Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

стр. 72).1. Сравнивая заданное уравнение с (6.1), определяем коэффициенты, по которым составляем матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы1 0 0A  0 1 0 ,0 0 0 1  a    2 . 1  Матрица A диагональная ( 1   2  1 , 3  0 ), а уравнение имеет упрощенный вид (отсутствуют произведения неизвестных). Поэтому полагаем, что S  E и переходим к п.4.4. В заданном уравнении имеются линейные члены всех неизвестных, а также квадратынеизвестных x и y . Дополняем члены с неизвестными x и y до полных квадратов(см.

п.4 «б» алгоритма):( x 2  2 x  1)  1  ( y 2  4 y  4)  4  2 z  1  0( x  1) 2  ( y  2) 2  2 z  4  0 .Сделаем замену x1  x  1 , y1  y  2 , z1  z : x12  y12  2 z1  4  0 . Получили уравнение, в котором имеется один линейный член с неизвестной z1 , а квадрата этой неизвестной нет(см. п.4, «г» алгоритма). Сделаем замену z2  z1  2 , чтобы в уравнении исчез свободныйчлен (для единообразия обозначим x2  x1 , y2  y1 ):x22  y22  2 z2  0 .5. Полученное уравнение x22  y22  2 z2  0 имеет простейший вид. Переносим линейныйчлен в правую часть: x22  y22  2 z2 , и делаем замену z   z2 , меняя направление оси аппликат (для единообразия обозначаем x  x2 , y  y2 ):75( x)212( y) 212 2 z .Получили каноническое уравнение эллиптического параболоида (уравнение (7) в табл. 6.1)с коэффициентами a  b  1 .Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к каноническому виду.В п.

4, 5 решения были сделаны следующие замены: x1  x  1 , y1  y  2 , z1  z ; x2  x1 ,y2  y1 , z2  z1  2 ; x  x2 , y  y2 , z   z2 . Выражая заменяемые неизвестные, получаемцепочки замен:x  x1  1 , x1  x2 , x2  xx  x1  1  x2  1  x  1 ;y  y1  2 , y1  y2 , y2  yy  y1  2  y2  2  y  2 ;z  z1 , z1  z2  2 , z2   z z  z1  z2  2   z  2 .Следовательно, x  x  1, x  x x    1  1 0 0   x          y  y  2 , или  y    2    0 1 0    y    y   s  S   y  . z   z  2 , z z z   2   0 0  1  z          Таким образом, найдены координатный столбец s вектора s  OO переноса начала координат и матрица S перехода к каноническому базису:  11 0 0  s   2  , S  0 1 0  .2 0 0  1 Построим эллиптический параболоид в данной системе координат, используя каноническую.

Сначала отмечаем начало O(1,2,2) канонической системы координат (рис. 6.9). Затем изображаем оси канонической системы координат. Так как при возрастании x возрастает абсцисса x  x  1 , то направление оси Ox совпадает с направлением оси Ox . АналогичzxOOy12yxzРис. 6.976ный вывод делаем в отношении направления оси Oy , которое совпадает с направлениемоси Oy . Ось Oz имеет направление, противоположное оси Oz , поскольку при возрастанииz убывает аппликата z   z  2 . Строим поверхность, учитывая изображение (рис.

6.7) эллиптического параболоида в канонической системе координат.У р а в н е н и е 2). Применяем алгоритм составления канонического уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (см. стр. 64). Сравнивая заданное уравнение с(6.1), определяем коэффициенты: a11  2 , a12  0 , a13  0 , a22  5 , a23  3 , a33  5 , a1  2 ,a2  8 , a3  8 , a0  10 .1. Вычисляем инварианты: 1  2  5  5  12 ,2 2 00 52 00 55 33 52 0 00 5 30 3 52 0 0 10  10  25  9  36 ,   0 5 3  2 0 3 55 33 5 32 ,2 0 0 20 5 3 80 3 5 82885 3 8 2  8  3 5 8  256 .1 1 10 8 8 82 8 8 102. По таблице 6.2 определяем, что уравнение задает эллипсоид, так как 2  0 , 1  0 ,  0.3.

Составляем характеристическое уравнение  3  12 2  36   32  0 и находим егокорни   2 (двойной корень),   8 (простой корень).4. Поскольку поверхность эллиптического типа, то корни уравнения обозначим1   2  2 , 3  8 , чтобы выполнялось условие 1   2  3 .5.

Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллипсоида:a 2       256  4 , b 2       256  4 , с 2       256  1 .1232 2232 3832Таким образом, каноническое уравнение (1) заданной поверхности имеет вид( x) 222( y)222( z) 2121.Переходим к нахождению канонической системы координат. 2 0 0Обозначим через A   0 5 3  матрицу квадратичной формы в левой части заданного 0 3 5уравнения.776.

