Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащийили параллельный ей (рис. 3.3). Эти векторы характеризуют направление прямой и используются в уравнениях. Прямую, разумеется, можно задать, указав две точки, через которыеона проходит (рис.

3.4). В частности, это могут быть точки на координатных осях (рис. 3.5).В этом случае говорят, что прямая отсекает "отрезки" x1 и y1 на координатных осях.Направление прямой можно также определить, задав угол  , который она образует с положительным направлением оси абсцисс (рис. 3.6), при этом используется угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла.НормальНормальyn  Ai  B jM 0 ( x0 , y0 )jxO iНаправляющийn  cos   i  cos   jyy jxOO iРис. 3.3Рис. 3.2yOM 0 ( x0 , y0 )xРис. 3.4p  ai  b jM 0 ( x0 , y0 )nРис. 3.1M1( x1, y1)вектор прямойyyy1y1Ox1Рис. 3.5xOxУгловой коэффициентk  tg xРис.

3.6Для удобства решения практических задач, связанных с прямыми на плоскости,в табл. 3.1 приведены основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрическиеспособы задания этих прямых.25Т а б л и ц а 3.1. Основные типы уравнений прямых на плоскостиНазваниеУравнениеОбщее уравнениепрямойAx  By  C  0 ,Нормированноеуравнение прямойx cos   y cos     0 ,0Параметрическоеуравнение прямой x  x0  a t ,t; y  y0  b t ,A2  B 2  0Каноническоеуравнение прямойУравнение прямой,проходящей через дветочкиa 2  b2  0x  x0 y  y0abx  x0y  y0x1  x0 y1  y0Уравнение прямой"в отрезках"xy 1,x1 y1Уравнение с угловымкоэффициентомСпособ задания прямойПрямая проходит через точкуM 0 ( x0 , y0 ) перпендикулярновектору n  A i  B j (рис. 3.1)Прямая проходит перпендикулярновектору n  cos   i  cos   j на расстоянии  от начала координат(рис.

3.2)Прямая проходит через точкуM 0 ( x0 , y0 ) коллинеарно векторуp  a i  b j (рис. 3.3)Прямая проходит через точкиM 0 ( x0 , y0 ) и M1( x1, y1) (рис. 3.4)Прямая отсекает на координатныхосях "отрезки" x1 и y1 (рис. 3.5)x1  0 , y1  0Прямая проходит через точку (0, y1)на оси ординат с угловым коэффициентом k (рис. 3.6)y  k x  y1Метрические приложения уравнений прямых на плоскостиПеречислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов поуравнениям образующих их прямых.Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющимивекторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до  .

В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина  угла между двумя прямыми удовлетворяет условию0  .21. Расстояние d от точки M ( xM , yM ) до прямой A x  B y  C  0 (рис. 3.7) вычисля-ется по формуле:dA xM  B y M  C2A B262.(3.1)2. Расстояние между параллельными прямыми A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0(рис. 3.8) находится как расстояние d1 от точки M 2 ( x2 , y2 ) , координаты которой удовлетворяют уравнению A2 x  B2 y  C2  0 , до прямой A1 x  B1 y  C1  0 по формуле:A1 x2  B1 y2  C1d1 yA12  B12yM ( xM , y M )d.M 2 ( x2 , y2 )A2 x  B2 y  C2  0A1 x  B1 y  C1  0d1Ax B y C  0xxOOРис.

3.8Рис. 3.73. Острый угол  между двумя прямыми l1 и l2 находится по формулам:a1 a2  b1 b2cos  a12  b12 ,a22  b22(3.2)если p1  a1 i  b1 j и p2  a2 i  b2 j – направляющие векторы прямых l1 и l2 соответственно (в случае задания прямых каноническими или параметрическими уравнениями(рис. 3.9));A1 A2  B1B2cos  A12B12A22,B22(3.3)если n1  A1 i  B1 j и n2  A2 i  B2 j – нормали к прямым l1 и l2 соответственно (в случаезадания прямых общими уравнениями (рис.

