Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Смешанное произведение линейно по любому множителю.Например, линейность по первому множителю выражается тождеством:(a  b , c , d )  (a , c , d )  (b , c , d ) .Формула вычисления смешанного произведения. Если векторы a , b , c в правом ор-тонормированном базисе i , j , k имеют координаты a  ( xac  ( xcycyaza ) , b  ( xbybzb ) иzc ) , то смешанное произведение этих векторов находится по формуле:xa(a , b , c )  xbxcyazaybyczb .zc(2.6)Геометрические приложения произведений векторовКоординаты векторов a  ( xayaza ) , b  ( xbybzb ) и c  ( xcyczc ) , указан-ные в формулах, найдены относительно стандартного базиса i , j , k в пространстве, т.е.a  xa i  ya j  za k , b  xb i  yb j  zb k , c  xc i  yc j  zc k .1. Вектор a  o тогда и только тогда, когда(a , a )  0xa2  ya2  za2  0xa  ya  za  0 .2.

Ненулевые векторы a и b ортогональны тогда и только тогда, когда( a,b )  0xa xb  ya yb  za zb  0 .183. Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда[a , b ]  oixaxbjyaybkza  ozbxay a xb ybzazb.4. Векторы a , b , c компланарны тогда и только тогда, когда( a,b ,c )  0xaxbyaybzazb  0 .xcyczc5. Длина вектора a вычисляется по формуле:xa2  ya2  za2 .a  (a , a ) (2.7)6. Угол  между ненулевыми векторами a и b вычисляется по формуле:(a , b )cos  (a , a )(b , b )xa xb  ya yb  za zbxa2  ya2  za2xb2  yb2  zb2.(2.8)7. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора a на ось, задавае-мую вектором b  o (рис.

2.2), находится по формуле:пр a (a , b )bbx x  ya yb  za zb. a b222xb  yb  zb(2.9)8. Ортогональная проекция вектора a на ось, задаваемую вектором b  o (рис.2.2):прb a x x  ya yb  za zb(a , b )b  a b ( xb i  yb j  zb k ) .(b , b )xb2  yb2  zb2(2.10)9. Направляющие косинусы вектора a (рис. 2.3) находятся по формулам:cos  (a , i )axaxa2  ya2  za2; cos  (a , j )ayaxa2  ya2  za2Алгебраическое значение проекциипр a  a cos baПроекция вектора на осьki(a , k )ajeyРис. 2.319xa2  ya2  za2.a cos   i  cos   j  cos   kaxbпрb aРис. 2.2zaНаправляющие косинусы вектораa  xai  ya j  za kzb; cos  10.

Единичный вектор e , одинаково направленный с вектором a (рис.2.3), находитсяпо формуле:e11. Площадь S# a ,ba cos   i  cos   j  cos   k .a(2.11)параллелограмма, построенного на векторах a и b , вычисляется поформуле:S [a , b ] .# a ,b(2.12)Площадь S ABC треугольника ABC равна половине площади Sпараллелограмма, по# AB, ACстроенного на векторах AB и AC , и вычисляется по формуле:S ABC  1 S2 # AB, AC12.

Объем V# a ,b , c.(2.13)параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , вычисляется поформуле: (a , b , c ) .V# a ,b , c(2.14)Объем VABCD треугольной пирамиды ABCD равен одной шестой объема Vпа# AB, AC , ADраллелепипеда, построенного на векторах AB , AC , AD , и вычисляется по формуле:V ABCD  1 V6 # AB, AC , AD.(2.15)13. Тройка некомпланарных векторов a , b , c – правая (левая) тогда и только тогда,Bкогда ( a , b , c )  0 (соответственно, ( a , b , c )  0 ).b14.

Высота h параллелограмма, построенного на векторахa , b , или треугольника OAB (рис. 2.4) вычисляется по формуле:hS# a ,ba[a , b ](a , a ).OhAaРис. 2.4Aah15. Высота h параллелепипеда, построенного на векторахCсa , b , c , или треугольной пирамиды OABC (рис. 2.5) находится по OBbРис.2.5формуле:hV# a ,b , cS#b ,c20(a , b , c )[b , c ].(2.16)16. Угол  между вектором a и плоскостью, содержащей векторы b и c , дополняетдо прямого угла угол  между вектором a и вектором n  [b , c ] , перпендикулярным плоскости (рис.

2.6), и вычисляется по формуле:sin   cos  (a , b , c )a  [b , c ].17. Угол  между плоскостями, содержащими векторы a , b и c , d соответственно,вычисляется как угол между векторами m  [a , b ] , n  [c , d ] , перпендикулярными даннымплоскостям, по формуле (рис. 2.7):cos   [ a , b ], [ c , d ] [ a,b ]  [ c, d ].Заметим, что свойства 1–3,5–11,14 применяются также для векторов на плоскости, полагая, что их аппликаты равны нулю.n  [b , c ]m  [a , b ]adn  [c , d ]сbbaсРис. 2.6Рис. 2.7Пример 3.

