Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

  k ak ,где 1 ,  2 ,…,  k – некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор a разложен повекторам a1 , a2 ,…, ak , а числа 1 ,  2 ,…,  k называют коэффициентами разложения.Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных имвекторов, прилагая к концу первого вектора начало второго, к концу второго – начало третьего и т.д. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной (правило ломаной).Базис и координаты векторовБазисом на прямой называется любой ненулевой вектор e на этой прямой (рис.

1.7).Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора e1 , e2 на этой плоско-сти, взятые в определенном порядке (рис. 1.8). Базис на плоскости называется правым, есликратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки (см.рис. 1.8). В противном случае, базис на плоскости называется левым.e3e2ee1e1e2Рис. 1.7Рис. 1.9Рис. 1.8Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора e1 , e2 , e3 , взятые вопределенном порядке (рис. 1.9).

Базис в пространстве называется правым, если, наблюдаяиз конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден проис-8ходящим против часовой стрелки (см. рис. 1.9). Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то базис называется левым.Векторы, образующие базис, называются базисными.Теорема (о разложении вектора по базису). Любой вектор a , принадлежащий пря-мой, может быть разложен по базису e на этой прямой.Любой вектор a , принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису e1 , e2на этой плоскости.Любой вектор a может быть разложен по базису e1 , e2 , e3 в пространстве.Коэффициенты разложения вектора по базису определяются однозначно.Коэффициенты x1 , x2 , x3 в разложении a  x1 e1  x2 e2  x3 e3 называются координатами вектора a относительно базиса e1 , e2 , e3 (число x1 называют абсциссой, x2 – ординатой, а x3 – аппликатой вектора a ).

Такие же названия координат используются приразложениях a  x1 e1  x2 e2 или a  x1 e вектора a по базису на плоскости или на прямой.На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (илиматриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками). В базисе (e )  (e1, e2 , e3 ) вектору a  x1 e1  x2 e2  x3 e3 соответствует координатный x1  столбец a   x2  . Обозначение базиса (e ) можно не указывать, если не возникает неодно(e )   x3 значности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над ихкоординатными столбцами. Например, координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов.На векторы и координатные столбцы переносятся понятия линейной зависимости и линейной независимости систем столбцов (см.

[3,4] разд. 3.1,3.4), а также связанные с этимипонятиями свойства.Аффинная система координатПусть в пространстве фиксирована точка O . Совокупность точки O и базиса называетсяаффинной (декартовой) системой координат:Oe – аффинная система координат на прямой (рис. 1.10) – это точка O и ненулевойвектор e на прямой (базис на прямой);Oe1e2 – аффинная система координат на плоскости (рис. 1.11) – это точка O и два не-коллинеарных вектора e1 , e2 , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);9Oe1e2e3 – аффинная система координат в пространстве (рис.

1.12) – это точка O и тринекомпланарных вектора e1 , e2 , e3 , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).Точка O называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координатв направлении базисных векторов, называются координатными осями: Ox1 – ось абсцисс,Ox2 – ось ординат, Ox3 – ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатныеоси, называются координатными плоскостями. Аффинные системы координат обозначаюттакже указанием начала координат и координатных осей, например Ox1 , Ox1x2 , Ox1x2 x3 .Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если ее базис –левый.x3eA(a )OxA(a1, a2 , a3 )Рис.

1.10x2e3A(a1, a2 )Oe2Oe1e1x1Рис. 1.11e2x2x1Рис. 1.12Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэф-фициенты в разложении вектора по базису.Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть векторOA , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой A (рис. 1.10 – 1.12).Этот вектор называется радиус-вектором точки A . Координатами точки A в заданнойсистеме координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора OA в базисе e1 , e2 , e3 , т.е.

коэффициенты a1 , a2 , a3 в разложении OA  a1 e1  a2 e2  a3 e3 (рис. 1.12). Координаты точки записывают в виде A(a1, a2 , a3 ) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде A(a1, a2 ) иA(a) согласно разложениям OA  a1 e1  a2 e2 (рис. 1.11), OA  a e (рис. 1.10). Координатыточки A , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора OA представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца) или координатной строки:10 a1   a2  или (a1 a2a  3a a2 ) в пространстве,  1  или (a1 a2 ) на плоскости. a2 Чтобы найти координаты вектора AB с началом в точке A(a1, a2 , a3 )Aи концом в точке B (b1, b2 , b3 ) нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала (рис.

1.13):AB  (b1  a1) e1  (b2  a2 ) e2  (b3  a3 ) e3 .BOРис. 1.13Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.Прямоугольная система координатСистема векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие ее, попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длина каждого вектора равна единице.Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базис ортонормированный.Выбирая стандартные базисы, получаем:Oi – прямоугольную систему координат на прямой – это точка O и единичный векторi на прямой. Точки O и A (рис. 1.14) на координатной оси Ox обозначаются O(0) и A(1) ;O i j – прямоугольную систему координат на плоскости – это точка O и два взаимноперпендикулярных единичных вектора i и j на плоскости (вектор i – первый базисныйвектор, а j – второй; пара векторов i , j – правая). Координатные оси Ox (абсцисс) и Oy(ординат) разбивают плоскость на 4 части, называемые четвертями (рис.

1.15). ТочкаA(1, 1) , например, принадлежит I четверти;O i j k – прямоугольную систему координат в пространстве – это точка O и три попарно перпендикулярных единичных вектора i , j , k (вектор i – первый базисный вектор,j – второй, а k – третий; тройка векторов i , j , k – правая). Координатные оси обозначаются: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат. Координатные плоскостиOxy , Oxz , Oyz , проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8октантов (рис. 1.16). Точка A(1, 2, 2) , например, принадлежит I октанту.Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат икоординатных осей, например Ox , Oxy , Oxyz .112II21O i0A(1)122xyIA(1, 1)1jiO121III 1Рис.

1.15Рис.III2IA(1, 2, 2)1k2i11VII2OxyIVIIzOyz IVxjO21yVI1xVVIIIРис. 1.16Аффинные и выпуклые комбинации радиус-векторовЛинейная комбинация OM   OA   OB радиус-векторов OA и OB называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице:     1 . Точка M , удовлетворяю-щая условиямOM  t OA  (1  t ) OB ,(1.1)принадлежит прямой AB при всех t   , и, наоборот, для любой точки M , принадлежащейпрямой AB , найдется такое действительное число t , что выполняются равенство (1.1).Линейная комбинация  OA   OB радиус-векторов OA и OB называется выпуклой,если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице:     1 ,  0 ,   0 .

Характеристики

Список файлов книги