Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Затем меняемназвание осей (п.3,а): ( y) 2  2 x , где x  y , y  x Осталось изменить направление оси абсцисс (п.3,б). Подставляя x   x , y  y , получаем каноническое уравнение параболы( y) 2  2 x .В результате преобразований 1–3 уравнение приводится к каноническому виду. Заменунеизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем каккомпозицию всех замен, применяемых в ходе решения.

Выражая исходные координаты черезканонические, получаем формулы (5.3). После этого выполняем п. 8,9 алгоритм построениялинии второго порядка.51Этот алгоритм удобно использовать в случае, когда нет произведения неизвестных, приэтом п. 1 не выполняется. Если же произведение неизвестных входит в уравнение, то приходиться делать поворот системы координат (п.

1), что приводит к довольно громоздким выкладкам.Пример 9. В прямоугольной системе координат Oxy заданы уравнения1)9 x 2  4 y 2  18 x  16 y  11  0 ,2)16 x 2  24 x y  9 y 2  62 x  16 y  46  0линий второго порядка.9.1. Уравнение 1) привести к каноническому виду, выполняя преобразование данной си-стемы координат без поворота, определить название линии, найти координаты ( x0 , y0 ) начала O канонической системы координат Oxy в данной системе координат Oxy , записатьформулы, выражающие координаты x , y через канонические координаты x , y  , построитьлинию в данной системе координат Oxy .9.2. Для уравнения 2) вычислить ортогональные инварианты, по ним определить назва-ние линии и составить каноническое уравнение, вычислить угол  , на который повернутаканоническая система координат Oxy относительно данной системы координат Oxy , найтикоординаты ( x0 , y0 ) начала O в данной системе координат, записать формулы, выражающие координаты x , y через канонические координаты x , y , построить линию в данной системе координат Oxy .Решение.

У р а в н е н и е 1). Применяем алгоритм приведения уравнения линии второгопорядка к каноническому виду (см. стр. 50). Сравнивая заданное уравнение с (5.1), определяем коэффициенты a11  9 , a12  0 , a22  4 , a1   9 , a2  8 , a0  11 .1. Поскольку в уравнении нет произведения неизвестных ( a12  0 ), то поворот системыкоординат делать не нужно.2.

Каждая неизвестная входит в уравнение в первой и второй степенях, поэтому выделяем полные квадраты по обеим неизвестным9 x 2  4 y 2  18x  16 y  11  9( x 2  2 x)  4( y 2  4 y )  11 9( x 2  2 x  1  1)  4( y 2  4 y  4  4)  11  9( x  1) 2  9  4( y  2) 2  16  11 9( x 2  2 x  1  1)  4( y 2  4 y  4  4)  11  9( x  1) 2  4( y  2) 2  36 .Заменяя x1  x  1 , y1  y  2 , получаем приведенное уравнение 9 x12  4 y12  36  0 .

Переносим свободный член в правую часть и делим уравнение на 36:529 x12  412  36  09 x12  4 y12  369 x12364 y12361 x124y129 1.Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако, в каноническом уравнении бόльший знаменатель соответствует первой неизвестной, поскольку бόльшая полуосьэллипса принадлежит оси абсцисс канонической системы координат. Поэтому нужно переименовать неизвестные, сделав замену x1  y , y1  x :( x)232( y) 222 1.Получено каноническое уравнение эллипса.

Значит, линия заданная уравнением 1) является эллипсом.(5.4)x3yxВ ходе преобразований были сделаны две замены неизвест-O 1ных: x1  x  1, y1  y  2y x1  y , y1  x.–2 –2Выражаем "старые" неизвестные x , y через "новые" (канонические) x , y : x  x1  1  y  1 ,y  y1  2  x  2 . Следовательно,искомая замена неизвестных x  y  1, y  x  2 .O2–3Рис. 5.7(5.5)Подставляя x  0 , y  0 в (5.5), находим координаты x0  1 , y0  2 начала O канонической системы координат Oxy . Отметим на координатной плоскости Oxy начало O(1,2)канонической системы координат (рис. 5.7). По формулам, связывающим «старые» ( x , y ) иновые ( x , y ) координаты определяем направления координатных осей. Так как при возрастании переменной x возрастает y  x  2 , то направление оси Ox совпадает с направлением оси Oy .

Аналогично, из формулы x  y  1 следует, что направление оси Oy совпадает снаправлением оси Ox . Оси данной системы координат Oxy изображены на рис. 5.7 полужирными стрелками, а канонической системы координат Oxy – светлыми. Отмечаем на координатных осях точки x   3 , y   2 и строим основной прямоугольник, в который затемвписываем эллипс.Заметим, что формулы (5.5) нельзя получить из формул (5.2). Действительно, изменениеназваний координатных осей ( x1  y , y1  x ), т.е.

зеркальное отражение в прямой y1  x1 ,нельзя реализовать поворотом системы координат. Это, однако, не означает, что формулы53(5.2) не подходят для данного уравнения. Просто каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, вместо (5.5) можно использовать формулы x   y  1, y  x  2 ,(5.6)которые получаются из (5.2) при x0  1 , y0  2 ,    . Формулам (5.6) отвечает система2координат, которая отличается от изображенной на рис. 5.7 канонической системы тольконаправлением оси ординат, а каноническое уравнение эллипса будет иметь тот же вид (5.4).Подчеркнем, что изменение направление оси ординат канонической системы координат, неменяет ни одного канонического уравнения.У р а в н е н и е 2).

