) является направляющим для прямой OM , записываем каноническое уравнение этой прямой:x0 y0 z0120xy z  .1 2 0к) Применяем формулу (4.5) к направляющим векторамOM  ( 1 2 0) :cos  0  (1)  4  2  2  002  42  (2) 2 (1) 2  22  02AB  (0 4  2)8 4 .10 5иСледовательно,  arccos 4 .5л) Канонические уравнения скрещивающимися прямых OM и AB имеют видOM :xy z  ;1 2 0AB :x  2 y  2 z 1.042Расстояние d между ними будем искать по формуле (4.4). Сначала запишем все используемые векторы: направляющие векторы p1  ( 1 2 0) , p2  (0 4  2) , а также вектор, соединяющий точки O и A : m  OA  (2  2 1) .

Теперь вычисляем произведения векторов4022(m , p1, p2 )   10  8 ,20ij k[ p1, p2 ]   1 2 0   4 i  2 j  4 k .0 4 2124Находим расстояние как отношение модулей этих произведений8d(4) 2  (2) 2  (4) 28 4 .6 3м) Чтобы проекцию C1 вершины C на прямую AB , составим уравнение плоскости,проходящей через точкуCи перпендикулярной прямойAB . Поскольку векторAB  (0 4  2) является нормальным для этой плоскости, то ее уравнением имеет вид0  ( x  7)  4  ( y  6)  2  ( z  0)  04 y  2 z  24  0 2 y  z  12  0 .Найдем точку пересечения этой плоскости с прямой AB .

Для этого удобно использовать параметрическое уравнение прямой AB : x  2, y  2  4 t , z  1  2 t,t  .гдеПодставляяэтивыражения(4.10)вуравнениеплоскости,получаем2(2  4t )  (1  2t )  12  0 . Отсюда t  1,7 . По формулам (4.10) вычисляем координаты точкиС1(2; 4,8;  2,4) .н) Сначала найдем координаты точки O2 , симметричной точке O относительно плоскостиоснованияABC .Учитывая,равенствоOO2  2OO1 ,покоординатамточкиO1( 8 , 12 , 24 ) (см. п.«д») вычисляем координаты точки O2 ( 16 , 24 , 48 ) . Теперь записываем49 49 4949 49 49уравнение прямой, проходящей через две точки M и O2 :x 11649Ответ:а)49 49 49н)y224492z0484902x  3 y  6z  4  0 ; 9 x  4 y  z  25  0 ,д)  2x  3y  6z  4  0,з) O1( 8 , 12 , 24 ) ;1и)б)x  2 y  2 z 1; 21  3835xy z  ;1 2 0x 1 y  2 z  0.65 7448h4;7541x  2  y  2  z 1 ;941е)   arccosк)   arccos 4 ;x 1 y  2 z  0. 746548в)3 5;7л) d 4;3г)3 2;ж)   arcsin 10 ;21м) С1(2; 4,8;  2,4) ;5.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКААлгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плос-кости, которое в какой-либо аффинной системе координат Oxy может быть задано уравнением видаa11x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a1x  2a2 y  a0  0 ,(5.1)222где старшие коэффициенты a11 , a12 , a22 не равны нулю одновременно ( a11 a12 a22 0 ).Без ограничения общности можно считать, что система координат, в которой задано уравнение линии второго порядка, прямоугольная. Для каждой линии второго порядка существуетпрямоугольная система координат Oxy , в которой уравнение принимает наиболее простой(канонический) вид.

Она называется канонической, а уравнение – каноническим. Всегоимеется девять канонических видов уравнений линий второго порядка, которые приведены втабл. 5.1Т а б л и ц а 5.1. Канонические уравнения линий второго порядка№1234567Уравнение линииx2a2x2a2x2x2a2a2b2b2y2a2x2y2y2b2y2b2y2b2Название линии1Изображение линииyэллипсxy 1мнимый эллипс0пара мнимых пересекающихсяпрямых1гипербола0пара пересекающихся прямыхxyxy2y  2pxпараболаy 2  b2  0пара параллельных прямых8y 2  b2  0пара мнимых параллельныхпрямых9y2  0пара совпадающих прямыхВ этих уравнениях a  0 , b  0 , p  0 , причем a  b в уравнениях 1–3.42xyxyxyxyxyxЛинии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) – мнимыми.

Вещественные линии изображены в канонических системах координат. Изображения мнимых линий даются штриховкой только для иллюстрации.Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр(симметрии). В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным,линия называется нецентральной. К центральным линиям относятся эллипсы (вещественный и мнимый), гипербола, пара пересекающихся прямых (вещественных и мнимых).Остальные линии – нецентральные.ЭллипсЭллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каж-дой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная ( 2a ), бóльшаярасстояния ( 2c ) между этими заданными точками (рис. 5.1).

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c  F1F2 – фокусным расстоянием, середина Oотрезка F1F2 – центром эллипса. Отрезки F1M и F2 M , соединяющие произвольную точкуM эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M .yЭллипсF1M  F2 M  2abMOF22cF2aF2Oxab2aРис. 5.1Отношение e F2Рис. 5.2cназывается эксцентриситетом эллипса. Из определения ( 2a  2c )aследует, что 0  e  1 .

Чем больше e , тем эллипс более вытянут. При e  0 , т.е. при c  0 ,фокусы F1 и F2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a .В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис. 5.2, эллипс описывается каноническим уравнениемx2a2y2b2где b  a 2  c 2 .43 1,Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр – центром симметрии. Числа aи b называются большой полуосью и малой полуосью эллипса соответственно, отношениеk  b  1 – коэффициентом сжатия.

Прямые x   a , y   b ограничивают на координатaной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис. 5.2).Точки пересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса.ГиперболаГиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности рас-стояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная( 2a ), меньшая расстояния ( 2c ) между этими заданными точками (рис.

5.3).ГиперболаF1M  F2 M  2ay   b xMF1O2ay  b xyaabF1F2aOF2axb2cРис. 5.4Рис. 5.3Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c  F1F2 между ними –фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 – центром гиперболы. Отрезки F1M иF2 M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отношение e caназывается эксцентриситетом гиперболы.Из определения ( 2a  2c ) следует, что e  1 . Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы ýже.В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис.5.4, гиперболаописывается каноническим уравнениемx2a2y2b21,где b  c 2  a 2 .Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр – центром симметрии, чис44ло a – действительной полуосью гиперболы, b – мнимой полуосью гиперболы.

Прямыеx   a , y   b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне ко-торого находится гипербола (рис. 5.4). Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс называются вершинами гиперболы. Прямые y  bax , содержащие диагонали основного прямо-угольника, называются асимптотами гиперболы (см. рис. 5.4).ПараболаПараболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от за-данной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Точка F называется фокусом параболы, прямая d – директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, – вершиной параболы, расстояние p от фокуса додиректрисы – параметром параболы, а расстояниеp2от вершины параболы до ее фокуса –фокусным расстоянием (рис. 5.5).

Характеристики

Список файлов книги