Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Веще-ственные поверхности изображены в канонических системах координат. Изображения мнимых поверхностей даются штриховыми линиями только для иллюстрации.Поверхность второго порядка называется центральной, если она имеет единственныйцентр (симметрии). В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, поверхность называется нецентральной. К центральным поверхностям относятся эллипсоиды (вещественный и мнимый), гиперболоиды (однополостный и двуполостный), конусы (вещественный и мнимый).

Остальные поверхности – нецентральные.ЭллипсоидЭллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной си-стеме координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2y2b2z2c21,(6.2)где a , b , c – положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам a  b  c .Если точка M ( x, y, z ) принадлежит эллипсоиду (6.2), то координаты точек ( x,  y,  z )при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (6.2).

Поэтому эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.Начало координат называют центром эллипсоида. Шесть точек ( a, 0, 0) , ( 0,  b, 0) ,( 0, 0,  c) пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а триотрезка координатных осей, соединяющих вершины, – осями эллипсоида. Оси эллипсоида,принадлежащие координатным осям Ox , Oy , Oz , имеют длины 2a , 2b , 2c соответственно.Если a  b  c , то число a называется большой полуосью, число b – средней полуосью,число c – малой полуосью эллипсоида.

Если полуоси не удовлетворяют условиям a  b  c ,58то уравнение (6.2) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств a  b  c .Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида2y2(рис. 6.1). Например, подставляя z  0 в уравнение (6.2), получаем уравнение x 2  2  1 ли-abнии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью Oxy . Это уравнение в плоскостиOxy определяет эллипс (см. разд. 5). Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами.

Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.Плоскости x   a , y   b , z   c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед, внутри которого находится эллипсоид (рис. 6.2). Грани параллелепи-педа касаются эллипсоида в его вершинах.zЭллипсzcc–а–аyy–bxЭллипсаOO–bbx–cаЭллипсb–cРис. 6.1Рис. 6.2Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны ( a  b  c ), называется трехосным(или общим). Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения. Например, если a  b , то такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси Ozэллипсy2b22 z 2  1 , заданный в плоскости Oyz .

Если все полуоси эллипсоида равныc( a  b  c  R ), то он представляет собой сферу x 2  y 2  z 2  R 2 радиуса R .ГиперболоидыОднополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2y2b2z2c21.(6.3)Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением59x2a2y2b2z2 1 .c2(6.4)В уравнениях (6.3), (6.4) a , b , c – положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a  b .Начало координат называют центром гиперболоида.

Точки пересечения гиперболоида скоординатными осями называются его вершинами. Это четыре точки ( a, 0, 0) , ( 0,  b, 0)однополостного гиперболоида (6.3) и две точки ( 0, 0,  c) двуполостного гиперболоида (6.4).Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осямигиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox , Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz , – продольной осью гиперболоидов. Числа a , b , c , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде однопо-лостного гиперболоида.

Например, подставляя z  0 в уравнение (6.3), получаем уравнение2x2  y  1a 2 b2линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостьюOxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс (см. разд. 5), который называетсягорловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатнымиплоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например,при x  0 получаем главную гиперболуx2a2y2b22 z 2  1 , а при y  0 – главную гиперболуc2 z2  1.cОднополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис. 6.3). Сечение однополостногогиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е.

касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся вточке касания. Например, подставляя x   a в уравнение (6.3), получаем уравнениеy2b22 z 2  0 двух пересекающихся прямых (см. рис. 6.3).cПлоские сечения дают возможность составить представление о виде двуполостного ги-перболоида. Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxzпредставляют собой гиперболы (главные гиперболы), а плоскостями, параллельными плоскости Oxy , – эллипсы. Двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.

6.4)60Плоскости x   a , y   b , z   c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед. Две грани ( z   c ) параллелепипеда касаются двуполостного гипер-болоида в его вершинах (рис. 6.5).ГиперболаzzzГипербола–а–bxаГиперболасbyxy–сПрямаяzcxaybyxЭллипсЭллипсРис.

