Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Это сле1313дует из равенства OO  2  OP . Подставляя t  10 в (3.4), находим координаты точки O :13x  5  10  50 , y  12  10  120 , т.е. O( 50 , 120 ) .1313131313 13x 1 y  5; в) x  y  4  0 ; г)Ответ: а) x  y  5  0 ; б)81е)   arccos 2 ; ж) O( 50 , 120 ) .1013 1331 x  1  112 t ,65t   ; д) 3,5 2 ;14 t ,y2654. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕУравнения плоскостейРазнообразие видов уравнений плоскостей порождается многообразием геометрическихспособов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющихплоскость, можно составить уравнение этой плоскости, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения.

И наоборот, коэффициенты любого уравненияплоскости имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания плоскости.Ненулевой вектор n , перпендикулярный заданной плоскости, называется нормальнымвектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости (рис. 4.1,4.2). Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей (рис. 4.3). Эти векторы характери-зуют направление прямой и используются в уравнениях. Плоскость, разумеется, можно задать, указав три ее точки, не лежащие на одной прямой (рис. 4.4).

В частности, это могутбыть точки на координатных осях (рис. 4.5). В этом случае говорят, что плоскость отсекает«отрезки» x1 , y1 , z1 на координатных осях.Нормальn  Ai  B j  C kzНормальn  cos   i  cos   j  cos   kznM 0 ( x0 , y0 , z0 )kijyOxxРис. 4.1zp2O n  OНаправляющие векторыp1  a1i  b1 j  c1kp2  a2i  b2 j  c2kzyxzz1M 2 ( x2 , y2 , z2 )M1( x1, y1, z1)p1M 0 ( x0 , y0 , z0 )OyxРис.

4.432OРис. 4.3Рис. 4.2xp2p1M0x1Рис. 4.5y1 yyДля удобства решения практических задач, связанных с плоскостями, приведем все основные типы уравнений плоскостей и соответствующие геометрические способы заданияэтих плоскостей (см. табл. 4.1).Т а б л и ц а 4.1. Основные типы уравнений плоскостейНазваниеУравнениеОбщее уравнениеплоскостиAx  By  Cz  D  0 ,Нормированноеуравнение плоскостиx cos   y cos   z cos     0 ,0Параметрическоеуравнение плоскости x  x0  a1t1  a2t2 , y  y0  b1t1  b2t2 , z  z c t c t ,01122Уравнение плоскости,проходящей черезточку и компланарнойдвум неколлинеарнымвекторамУравнение плоскости,проходящей через триточкиУравнение плоскости«в отрезках»A2  B 2  C 2  0a brg  1 1 a2 b2z  z0a1a2b1b2c1c2x1  x0x2  x0y1  y0y2  y0Плоскость проходит черезточку M 0 ( x0 , y0 , z0 )c1 2c2 y  y0y  y0перпендикулярно векторуn  A i  B j  C k (рис. 4.1)Плоскость проходитперпендикулярно векторуn  cos   i  cos   j  cos   kна расстоянии  от началакоординат (рис.

4.2)t1,t2   ,x  x0x  x0Способ заданияплоскостиПлоскость проходит черезточку M 0 ( x0 , y0 , z0 )z  z0компланарно неколлинеарнымвекторам p1  a1i  b1 j  c1k ,0z1  z0  0z 2  z0x y z   1,x1 y1 z1x1  0 , y1  0 , z1  0p2  a2i  b2 j  c2k (рис. 4.3)Плоскость проходит через триточки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,M1( x1, y1, z1) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )(рис. 4.4)Плоскость отсекает на координатных осях «отрезки»x1 , y1 и z1 (рис.

4.5)Метрические приложения уравнений плоскостейПриведем формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов поуравнениям образующих их плоскостей.n2Угол между двумя плоскостями можно определить как уголмежду их нормальными векторами (на рис. 4.6 нормали к плоско- n1стям 1 , 2 обозначены n1 , n2 соответственно). По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополня33Рис. 4.612ющих друг друга до  . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина  угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию0  .21.