Находим собственные векторы l1 , l2 , l3 матрицы A , соответствующие корням1   2  2 , 3  8 характеристического уравнения. Поскольку имеется двойной ненулевойкорень 1   2  2 (см. п. 6, «в» алгоритма), то для простого корня 3  8 находим ненулевоерешение l3 однородной системы уравнений (6.9): (2  8) x  0  y  0  z  0 ,  6x  0, 0  x  (5  8) y  3 z  0 , или  3 y  3 z  0 , 0  x  3  y  (5  8) z  0 , 3 y  3z  0.Возьмем, например, решение x  0 , y  1 , z  1 , т.е.

l3  (0 1 1)T . В качестве l2 принимаем первый (ненулевой) столбец l2  ( 6 0 0)T матрицы0  6 0 0  2 8 0A  8E   0 58 3    0 3 3  .  03 3 3 5 8   0Элементы столбца l1  ( x1x1 z1)T находим по формуламy16 06 00 0 0 , y1   6 , z1   6 , т.е. l1  (0 6  6)T .1 10 10 1По собственным векторам l1  (0 6  6)T , l2  ( 6 0 0)T , l3  (0 1 1)T определяем канонический базис:s1  s11 i  s21 j  s31 k s2  s12 i  s22 j  s32 k s3  s13 i  s23 j  s33 k 1220  6  ( 6)212( 6)  0 2  0 212220 1 1 (0  i  6  j  6  k )  0  i  1  j  1  k ,22 (6  i  0  j  0  k )  1  i  0  j  0  k , (0  i  1  j  1  k )  0  i  1  j  1  k .22Составляем матрицу S , записывая по столбцам координаты этих векторов 0S  1 2121000 1 .2127.

Поскольку поверхность является эллипсоидом, то находим координаты x0 , y0 , z0начала O канонической системы координат, решая систему уравнений (см. п. 7, «а» алгоритма):78 2  x  0  y  0  z  2  0, 0  x  5  y  3  z  8  0, 0  x  3  y  5  z  8  0. 2x  2  0, 5 y  3z  8  0 , 3 y  5z  8  0.Получаем единственное решение x0  1 , y0  1 , z0  1 . Следовательно, начало O канонической системы координат имеет координаты O 1,  1,  1 . Такие же координаты имеетвектор переноса s  OO  i  j  k начала O системы координат.Запишем формулы (6.10) для матрицы S , найденной в п.

6, и координатного столбцаs  ( 1  1  1)T вектора переноса s : x x    1  0      1 y   s  S  y     1  z z    1  21     20   x 1  y  2  1  z 2100x  1  y  ,1 x  s 1 z  , y  1 2211x z . z  1 22Данную поверхность нужно построить в канонической системе координат. Поэтому сначала изображаем каноническую систему координат Oxyz (рис. 6.10). Отмечаем на координатных осях вершины эллипсоида x   2 , y   2 , z  1 . Затем строим поверхность (рис.6.10), учитывая изображение (рис. 6.1) эллипсоида в канонической системе координат.z1–2yO–222x–1Рис.

6.10Ответ: 1) каноническое уравнение эллиптического параболоида( x)212( y) 212 2 z ; ко-ординаты x0  1 , y0  2 , z0  2 ; формулы x  x  1 , y  y  2 , z   z  2 ; эллиптическийпараболоид изображен на рис. 6.9;2) каноническое уравнение эллипсоида( x) 222( y)222( z) 212 1 ; координаты x0  1 ,y0  1 , z0  1 ; формулы x  1  y , y  1  1 x  s 1 z , z  1  1 x  1 z ; эллипсо2ид изображен на рис. 6.10.792227.

ВАРИАНТЫ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ1. Точки M и N делят соответственно диагональ АС и сторону BC параллелограммаABCD в отношениях, которые приведены в таблице 7.1. Разложить вектор MN по векторамa  AD и b  AB . В каком отношении диагональ BD делит отрезок AN ?Таблица 7.1.Вариант12345678910AM : MC3 :12:31: 23 :12:32 :13 :13: 21: 22:3BN : NC1: 21: 32:31: 43: 41: 52:53:54:51: 6Вариант11121314151617181920AM : MC3 :13: 22 :13 :13: 21: 21: 32:32 :13: 2BN : NC2 :13 :13: 24 :14:35 :15:25:35:46:52. Координаты вершин треугольной пирамиды ABCD в аффинной системе координатOx1x2 x3 приведены в таблице 7.2.

Найти:а) координаты вектора AB ;б) координаты середины L ребра AD ;в) координаты точки M пересечения медиан треугольника ABС ;г) координаты точки N , которая делит отрезок DM в отношении DN : NM  3 : 1 ;д) отношение, в котором плоскость грани ABC делит отрезок OD .BС(2,2,1)(1,4,1)3(5,1,1)5Таблица 7.2.DDВар.ABС(1,2,4)(4,8,6)2(4,1,1)(2,4,1)(2,1,5)(8,2,5)(2,5,1)(2,1,3)(7,5,1)4(6,1,1)(2,2,1)(2,1,4)(6,4,6)(4,1,1)(2,5,1)(2,1,2)(4,5,8)6(2,1,2)(1,3,1)(1,1,5)(4,7,7)7(3,2,1)(1,5,1)(1,2,5)(7,3,5)8(3,1,1)(1,4,1)(1,1,3)(6,8,8)9(5,2,1)(1,3,2)(1,1,1)(5,6,4)10(3,2,1)(1,6,1)(1,2,2)(3,6,8)11(3,1,1)(2,3,1)(2,1,4)(5,7,6)12(3,1,2)(1,4,2)(1,1,6)(7,2,6)13(4,1,2)(1,5,2)(1,1,4)(6,5,8)14(5,1,2)(1,2,2)(1,1,5)(5,4,7)15(3,1,2)(1,5,2)(1,1,3)(3,5,9)16(3,2,1)(2,4,1)(2,2,4)(5,6,6)17(4,1,2)(2,4,2)(1,1,6)(8,2,6)18(4,2,2)(1,6,2)(1,2,4)(6,6,8)19(6,2,1)(2,3,1)(2,2,4)(6,5,6)20(4,1,2)(2,5,2)(2,1,3)(4,5,9)Вар.A1803.

Характеристики

Список файлов книги