6.5Рис. 6.4Рис. 6.3Гиперболоид, у которого поперечные оси различны ( a  b ), называется трехосным (илиобщим). Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны ( a  b ), называется гиперболоидом вращения. Однополостный или двуполостный гиперболоиды вращения можно поy2лучить, вращая вокруг оси Oz гиперболуy2b2b22 z 2  1 или сопряженную гиперболуc2 z 2  1 соответственно.cКонусКонусом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системекоординат Oxyz каноническим уравнениемx2a2y2b2z2с20,(6.5)где a , b , c – положительные параметры, характеризующие конус, причем a  b .Начало координат называется центром конуса (рис.6.6), точка O – вершиной конуса(6.5), а любой луч OM , принадлежащий конусу, – его образующей.Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде конуса.Например, сечения конуса координатными плоскостями Oxz , Oyz представляют собой пары22пересекающихся прямых, удовлетворяющих в этих плоскостях уравнениям x 2  z 2  0 (приay  0 ) илиy2b22с z 2  0 (при x  0 ) соответственно.

Сечения конуса плоскостями, параллельс61ными плоскости Oxy , представляют собой эллипсы. Конусzможно представить как поверхность, образованную эллипсами,центры которых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям Oxz и Oyz (см. рис. 6.6).ПрямаяПри a  b все сечения конуса плоскостями z  h ( h  0 )становятся окружностями.

Такой конус называется прямымкруговым конусом. Он может быть получен в результате вра-xOyЭллипсщения, например, прямой z  c y (образующей) вокруг оси апbпликат.Рис. 6.6ПараболоидыЭллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2y2b2 2z.(6.6)Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2y2b2 2z.(6.7)В уравнениях (6.6), (6.7) a и b – положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида a  b .Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов [(6.6) или (6.7)].Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллиптиче-ского параболоида.

Например, плоскость Oxz пересекает эллиптический параболоид (6.6) по2линии, имеющей в этой плоскости уравнение x 2  2 z , которое равносильно уравнениюax 2  2 p z параболы с фокальным параметром p  a 2 . Сечение параболоида плоскостью Oyzполучаем, подставляя x  0 в уравнение (6.6):y2b2 2 z . Это уравнение равносильно уравне-нию y 2  2q z параболы с фокальным параметром q  b 2 . Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида (6.6). Сечения плоскостями, параллельнымиплоскости Oxy , представляют собой эллипсы. Эллиптический параболоид можно предста-62вить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.

6.7).Эллиптический параболоид, у которого a  b , называется параболоидом вращения. Егоможно получить, вращая вокруг оси Oz параболу y 2  2q z , где q  a 2  b 2 (см. разд. 5).Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде гиперболи-ческого параболоида. Например, сечения гиперболического параболоида координатнымиплоскостями Oxz и Oyz представляют собой параболы (главные параболы) x 2  2 p z илиy 2  2q z с параметрами p  a 2 или q  b 2 соответственно. Поскольку оси симметрииглавных парабол направлены в противоположные стороны, гиперболический параболоидназывают седловой поверхностью. Сечение гиперболического параболоида плоскостьюOxy представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых, а сечение плоскостью, параллельной плоскости Oxy , – гиперболу.

Гиперболический параболоид можнопредставить как поверхность, образованную гиперболами (включая и «крест» из их асимптот), вершины которых лежат на главных параболах (рис. 6.8).ПараболаzzПараболаyПрямыеOПараболаxПараболаЭллипсxГиперболыyOРис. 6.7Рис.

6.8Построение поверхности второго порядкаДля построения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (6.1), нужно:I) определить название поверхности второго порядка, составить ее каноническое уравнение;II) найти каноническую систему координат Oxyz (в которой уравнение поверхностиимеет канонический вид);III) построить поверхность в заданной системе координат Oxyz .Рассмотрим алгоритмы выполнения каждого этапа.63Алгоритм составления канонического уравненияповерхности второго порядкаВ алгоритме применяются ортогональные инварианты – выражения, составленные изкоэффициентов уравнения (6.1), которые не изменяются при замене исходной прямоугольной системы координат другой прямоугольной системой координат.

Характеристики

Список файлов книги