Расстояние d от точки M ( xM , yM , zM ) до плоскости A x  B y  C z  D  0 вычис-ляется по формуле (рис. 4.7):d2. РасстояниемеждуA xM  B y M  C z M  DA2  B 2  C 2параллельными.плоскостями(4.1)A1x  B1 y  C1z  D1  0иA2 x  B2 y  C2 z  D2  0 находится как расстояние d1 от точки M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , координатыкоторойудовлетворяютA2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ,уравнениюдоплоскостиA1x  B1 y  C1z  D1  0 по формуле (рис. 4.8):d1 A1x2  B1 y2  C1z2  D1A12B12A2 x  B2 y  C2 z  D2  0dOx.zM ( xM , yM , zM )z C12M 2 ( x2 , y2 , z2 )OyAx  B y C z  D  0xyd1A1 x  B1 y  C1 z  D1  0Рис.

4.7Рис. 4.83. Острый угол  между двумя плоскостями1 : A1x  B1 y  C1z  D1  0и2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0находится по формуле:cos  A1 A2  B1B2  С1С2A12 B12 С12A22 B22 С22,(4.2)где n1  A1i  B1 j  C1k и n2  A2i  B2 j  C2k – нормали к плоскостям 1 и 2 соответственно (см. рис. 4.6).При решении задач формулы п. 1–3 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры (см.

разд. 2).34Уравнения прямых в пространствеРазнообразие видов уравнений прямых в пространстве порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначноопределяющих прямую в пространстве, можно составить уравнение этой прямой, причемгеометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения.

И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способузадания прямой в пространстве. Обычно, используются следующие данные. Прямую задаюткак линию пересечения двух плоскостей (рис. 4.9), либо указываю точку, принадлежащуюпрямой и ее направляющий вектор (рис. 4.10), либо указать две точки, принадлежащие прямой (рис. 4.11).Нормаль к плоскости 2 :n2  A2 i  B2 j  C2 kzpНаправляющий векторp  ai  b j  ckzНормаль к плоскости 1 :n1  A1 i  B1 j  C1 kzM1( x1, y1, z1)kk O1i2j yxРис. 4.9M 0 ( x0 , y0 , z0 )i O jxM 0 ( x0 , y0 , z0 )yyOxРис.

4.11Рис. 4.10Для удобства решения практических задач, связанных с прямыми в пространстве, приведемвсе основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы заданияэтих прямых (см. табл. 4.2).Метрические приложения уравнений прямыхУгол между прямой l и плоскостью  определяется как угол между прямой l и ее ор-тогональной проекцией lпр на плоскость (рис. 4.12). Из двух смежных углов  и  , какправило, выбирают меньший, т.е.

0     . Если прямая l перпендикулярна плоскости (ее2ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным  .2lРис. 4.12l1lпрl1p1p2l2Рис. 4.1335dl2Рис. 4.14Т а б л и ц а 4.2. Основные типы уравнений прямых в пространствеНазваниеУравнениеОбщее уравнениепрямой A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 , A B1 C1 2rg 1 A2 B2 C2 Способ заданияпрямойПрямая определяется как линияпересечения двух плоскостейA1x  B1 y  C1z  D1  0и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0(рис. 4.9) x  x0  a t , y  y0  b t , t   ; z  z  ct ,0Параметрическоеуравнение прямойПрямая проходит через точкуM 0 ( x0 , y0 , z0 ) коллинеарноa 2  b2  c 2  0x  x0 y  y0 z  z0,abcКаноническоеуравнение прямойвектору p  a i  b j  c k(рис.

4.10)a 2  b2  c 2  0Уравнение прямой,проходящей черездве точкиx  x0x1  x0x  y0y1  y0Прямая проходит через точкиM 0 ( x0 , y0 , z0 ) и M1( x1, y1, z1)z  z0z1  z0(рис. 4.11)Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами(рис. 4.13).Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего пер-пендикуляра (рис. 4.14), т.е.