3.9));tg  k1  k21  k1 k2,если k1 k2  1 , k1  tg 1 и k2  tg  2 – угловые коэффициенты прямых l1 и l2 соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 3.10)). Если k1 k2  1 , то    , поскольку прямые перпендикулярны.2yn1On2Рис. 3.9l1yl2p1 p2Oxl1 lk1  tg 1k 2  tg  2   22 1 2 1Рис. 3.1027xПример 6. В прямоугольной системе координат Oxy заданы координаты точек A(1, 2) иB (4,6) (рис. 3.11).

Составить следующие уравнения прямой AB :а) каноническое;yб) параметрическое;B(4,6)в) общее;г) нормированное;A(1,2)д) в отрезках;xOРис. 3.11е) разрешенное относительно y (т.е. с угловым коэффициентом).Вычислить:ж) расстояние  от прямой AB до начала координат O ;з) площадь S треугольника, образованного этой прямой с координатными осями;и) величину  угла между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс.Решение.

а) Составляем уравнение прямой, проходящей через две данные точкиx 1 y  2x 1 y  2. Вычисляя знаменатели, приходим к каноническому уравнению.4 1 6  234б) Приравниваем каждую дробь канонического уравнения параметру t и выражаем неизвестные x и y :x 1 y  2t34 x  1  3t , y  2  4t ,где t   . Получили параметрическое уравнение прямой.в) Перенесем все члены канонического уравнения в левую часть и умножим на общийзнаменатель. Приводя свободные члены, получаем общее уравнение: 4 x  3 y  2  0 .г)Разделимобщееуравнение0,8 x  0,6 y  0,4  0 , так как n нениянеположительным.надлинунормалиn  4i  3 j .Получим42  ( 3) 2  5 .

Осталось сделать свободный член урав-Поэтомуумножаемобечастиуравненияна(  1 ): 0,8 x  0,6 y  0,4  0 . Это нормированное уравнение прямой AB .д) Чтобы получить уравнение прямой в отрезках, нужно свободный член общего уравнения перенести в правую часть и разделить обе части на правую. В полученной левой частиумножения неизвестных на коэффициенты заменить делением на обратные величины.

Выполняя эти преобразования уравнения 4 x  3 y  2  0 , последовательно получаем:4x  3 y  2  04 x  3 y  228 2 x  1,5 y  1 x12y23 1.е) Выражая неизвестную y из общего уравнения, приходим к уравнению разрешенномуотносительно y (т.е. уравнению прямой с угловым коэффициентом):4x  3 y  2  0y42x .33ж) Расстояние  от прямой до начала координат O находим по нормированному уравнению:   0,4 .з) Площадь S треугольника, образованного этой прямой с координатными осями, вычисляем, учитывая геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой в отрезках:S  1 x1 y1  1  1 2  1 .22236и) Величину  угла между этой прямой и положительным направлением оси абсцисснаходим по угловому коэффициенту.

Так как tg   4 , то   arctg 4 .3Ответ: а)д)x12y233 x  1  3t ,x 1 y  2; б) t   ; в) 4 x  3 y  2  0 ; г)  0,8 x  0,6 y  0,4  0 ;34 y  2  4t , 1 ; е) y 42x  ; ж)   0,4 ; з) S  1 ; и)   arctg 4 .6333Пример 7. В прямоугольной системе координат Oxy заданы координаты вершин A(1,5) ,B(13,0) , C (5,8) треугольника ABС (рис. 3.12). Требуется:а) составить общее уравнение серединного перпендикуляра к стороне BC ;б) составить каноническое уравнение прямой, содержащей медиану AM ;в) составить общее уравнение прямой, содержащей высоту AH ;г) составить параметрическое уравнение прямой, содержащей биссектрису AL ;д) найти расстояние от вершины A до прямой BC (т.е.