Угол  между векторами a и b равен 120o , вектор c образует с плоско-стью, параллельной векторам a и b , угол   135o , причем a  1 , b  2 , с  3 . Векторы d и e линейно выражаются через a и b : d  2a  3b , e  2a  3b . Вычислить:а) (a , b ) , (a  b , a  b ) , (d , e ) ;б) [a , b ] , [a  b , a  b ] , [d , e ] ;в) (a , b , c ) , (a  b  c , d  2c , e  c ) .Решение. а) Используя определение и алгебраические свойства скалярного произведения, вычисляем(a , b )  a b cos   1  2  cos120o  1 ;21(a  b , a  b )  (a , a )  (a ,b )  (b , a )  (b ,b )  (a , a )  (b , b )  a(d , e )  (2a  3b ,2a  3b )   2a2 3b24 a29 b22 b2 1  4  3 ; 4 1  9  4  32 .б) Используя определение и алгебраические свойства векторного произведения, находим[a , b ]  a b sin   1  2  sin 120o  3 ;[a  b , a  b ]  [a , a ]  [a , b ]  [b , a ]  [b , b ]   2[a , b ]  2 [a , b ]  2 3 ;[d , e ]  [2a  3b ,2a  3b ]   6[a , b ]  6[b , a ]   12[a , b ]  12 3 .в) Используя определение и алгебраические свойства смешанного произведения, получаем(a , b , c )  ([a , b ], c )  [a , b ] c cos   a b sin  c cos   1  2  sin 120o  3  cos135o  6 3 2 3 6 1,5 6 ;2  2 2(a  b  c , d  2c , e  c )  (a  b  c ,  2a  3b  2c ,2a  3b  c )   3(a , b , c )  6(a , c , b )  2(b , a , c )  4(b , c , a )  6(c , a , b )  6(c , b , a )   3(a , b , c )  6(a , b , c )  2(a , b , c )  4(a , b , c )  6(a , b , c )  6(a , b , c )  9 (a , b , c )  13,5 6 .Ответ: а) –1, –3, – 32; б)3 , 2 3 , 12 3 ; в)  1,5 6 ;  13,5 6 .Пример 4.

В ортонормированном базисе i , j даны разложения векторов a  3i  4 j иb  i  2 j . Найти:а) разложение вектора i по векторам a и b ;б) длину вектора a ;в) единичный вектор e , имеющий направление вектора a ;г) направляющие косинусы вектора a ;д) величину  угла между векторами a и b ;е) алгебраическое значение пр a ортогональной проекции вектора a на направлениеbвектора b ;ж) ортогональную проекцию прb a вектора a на направление вектора b ;з) вектор с , имеющий длину вектора b и направление вектора a .Решение. а) Запишем данные разложения в виде системы линейных уравнений:22 3i  4 j  a , i 2j b.j , прибавляя к первому уравнению второе, умноженное на 2:Исключаем вектор i  a  2b . Отсюда i  a  2b .б) По формуле (2.7) находим длину вектора a : a  xa2  ya2  (3) 2  (4) 2  5 .в) Разделив вектор a на его длину a  5 , по формуле (2.11) получаем искомый единичный вектор e   3 i  4 j   0,6 i  0,8 j .55г) Сравнивая вектор e с разложением (2.11), определяем направляющие косинусы вектора a : cos    0,6 и cos    0,8 .д) Учитывая, что (a , b )  3  1  (4)  2  11 и b  12  22  5 , находим по формуле(a , b )(2.8) cos  a b 115 5 0,44 5 , а затем и угол   arccos(0,44 5 ) .е) Вычисляем алгебраическое значение ортогональной проекции вектора a на направление вектора b по формуле (2.9): пр a b(a , b )b 115 2,2 5 .ж) Находим по формуле (2.10) ортогональную проекцию вектора a на направление вектора b : прb a (a , b )(b , b )b  11(i  2 j )  2,2i  4,4 j .5з) Вектор с , имеющий длину вектора b и направление вектора a , определяется равенством: c baa5(3i  4 j )  0,6 5 i  0,8 5 j .5Ответ: а) i  a  2b ; б) 5; в) e   0,6 i  0,8 j ; г) cos    0,6 , cos    0,8 ;д) arccos(0,44 5 ) ; е) пр a  2,2 5 ; ж) прb a  2,2i  4,4 j ; з) c  0,6 5 i  0,8 5 j .bПример 5.

На векторах OA  2i  3 j  6k , OB   4i  4 j  7 k , OC  2i  j  2k по-строена треугольная пирамида OABC . Найти:а) длину ребра OA ;б) величину  угла AOC ;в) площадь S треугольника OAC ;г) объем V пирамиды OABC ;д) высоту h пирамиды, опущенную из вершины B .23Решение. а) Длину ребра OA находим как длину вектора OA по формуле (2.7):OA  22  32  62  7 .б) Учитывая, что (OA, OС )  2  (2)  3  1  6  2  5 , OC  (2)2  12  22  3 , определяем cos  (OA, OC )OA OC555. Отсюда   arccos .217  3 21в) Чтобы найти площадь треугольника OAC , сначала вычисляем векторное произведениеij k3 62 62 3jk 12i  16 j  4k .[OA, OC ]  2  3 6  i2 22 11 22 1 2Тогда [OA, OC ] (12) 2  (16)2  (4) 2  4 26 .

Учитывая формулы (2.12), (2.13), полу-чаем S  1 [OA, OC ]  2 26 .2г) Чтобы найти объем V пирамиды OABC , сначала вычисляем смешанное произведениевекторов по формуле (2.6)3 62322 366(OA, OB, OC )   4  4 7  0  10 19   0  28   84 ,2 1 20 2 80 0  21а затем, учитывая формулы (2.14), (2.15), получаем: 84V  1 (OA, OB, OC )  14 .66д) Высоту пирамиды находим через ее объем V  1 S h и площадь S основания:3h3V3  1421. Тот же результат можно получить через объем параллелепипеда, исS2 2626пользуя формулу (2.16):hОтвет: а) 7; б)   arccos(OA, OB, OC )[OA, OC ] 844 262126.215; в) S  2 26 ; г) V  14 ; д) h .2126243. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИРазнообразие видов уравнений прямых на плоскости порождается многообразием геометрических способов задания прямых.

По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую на плоскости, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой на плоскости.Ненулевой вектор n , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальнымвектором (или, короче, нормалью) для этой прямой (рис. 3.1,3.2).

Характеристики

Список файлов книги