Применяем алгоритм составления канонического уравнения линиивторого порядка (см. стр. 46). Сравнивая заданное уравнение с (5.1), определяем коэффициенты a11  16 , a12  12 , a22  9 , a1  31 , a2  8 , a0  46 .1. Вычисляем инварианты:   16  9  25 ,  16 12  12931  816 12 144  144  0 ,12 931 8  6624  2976  2976  8649  1024  6624  15625 .462. По таблице 5.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как   0 ,   0 .3.

Находим корни характеристического уравнения 2  25  0 :   0 ,   25 .4. Поскольку линия параболического типа, то нулевой корень обозначаем 1 , т.е. 1  0 ,а  2  25 , чтобы выполнялись условия 1  0 ,  2  0 .5. Вычисляем коэффициент канонического уравнения параболы:p15625    1.3253Таким образом, каноническое уравнение (уравнение (6) в табл.5.1) заданной линии имеет вид( y) 2  2  1  x .Переходим к нахождению канонической системы координат.6.

Вычислим величину  угла поворота системы координат. Поскольку a12  12  0 , тоcos  sin  a12(1  a11)22 a121  a112(1  a11)2  a12122(0  16)  120  162 12  3 ,20 5  16   4 .205(0  16) 2  12254Поскольку угол  не удовлетворяет дополнительному условию (a1 cos   a2 sin )  025[31  3  (8)  ( 4 )]  055625  0 ,то угол поворота  нужно увеличить на  и учесть, чтоcos(  )   cos    3 ,5sin(  )   sin   4 .57. Найдем координаты x0 , y0 начала O канонической системы координат. Так как заданная линия является параболой и a11  0 , то решаем систему уравнений п."б":31  16  (8)  1216 x  12 y 0,16  931  9  (8)  12 31  12  (8)  16   31  y  46  0 x   8  16  916  9 16 x  12 y  16  0 , 46 x  28 y  46  0 .Система имеет единственное решение x0  1 , y0  0 .Таким образом, формулы (5.2) преобразования координат, где вместо  взят угол    ,имеют вид x  1  x  ( 3 )  y  4 ,5534 y  x  5  y  ( 5 )yx x  1  3 x  4 y ,5534 y  5 x  5 y.–1Переходим к построению линии.8.

На координатной плоскости Oxy (см. рис. 5.8) изоб-yражаем каноническую систему координат Oxy с началом вOxOРис. 5.8точке O 1, 0  , оси которой повернуты на угол     arctg 4   .39. В канонической системе координат строим параболу ( y)2  2 1 x .Ответ: 1) каноническое уравнение эллипса( x)232( y) 222 1 ; координаты x0  1 ,y0  2 ; формулы x  y  1 , y  x  2 ; эллипс изображен на рис.5.7;2) каноническое уравнение параболы ( y)2  2 1 x ; координаты x0  1 , y0  0 ; формулы x  1  3 x  4 y , y  4 x  3 y ; парабола изображена на рис. 5.8.5555556.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКААлгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства, которое в какой-либо аффинной системе координат Oxyz может быть задано уравнением видаa11x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  2a1x  2a2 y  2a3 z  a0  0(6.1)где старшие коэффициенты a11 , a12 , a13 , a22 , a23 , a33 не равны нулю одновременно.

Безограничения общности можно считать, что система координат, в которой задано уравнениеповерхности второго порядка, прямоугольная. Для каждой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат Oxyz , в которой уравнение принимает наиболеепростой (канонический) вид. Она называется канонической, а уравнение – каноническим.Всего имеется 17 канонических видов уравнений поверхностей второго порядка, которыеприведены в табл.

6.1.Т а б л и ц а 6.1. Канонические уравнения поверхностей второго порядка№Уравнение поверхностиНазвание поверхностиИзображение поверхностиz12x2a2x2a2y2b2y2b2zc2z22c21эллипсоидyxz 1мнимый эллипсоидyxz3x2y2a2z2b2c20мнимый конусxyz4x2a2y2b2z2c21однополостный гиперболоидxyz5x2a2y2b2z2c2 1двуполостный гиперболоид56xyz67x2y2a2x2a2b2y2b2z2c20конусxyz 2zэллиптический параболоидxyz8x2a2y2b2 2zгиперболический параболоидyxz9x2a2y2b21эллиптический цилиндрyxz10x2a2y2b2 1мнимый эллиптический цилиндрxyz11x2a2y2b20пара мнимых пересекающихсяплоскостейxyz12x2a2y2b21гиперболический цилиндрyxz13x2a2y2b20пара пересекающихсяплоскостейxyz14y2  2 p xпараболический цилиндрyxz15y 2  b2  0пара параллельных плоскостей57xyz16y 2  b2  0пара мнимых параллельныхплоскостейxyz17y2  0пара совпадающих плоскостейxyВ этих уравнениях a  0 , b  0 , c  0 , p  0 , причем a  b  с в уравнениях 1–3; a  bв уравнениях 4–7, 9–11.Поверхности (1), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (12), (13), (14), (15), (17) называются вещественными (действительными), а поверхности (2), (3), (10), (11), (16) – мнимыми.

Характеристики

Список файлов книги