кратчайшее расстояние между точками этих прямых.Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов поуравнениям образующих их прямых.1. Расстояние d от точки M1( x1, y1, z1) до прямойx  x0ay  y0bz  z0cвычисляетсяпо формулеd[ m, p ]p,как высота параллелограмма (рис.

4.15), построенного на векторахm  ( x1  x0y1  y0(4.3)p  (a b c) иz1  z0 ) .По этой же формуле вычисляется расстояние между параллельными прямымиx  x0ay  y0bz  z0cпропорциональны:иx  x1a1y  y1b1z  z1c1, координаты направляющих векторов которыхa b c(см. рис. 4.15). a1 b1 c136p2M1( x1, y1, z1)dpl1M 2 ( x2 , y2 , z2 )dmlM 0 ( x0 , y0 , z0 )l2p1l1M1( x1, y1, z1)Рис. 4.15Рис. 4.162. Расстояние d между скрещивающимися прямыми (рис. 4.16)x  x1a1y  y1b1z  z1x  x2иc1a2y  y2b2z  z2c2вычисляется по формулеd(m , p1, p2 )[ p1, p2 ],(4.4)как высота параллелепипеда (рис. 4.16), построенного на векторах p1  a1 i  b1 j  c1 k ,p2  a2 i  b2 j  c2 k и m  ( x2  x1) i  ( y2  y1) j  ( z2  z1) k .

В формуле (4.4)(m , p1, p2 ) x2  x1y2  y1z2  z1a1a2b1b2c1c2ij 0 , [ p1, p2 ]  a1 b1a2 b2kc1c2– смешанное и векторное произведения векторов соответственно.3. Угол  между двумя прямымиx  x1a1y  y1b1z  z1x  x2иc1a2y  y2b2z  z2c2вычисляется по формулеcos  4. Угол  между прямойa1 a2  b1 b2  c1 c2a12x  x0a b12 c12y  y0ba22z  z0c b22 c22.(4.5)и плоскостью A x  B y  C z  D  0вычисляется по формулеsin  a A  b B  cC22a b c23722A  B C2.(4.6)Пример 8. В прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты вершинA(2,2,1) , B (2,2,1) и С (7,6,0) треугольной пирамиды OABC (рис. 4.17) Требуется:а) составить общее уравнение плоскости грани ABC ;б) найти расстояние h от вершины O до плоскости грани ABC ;в) составить каноническое уравнение прямой BC ;г) найти расстояние от вершины A до прямой BC (т.е.

высоту AH треугольника ABC );д) составить общее и каноническое уравнения прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC ;е) найти величину  угла между плоскостями граней OAB и ABC ;ж) найти величину  угла между ребром OA и плоскостью грани ABC пирамиды;з) найти проекцию O1 вершины O на плоскость основания ABC ;и) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину O и точку Mпересечения медиан треугольника ABC ;к) найти величину  угла между прямыми OM и AB ;Oл) найти расстояние d между прямыми OM и AB ;м) найти проекцию C1 вершины C на прямую AB ;hCAн) составить уравнение прямой, симметричной прямой OMотносительно плоскости основания ABC .O1MHC1 BРешение. а) Составляем уравнение плоскости, проходящейчерез три точки A , B , C :x2y2z 12  2 2  2 11  0  7  2 6  2 0 1O2Рис.

4.17x209y  2 z 1482  0.1Разлагая определитель по первой строке, получаем 12( x  2)  18( y  2)  36( z  1)  0 . Раскрывая скобки и упрощая, приходим к общему уравнению плоскости грани ABC :2x  3 y  6z  4  0 .б) Высоту h пирамиды находим по формуле (4.1): h (4.7)2 0  30  6 0  422  32  624.7в) Находим для прямой BC направляющий вектор BC  ( 9 4 1) и записываем каноy  2 z 1ническое уравнение x  2 .941г) Расстояние от вершины A до прямой BC вычисляем по формуле (4.3).

Характеристики

Список файлов книги