высоту AH треугольника);е) найти величину  угла между прямыми AC и BC ;ж) найти координаты точки O , симметричной точке O относительно прямой AB .Решение. а) Найдем сначала координаты точки M – середины стороны BC . По формуле(1.3): M (135 ; 08 ) , т.е. M (9;4) . Искомый серединный перпендикуляр MN проходит через22точку M перпендикулярно вектору BC  (5  13 8  0)  ( 8 8) . Значит, вектор BC служит нормалью для этой прямой. Поэтому ее уравнение имеет вид  8 x  8 y  c  0 .

Свободныйчленcвыбираемтак,чтобыпрямаяMNпроходилачерезточкуM:(8)  9  8  4  с  0 . Отсюда с  40 . Сократив уравнение  8 x  8 y  40  0 на (  8 ), получаем x  y  5  0 – общее уравнение серединного перпендикуляра к стороне BC .29б) Найдем направляющий вектор AM  (9  1 4  5)  (8  1) . Запишем каноническоеуравнение прямой, содержащей медиану AM .

Эта прямая проходит через точку A , а векторAM является направляющим для нее. Получаемx 1 y  5.81в) Прямая, содержащая высоту AH , проходит через точку A перпендикулярно векторуBC  ( 8 8) . Следовательно, вектор BC – нормаль. Поэтому для этой прямой можно запи-сать общее уравнение. Сначала запишем уравнение  8 ( x  1)  8( y  5)  0 , упрощая которое,приходим к общему уравнению x  y  4  0 .y5HyCAO 1yCNL5MB13xOAOLAlPB x131t  2t1t  t1B x13t0OРис. 3.14Рис. 3.13Рис. 3.12г) Найдем сначала направляющий вектор l прямой, содержащей биссектрису AL .

Дляэтого можно отложить от вершины A два единичных вектора AB ,ABACACи построить наних ромб (изображенный на рис. 3.13 пунктирными линиями). Диагональ ромба являетсябиссектрисой угла A , поэтому вектор l  AB  AC будет направляющим для биссектрисыABACAL . Находим координаты и длины векторов AB  (13  1 0  5)  (12  5) ,AB  13 и 12   4   112    5    65  .AC  (5  1 8  5)  (4 3) , AC  5 .

Следовательно, l  AB  AC   135  3   14 ABAC 13   5   65 Записываем параметрическое уравнение прямой AL x  1  112 t ,6514 t ,y565где t   .д) Составим уравнение прямой BC . Поскольку известен направляющий векторBC  ( 8 8) , то сначала запишем каноническое уравнениеx 5 y 8. Затем, упрощая88его, получим общее уравнение прямой BC : x  y  13  0 . Искомое расстояние находим поформуле (3.1):30AH 1 1  1  5  13221 172 3,5 2 .е) Угол между прямыми AС и BC вычисляем по формуле (3.2). Поскольку известнынаправляющие векторы AC  (4 3) и BC  ( 8 8) этих прямых, тоcos  4  (8)  3  842  32 82  8 2858 215 22.10Следовательно,   arccos 2 .

Заметим, что этот угол острый, а угол C треугольника ABC10тупой.ж) Для нахождения координат точки O составим общее уравнение прямой AB . Поскольку известен направляющий вектор AB  (12  5) , то сначала составляем каноническоеуравнение:x 1 y  5. Затем, преобразовывая его, получаем общее уравнение прямой AB :1255 x  12 y  65  0 . Теперь составим параметрическое уравнение прямой OO , проходящей через начало координат O , перпендикулярно прямой AB .

Направляющий вектор p этой прямой перпендикулярен вектору AB  (12  5) . Можно взять, например вектор p  (5 12) ,который удовлетворяет условию ортогональности ( p, AB)  0 . Тогда параметрическое уравнение прямой OO будет следующее x  5t , y  12t ,(3.4)где t   . Найдем точку P пересечения прямых OO и AB (рис. 3.14). Для этого подставимвыражения (3.4) в общее уравнение прямой AB :5(5t )  12(12t )  65  0 169t  65t1  5 .13Если в точке O соответствует нулевое значение параметра t  0 , а точке P – значение параметра t  t1  5 , то точке O будет соответствовать удвоенное значение t  2t1  10 .

Характеристики

Список файлов книги